1、课时作业 24 解三角形应用举例基础达标一、选择题1如图，设 A、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，ACB45，CAB 105，则 A，B 两点的距离为( )A50 m B50 m2 3C 25 m D. m22522解析：由正弦定理得AB 50 (m)ACsin ACBsinB502212 2答案：A22019武汉三中月考如图，两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 40方向上，灯塔B 在观察站南偏东 60方向上，则灯塔 A 在灯塔 B 的( )A北偏东 10方向上 B北偏西 10方向上C南偏东 8
2、0方向上 D南偏西 80方向上解析：由条件及题图可知，AABC 40，因为BCD60，所以 CBD30 ，所以 DBA10，因此灯塔A 在灯塔 B 南偏西 80方向上答案：D3.如图，测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D，测得BCD 15，BDC30，CD 30 m，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60，则塔高 AB 等于( )A5 m B15 m6 3C 5 m D15 m2 6解析：在BCD 中，CBD1801530 135.由正弦定理得 ，解得 BC15 (m)BCsin30 30sin135 2在 RtABC 中，ABBCtanACB15
3、 15 (m)2 3 6答案：D4某船开始看见灯塔在南偏东 30方向，后来船沿南偏东60的方向航行 15 km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是( )A5 km B10 kmC 5 km D5 km3 2解析：作出示意图(如图) ，点 A 为该船开始的位置，点 B为灯塔的位置，点 C 为该船后来的位置，所以在ABC 中，有BAC 603030 ，B 120 ，AC15，由正弦定理，得 ，15sin120 BCsin30即 BC 5 ，即这时船与灯塔的距离是 5 km.151232 3 3答案：C5.如图，在离地面高 400 m 的热气球上，观测到山顶 C 处的仰角为 15，山脚
4、A 处的俯角为 45，已知 BAC60，则山的高度 BC 为( )A700 m B640 mC 600 m D560 m解析：根据题意，可得在 RtAMD 中，MAD45，MD400，所以 AM 400 .MDsin45 2因为MAC 中，AMC45 1560，MAC 18045 6075，所以MCA180AMCMAC 45，由正弦定理，得AC 400 ，MAsin AMCsin MCA40023222 3在 RtABC 中，BCACsinBAC400 600(m)332答案：C二、填空题62019山东省，湖北省部分中学质量检测如图，在某岛附近海底某处有一条海防警戒线，在警戒线上的点 A，B，
5、C 处各有一个水声监测点，B，C 两点到 A 的距离分别为 20 千米和50 千米，某时刻 B 点接收到发自水中 P 处的一个声波信号，8秒后 A，C 同时接收到该声波信号，假设声波在水中的传播速度是 1.5 千米/秒，则 P 到海防警戒线的距离为 _千米解析：通解 依题意知 PAPC，设PAPC x，PB x1.58x12.在 PAB 中，AB20，则cos PAB ，在PA2 AB2 PB22PAAB x2 202 x 1222x20 3x 325xPAC 中，AC50，则 cosPAC PA2 AC2 PC22PAAC .因为 cosPABcosPAC，所以x2 502 x22x50 2
6、5x ，解得 x31，过点 P 作 PDAC 于点 D，则3x 325x 25xAD 25，在 RtADP 中，PD 4 .故 P 到海防312 252 21警戒线的距离为 4 千米21优解 过点 P 作 PDAC 于点 D，设 PBx，由题意知，PAPC x1.58 x 12，AD25， BD5，在 RtPAD中，PD 2 PA2AD 2( x12) 225 2，在 RtPBD 中，PD2 PB2BD 2x 25 2，则(x12) 225 2x 25 2，可得x19，故 PD 4 ，即 P 到海防警戒线的距离为192 52 214 千米21答案：4 2172019南昌市模拟已知台风中心位于城
7、市 A 东偏北 (为锐角)度的 150 公里处，以 v 公里/ 时沿正西方向快速移动，2.5 小时后到达距城市 A 西偏北 ( 为锐角)度的 200 公里处，若 cos() ，则 v_.2425解析：如图所示，AB150，AC200，根据题意可知B ， C，因为 cos( ) ，所以 sin( )2425 .1 (2425)2 725在三角形 ABC 中，由正弦定理 ，得 ，ABsinC ACsinB 150sin 200sin得 4sin3sin ，所以 4sin3sin ()3sincos()cos sin()3 ，整理得(2425sin 725cos)4sin3cos.又 sin2cos
8、 21，所以 sin ，进而 sin ，所以有35 45sin2 sin21，所以 90 ，所以BAC180 ( )90，所以 BC AB2 AC2250，故 v 100.1502 20022502.5答案：10082019福建检测 在平面四边形 ABCD 中，AB 1，AC ，BD BC，BD 2BC，则 AD 的最小值为_5解析：设BAC， ABD( (0 ，)，则ABC .在ABC 中，由余弦定理，得2BC2AB 2 AC22AB ACcos62 cos，由正弦定理，得5 ，即 BC .在ABD 中，由余弦定理，得BCsin ACsin( 2) 5sincosAD2 AB2DB 22AB
9、 DBcos14BC 24BCcos14(62cos)54 cos258 cos4 sin2520sin( )5sincos 5 5，所以当 sin()1，即(其 中 sin 255，cos 55)sin ，cos 时，AD 2取得最小值 5，所以 AD 的最小值55 255为 .5答案： 5三、解答题92019石家庄检测某学校的平面示意图如图中的五边形区域 ABCDE，其中三角形区域 ABE 为生活区，四边形区域 BCDE 为教学区，AB，BC， CD，DE ，EA，BE 为学校的主要道路(不考虑宽度)BCDCDE ，BAE ，DE3BC3CD km.23 3 911(1)求道路 BE 的长
10、度；(2)求生活区ABE 面积的最大值解析：(1) 如图，连接 BD，在BCD 中，BD2 BC2 CD22BC CDcosBCD ，BD km.27100 3310BCCD，CDBCBD ， 232 6又CDE ，BDE .23 2在 RtBDE 中，BE BD2 DE2 (3310)2 (910)2(km)335故道路 BE 的长度为 km.335(2)设 ABE ， BAE ，3AEB .23在ABE 中，易得 ，ABsin AEB AEsin ABE BEsin BAE 335sin3 65AB sin ，AE sin.65 (23 ) 65S ABE ABAEsin sin sin1
11、2 3 9325 (23 ) 9325 (km2)12sin(2 6) 14 9325(12 14) 2731000 ， 2 .23 6 676当 2 ，即 时，S ABE 取得最大值，最大值为6 2 3km2，273100故生活区ABE 面积的最大值为 km2.27310010要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度，在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45，在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30，并测得水平面上的BCD120，CD40 cm，求电视塔的高度解析：如图，设电视塔 AB 高为 x m，则在 RtABC 中，由ACB 45得 BCx .在 RtABD 中， ADB30，则BD x.
12、3在BDC 中，由余弦定理得，BD2 BC2CD 22BCCDcos120，即( x)2 x240 22 x40cos120，3即得 x40 ，所以电视塔高为 40 m.能力挑战11在海岸 A 处，发现北偏东 45方向，距离 A 处( 1)3海里的 B 处有一艘走私船；在 A 处北偏西 75方向，距离 A 处2 海里的 C 处的辑私船奉命在 10 海里/时的速度追截走私3船同时，走私船正以 10 海里/ 时的速度从 B 处向北偏东 30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？解析：如图，设缉私船 t 时后在 D 处追上走私船，则有 CD 10 t，BD10t .3在ABC 中，AB 1，AC 2，BAC120.3利用余弦定理可得 BC .6由正弦定理，得sin ABC sinBAC ，ACBC 26 32 22得ABC45，即 BC 与正北方向垂直于是CBD120.在BCD 中，由正弦定理，得sin BCD ，BDsin CBDCD 10tsin120103t 12得BCD30，BDC30.又 ， ，得 t .CDsin120 BCsin30 103t3 6 610所以缉私船沿北偏东 60的方向能最快追上走私船，最少要花 时610
