1、课时作业 13 变化率与导数、导数的计算基础达标一、选择题1函数 f(x)( x2a)( xa) 2 的导数为( )A2(x 2a 2) B 2( x2a 2)C 3(x2a 2) D3(x 2a 2)解析：f(x)( x2a)( xa) 2x 33a 2x2a 3，f(x)3( x2a 2)答案：C22019衡水调研 曲线 y1 在点(1，1)处的切2x 2线方程为( )Ay2x 1 By2x1C y 2x3 D y2x2解析：y1 ，2x 2 xx 2y ，y| x1 2，x 2 xx 22 2x 22曲线在点(1，1) 处的切线斜率为 2，所求切线方程为 y12(x1)，即 y2x 1.
2、答案：A32019山西名校联考若函数 f(x)的导函数的图象关于 y轴对称，则 f(x)的解析式可能为( )Af(x)3cosx Bf (x)x 3x 2C f(x)12sinx Df(x)e xx解析：A 选项中，f(x)3sinx，其图象不关于 y 轴对称，排除 A 选项；B 选项中，f(x)3x 22x ，其图象的对称轴为x ，排除 B 选项； C 选项中，f (x)2cosx，其图象关于 y13轴对称；D 选项中， f(x)e x1，其图象不关于 y 轴对称，排除 D 选项答案：C42019郑州市质量检测曲线 f(x)x 3x3 在点 P 处的切线平行于直线 y 2x1，则 P 点的坐
3、标为( )A(1,3) B( 1,3)C (1,3)和 (1,3) D(1 ，3)解析：f(x)3x 2 1，令 f(x)2，则 3x212，解得x1 或 x1，P(1,3) 或( 1,3)，经检验，点 (1,3)，(1,3)均不在直线 y2x 1 上，故选 C.答案：C52019合肥市高三第一次质量检测已知直线2x y10 与曲线 yae xx 相切(其中 e 为自然对数的底数)，则实数 a 的值是( )A. B112C 2 De解析：由题意知 y ae x12，则 a0，xlna，代入曲线方程得 y1lna，所以切线方程为 y(1lna) 2(xlna)，即 y2xlna12x 1a1.答
4、案：B62019福建福州八县联考已知函数 f(x)的导函数是 f(x)，且满足 f(x)2xf(1) ln ，则 f(1)( )1xAe B2C2 De解析：由已知得 f(x)2f(1) ，令 x1 得 f(1)1x2f(1) 1，解得 f(1) 1，则 f(1) 2f(1)2.答案：B72019湖南株洲模拟设函数 yx sinxcos x 的图象在点(t， f(t)处的切线斜率为 g(t)，则函数 y g(t)图象的一部分可以是( )解析：由 yx sinxcosx 可得ysin xx cosxsin xxcosx.则 g(t)tcost ，g(t)是奇函数，排除选项 B， D；当 x 时，
5、y 0，排除选项 C.故选 A.(0，2)答案：A82019广州市高三调研考试已知直线 ykx2 与曲线yx lnx 相切，则实数 k 的值为( )Aln2 B1C 1ln2 D1ln2解析：由 yx lnx 知 ylnx 1，设切点为(x 0，x 0lnx0)，则切线方程为 yx 0lnx0(lnx 01)( xx 0)，因为切线 ykx2过定点(0， 2)，所以 2x 0lnx0(lnx 01)(0x 0)，解得x02，故 k1ln2，选 D.答案：D92019广东深圳模拟设函数 f(x)x b，若曲线1xyf( x)在点( a，f( a)处的切线经过坐标原点，则 ab( )A1 B0C1
6、 D2解析：由题意可得，f (a)a b，f(x)1 ，所以1a 1x2f( a)1 ，故切线方程是 ya b (xa)，将1a2 1a (1 1a2)(0,0)代入得a b (a)，故 b ，故1a (1 1a2) 2aab2，故选 D.答案：D102019 宝安，潮阳，桂城等八校第一次联考已知函数f(x) x2 的图象在点(x 0，x )处的切线为 l，若 l 也与函数20ylnx ，x (0,1)的图象相切，则 x0 必满足( )A01，所以 1ln2 x0x ，x 0(1，)令20g(x) x2ln2x 1，x 1，) ，则 g (x)2x 0，所以 g(x)在1，)上单调递增，又 g
7、(1)1x 2x2 1xln20，所以存在2 2 3 3x0( ， )，使得 g(x0)0，故 x0 ，选 D.2 3 2 3答案：D二、填空题112018 全国卷 曲线 y2lnx 在点(1,0)处的切线方程为_解析：因为 y ， y| x1 2，2x所以切线方程为 y 02(x1)，即 y2x 2.答案：y 2x212过点 P(1,1)与函数 y 相切的直线与坐标轴围成的三1x角形面积为_解析：y ，y ，1x 1x2k1，切线方程 y1 (x1)即 xy20，与 x 轴交点为 (2,0)，与 y 轴交点为(0,2)，S 222.12答案：213已知直线 y x1 是函数 f(x) ex图
8、象的切线，1a则实数 a_.解析：设切点为(x 0，y 0)，则 f(x 0) ex01，1aex 0a，又 ex0x 01，x 02，ae 2.1a答案：e 2142019 陕西省高三教学质量检测 已知函数 f(x)2ln x 和直线 l：2x y 60，若点 P 是函数 f(x)图象上的一点，则点P 到直线 l 的距离的最小值为_解析：如图，在同一平面直角坐标系内分别作出函数 f(x)的大致图象以及直线 l，并平移直线 l 使之与函数 f(x)的图象恰好相切于点 Q，由图易知，当且仅当点 P 与点 Q 重合时，点 P 到直线 l 的距离最短设点 Q(x0，y 0)，则由 f(x ) ，可得
9、2xf( x0) 2，解得 x01，所以 y0f(x 0)f(1)0，所以2x0Q(1,0)，故点 Q 到直线 l：2xy60 的距离为 ，即 .故85 855点 P 到直线 l 的距离的最小值为 .855答案：855能力挑战152019 安徽淮南模拟 已知函数 f(x)x 2lnx.(1)求函数 f(x)在点(1，f (1)处的切线方程；(2)在函数 f(x)x 2lnx 的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间 上？12，1若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由解析：(1) 由题意可得 f(1)1，且 f( x)2x ，f(1)1x211，则所求切线方程为 y11 (x1)，即 yx .(2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x 1，y 1)，(x2，y 2)，则 x1，x 2 ，不妨设 x1x2，结合题意和(1) 中求12，1得的导函数解析式可得 1，(2x1 1x1)(2x2 1x2)又函数 f(x)2x 在区间 上单调递增，函数的值域1x 12，1为 1,1，故12x 1 2x2 1，1x1 1x2据此有Error!解得 x1 ，x 21 ，12 (x1 1，x2 12舍 去 )故存在两点 ，(1,1) 满足题意(12，ln2 14)
