1、专题 21 母体法破解三视图一 【学习目标】1掌握平面的基本性质，在充分理解本讲公理、推论的基础上结合图形理解点、线、面的位置关系2掌握点、线、面关系的文字语言、符号语言、图形语 言的密切联系及相互转化3掌握空间两条直线的位置关系的证明，并能够判定两条直线的异面关系，会求两条异面直线所成的角4熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式，运用这些公式解决一些简单问题二 【知识要点】1.三视图空间几何体的三视图由平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视、侧视、俯视2空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法
2、来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴，两轴相交于点 O，画直观图时，把它们画成对应的 x轴、y轴，两轴相交于点 O，且使xOy45，已知图形中平行于 x 轴、y 轴的线段在直观图中平行于 x轴、y轴；已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中长度不变，平行于 y 轴的线段，长度变为原来的一半三 【方法总结】1.有关斜二测画法的常用结论与方法(1)用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积 S与原平面图形的面积 S 之间的关系是 SS.24(2)对于图形中与 x 轴、y 轴、z 轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决，即过端点作坐标轴的平行线段，再借
3、助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置.2.有关三视图的基本规律(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求是：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高.(2)由三视图想象几何体特征时要根据“ 长对正、宽相等、高平齐” 的基本原则.四 【典例分析及训练】（一）与球有关的三视图问题例 1如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是 ，则它的表面积是（ ）A B C D【答案】D【点睛】本题考查了由几何体的三视图求几何体的表面积；关键是正确还原几何体的形状练习 1如图，网格纸的小正方形的
4、边长是 1，在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A B C D【答案】A【解析】根据三视图，还原空间结构体，根据空间结构体的特征及球、棱锥的体积公式求得总体积。【详解】根据空间结构体的三视图，得原空间结构体如下图所示：该几何体是由下面半球的 和上面四棱锥的 组成由三视图的棱长及半径关系，可得几何体的体积为所以选 A【点睛】本题考查了三视图的简单应用，空间结构体的体积求法，属于中档题。练习 2如图，网络纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A B C D【答案】A【解析】根据三视图知几何体是组合体：下面是圆锥、上面是四分
5、之一球，根据图中数据，代入体积公式求值即可【点睛】本题考查由三视图求几何体的体积，以及几何体的体积公式，考查空间想象能力，三视图正确复原几何体是解题的关键练习 3如图，小方格是边长为 1 的正方形，图中粗线表示一个几何体的三视图，则原几何体的体积为A B 64+ C16 D64+【答案】B【解析】原几何体是半径是 2 的球和棱长是 4 的正方体的组合体，进而可得体积.【详解】原几何体是半径是 2 的球和棱长是 4 的正方体的组合体，故几何体的体积是： 23+43=64+ ，故选 B【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体及组合体体积的求解，考查了学生的空间想象力和计算能力，属于基础题.（二）由
6、长方体正方体切 割而成的几何体的三视图例 2已知三棱锥的三视图如图所示，则该几何体最长棱的长度为（ ）A B C3 D4【答案】C【解析】利用三视图画出几何体的直观图，求得各棱长即可【详解】由题意可知几何体的直观图如图，正方体的棱长为 2，由题意可得：ABAC=BC2 ，BDCD ，AD3，则该几何体 最长的棱长：3故选：C 络中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A B C D【答案】D【解析】结合三视图，还原直观图，计算体积，即可。【详解】结合三视图，还原直观图，如图所示，面体 O-ABC 即为直观图。正方体边长为 2，则 ，高即为正方体一个平面内的对角线的一般，为 ，所
7、以体积 ，故选 D。【点睛】本道题考查了三视图还原直观图，关键将所求三棱锥体积转化为好求的三棱锥体积，难度偏难。（三）组合体的三视图问题例 3某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 （ ）A B C D【答案】A【解析】本题首先可以通过三视图构造出几何体的模型，几何体是由半个圆锥以及一个圆柱构成，然后算出半个圆锥以及圆柱的体积，即可计算得出结果。【详解】由三视图可以看出，该几何体上半部是半个圆锥，下半部是一个圆柱，从而体积 ，故选 A。【点睛】本题考查的是三视图，能够通过三视图来确定几何体的构成是解决本题的关键，考查数形结合思想，锻炼了学生的空间想象能力，是简单题。练习 1如图是一个几
8、何体的三视图，则该几何体的体积为A B +12 C +10 D24【答案】B【解析】由三视图得到几何体是四棱柱和半球的组合体，进而可得体积.【详解】由三视图知，几何体是一个组合体，上面是一个半径为 2 的半球，下面是一个四棱柱，底面是边长为 2 的正方形，高是 3，所以几何体的体积是 ，故选 B【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体及组合体体积的求解，考查了学生的空间想象力和计算能力，属于基础题.练习 2 如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是（ ）A B C D【答案】D 【解析】根据三视图得出如图空间几何体，再根据直线与平面的间垂直，判断各个线段的长度比较即可【
9、详解】根据三视图得出：几何体为下图AD， AB，AG 相互垂 直，面 AEFG面 ABCED，BCAE，AB ADAG3，DE1，根据几何体的性质得出：AC 3 ，GC ，GE 5，BG ，AD4，EF ，CE ，故最长的为 GC3故选；D.【点睛】本题考查了根据三视图还原几何体，考查了利用空间几何体的性质得出直线平面的垂直问题，考查了线段的长度的计算问题练习 3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 A B C D【答案】D【解析】由三视图得此几何体是简单的组合体：一个正长方体，挖去一个圆锥，由三视图求出相应的数据，由表面积公式求出答案【点睛】本题考查由三视图求几何体的表面积，解题
10、关键是判断几何体的形状及几何量所对应的数据，考查空间想象能力（四）多面体三视图例 4如图，网格纸上正方形小格边长为 ，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（ ）A BC D【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是一个四棱锥，作出图形即可求出表面积。【详解】该几何体为四棱锥 ，如图.选 C.【点睛】本题考查了三视图，考查了四棱锥的表面积，考查了学生的空间想象能力与计算能力，属于基础题。练习 1如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为( ).A B C D【答案】B【解析】由三视图可知，三棱锥的直观图是底面为直角边为 4 与
11、2 的直角三角形形，高为 2 的三棱锥，将三棱锥补成长方体，利用长方体的外接球与棱锥的外接球相同求解即可.【详解】由三视图画出三棱锥的直观图，如图 ，图中矩形 的长为 4，宽为 2，棱锥的高为 ，所以棱锥的外接球就是以 为长、宽、高的长方体的外接球，外接球的直径就是长方体的体对角线，即 ，所以外接球的表面积为 ，故选 B.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形
12、的不同位置对几 何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的 形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.练习 2 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A B C D【答案】D【解析】由三视图知该几何体是以俯视图为底面的柱体，结合图中数据求得它的体积【详解】由几何体的三视图知，该几何体是以俯视图为底面的柱体，即四个半圆柱体与一个四棱柱的组合体， 其体积为 故选：D【点睛】本题考查了利用几何体三视图求体积的应用问题，是基础题（五）由虚线入手确定几何体例 5某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A B C D 【答案】A【解析】由三视图还原原几何体，可知原几
13、何体为三棱锥，再由棱锥体积公式求解【详解】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥 PABC，则该几何体的体积 V 故选：A【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题练习 1如图是某个几何体的三视图，小正方形的边长为 1，则该几何体的体积是( ）A8 B4 C D【答案】D【解析】结合三视图，还原直观图，利用体积计算公式 ，即可。【详解】本题考查了由三视图还原直观图.由三视图还原后的图形如下：三棱锥 D-ABC 的体积【点睛】本道题考查了三视图还原直观图，属于中档题。（六）三个视图互相配合确定几何体例 6一个四棱 锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的
14、棱长为（ ）A B C D【答案】C【解析】由三视图可知：该几何体如图所示，PA底面 ABCD，PA=2，底面是一个直角梯形，其中BCAD，ABAD，BC=AB=1 ，AD=2即可得出 格纸上小正方形边长为 ，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A B C D【答案】B【解析】由三 视图知该几何体为三棱锥，画出直观图、判断出位置关系和求出长度，利用椎体的体积公式求出答案.【详解】由三视图知该几何体为三棱锥 DABC，如图：D 到面 ABC 的距离等于 E 到面 ABC 的距离的一半，又面 ABC 即为面 ABCF,所以 E 到面 ABC 的距离为面对角线的一半，为 ，所以
15、D 到面 ABC 的距离等于 ，又 SABC 4 ，所以其体积 V ，故选：B【点睛】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确还原几何体和借助正方体是解题的关键，考查空间想象能力练习 2 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D【答案】D【点睛】本题主要考查了三视图，要先还原几何体，然后再计算体积，还原几何体是难点，还需要 有一定空间想象能力。（七）根据三个视图先确定顶点再确定线段例 7如图是某几何体的三视图,图中方格的单位长度为 1,则该几何体的表面积为（ ）A16 B8+4 C8+4 D12+4【答案】C【解析】由三视图先还原几何体，然后计算出几何体的表面积【详解
16、】由三视图还原几何体如图：可得三棱锥计算可得,为等腰三角形，高为 ，,则几何体表面积为故选 C【点睛】本题考查了由三视图还原几何体并求出几何体的表面积，解题关键是还原几何体，属于中档题练习 1 若某几何体的三视图如下所示，其中正视图与侧视图都是边长为 2 的正方形， 则该几何体的体积是A B C D【答案】A【解析】利用三视图，以正方体为载体还原几何体的直观图为四棱锥（如图） ，利用分割法，将四棱锥分解成棱柱的体积减去两个小棱锥计算体积.【详解】由三视图可知，几何体为不规则放置的四棱锥 ，是正方体的一部分，如图，因为正视图与侧视图都是边长为 2 的正方形，所以图中正方体的棱长为 2，四棱锥 可
17、以看作是棱柱去掉两个三棱锥的几何体，所以几何体的体积 ，故选 A.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.练习 2 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A B C D12【答案】C【解析】先由三视图还原该几何体，然后求出其表面
18、积即可。【详解】由三视图可知，原几何体为一个三棱柱截去一个三棱锥（如下图） ，三棱柱的底面是边长为 2 的等边三角形，高为 2，三棱锥的底面为 ， ，可求出等腰三角形 的面积为 2，该几何体的表面积为= ，故答案为 C.【点睛】本题考查了空间几何体的三视图问题，属于中档题。（八）左视图优先确定几何体例 8一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）正（主）视图 侧（左）视图俯视图A B C D【答案】A【解析】该几何体为正方体 ABCDABCD切去几何体 AEFABD得到的【详解】由三视图可知该几何体为棱长为 2 正方体 ABCDABCD切去几何体 AEFABD得到的其中E，F 分别
19、是 AB，AD 的中点，如图，S 22 22+22 （ 2 ） 20故选：A【点睛】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，作出直观图是关键练习 1 一个几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为( )A B C D【答案】A【解析】结合三视图,还原直观图,计算体积,即可得出答案.【详解】根据几何体的三视图得该几何体是四棱锥 M-PSQN 且四棱锥是棱长为 2 的正方体的一部分,直观图如图所示,由正方体的性质得,所以该四棱锥的体积为:,故 A 正确.【点睛】本道题考查了三视图还原直观图,题目难度中等,可以借助立方体,进行实物图还原.练习 2.如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线及粗虚线
20、画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱的长度为（ ）A4 B3 C D【答案】B【解析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥 O-ABCD，计算各个棱长求解即可【详解】根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥 O-ABCD，正方体的棱长为 2，A ，D 为棱的中点，观察图形可知最长棱为 OA,在 中，OA= 故选：B【点睛】本题综合考查了空间几何体的性质，学生的空间思维能力，构造思想，关键是镶嵌在常见的几何体中解决（九）数学文化与三视图例 9九章算术给出求羡除体积的“术”是：“并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一”.其中的“广”指羡除的三条平行侧棱的长， “深”指一条
21、侧棱到另两条侧棱所在平面的距离， “袤”指这两条侧棱所在平行线之间的距离，用现代语文描述：在羡除 中， ， ， ， ，两条平行线 与 间的距离为 ，直线 到平面 的距离为 ，则该羡除的体积为 .已知某羡除的三视图如图所示，则该羡除的体积为A B C D【答案】D【解析】根据三视图可知该羡除的体积公式中 所需数据，然后代入求解即可.【详解】由三视图还原几何体可知，羡除 ADE-BCF 中，底面 ABCD 是矩形，AB=CD=2,EF=1， 平面 平面 ABCD,AB,CD 间的距离 h=AD=2,，如图，取 AD 中点 G，连接 EG， 平面 平面 ABCD, 平面 ABCD，由侧视图知直线 E
22、F 到平面 ABCD 的距离故选：D【点睛】本题考查空间几何体的三视图，三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译” 成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.练习 1 九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（ ）A4 B2 C D【答案】C【解析】根据三视图可以得到棱柱的高为 2，底面等腰直角三角形的腰
23、长为 ，斜边长为 ，故可以计算该几何体的表面积.【详解】由三视图可以得到直三棱柱的高为 2，底面为等腰直角三角形且腰长为 ，斜边长为 ，其表面积为 ，故选 C.【点睛】本题考察三视图，要求能从三视图中得到原来几何体的高和底面各边长，注意该棱柱是“平躺”放置的.另外我们还要能从三视图中得到原来几何体中点、线、面的位置关系.（十）三视图与小正方体个数问题例 10 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A28 B30 C36 D42【答案】D【点睛】本题考查了还原三视图，求解几何体的表面积问题，关键是根据三视图还原图形练习 1 由 8 个大小相同的正方体组成的几何体的正视图和俯视图如图所示，则这个几何体的侧视图 A B C D【答案】A【解析】根据该组合体的主视图和俯视图及正方形的个数确定每层的小正方形的个数，然后确定其左视图即可.【详解】该组合体共有 8 个小正方体，俯视图和主视图如图，该组合体共有两层，第一层有 5 个小正方体，第二层有三个小正方体，且全位于第二层的最左边，左视图应该是两层，每层两个，故选：A【点睛】本题考查由视图判断空间几何体；解题关键点是:1 计算出正视图和侧视图共有 7 个正方体;2 准确确定第八个正方体所处的位置.
