1、课时跟踪训练( 十四)(时间 45 分钟)题型对点练( 时间 20 分钟)题组一 离散型随机变量的均值1篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分，没命中得 0 分，已知某篮球运动员命中的概率为 0.8，则罚球一次得分 的均值是( )A0.2 B0.8 C 1 D0解析 因为 P(1)0.8，P (0) 0.2，所以 E()10.800.20.8.故选 B.答案 B2已知 XB ，YB ，且 E(X)15，则 E(Y)(n，12) (n，13)_.解析 因为 XB ，所以 E(X) .又 E(X)15，则 n30.(n，12) n2所以 YB .(30，13)故 E(Y)30 10.13答案 1
2、03某中学选派 40 名学生参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如下表所示：培训次数 1 2 3参加人数 5 15 20(1)从这 40 名学生中任选 3 名，求这 3 名学生中至少有 2 名学生参加培训次数恰好相等的概率；(2)从这 40 名学生中任选 2 名，用 X 表示这 2 人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量 X 的分布列及均值 E(X)解 (1)这 3 名学生中至少有 2 名学生参加培训次数恰好相等的概率 P 1 .C15C15C120C340 419494(2)由题意知 X0,1,2，P(X0) ，C25 C215 C20C240 61156P(X1)
3、 ，C15C15 C15C120C240 2552P(X2) ，C15C120C240 539则随机变量 X 的分布列为X 0 1 2P 61156 2552 539所以 X 的均值 E(X) 0 1 2 .61156 2552 539 115156题组二 离散型随机变量均值的性质4随机变量 X 的分布列如下表，则 E(5X4) 等于( )X 0 2 4P 0.3 0.2 0.5A.16 B11 C2.2 D2.3解析 由已知得 E(X)00.320.240.52.4，故E(5X 4)5E( X)452.4416.故选 A.答案 A5若 是一个随机变量，则 E(E()的值为( )A无法求 B0
4、 CE() D2E()解析 因为 E(ab )aE ()b(a，b 为常数) ，而 E()为常数，所以 E(E( )E( )E ()0.故选 B.答案 B6某次考试中，第一大题由 12 个选择题组成，每题选对得 5分，不选或错选得 0 分小王选对每题的概率为 0.8，则其第一大题得分的均值为_解析 设小王选对的个数为 X，得分为 Y5X，则XB(12,0.8)，E( X)np120.89.6，E (Y)E(5X) 5E (X)59.648.答案 48题组三 均值的实际应用7如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125 个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面
5、数为 X，则 X 的均值 E(X)等于( )A. B. C. D.126125 65 168125 75解析 125 个小正方体中 8 个三面涂漆，36 个两面涂漆，54个一面涂漆，27 个没有涂漆，从中随机取一个正方体，涂漆面数X 的均值 E(X) 0 1 2 3 .27125 54125 36125 8125 150125 65答案 B8交 5 元钱，可以参加一次摸奖一袋中有同样大小的球 10个，其中 8 个标有“1 元钱” ，2 个标有“5 元钱” ，抽奖者只能从中任取 2 个球，他所得奖金是所抽 2 个球上标的钱数之和求抽奖人获利的均值解 设 X 为抽到的 2 个球上标的钱数之和，则
6、X 的可能取值如下：X2，抽到两个标有“1 元钱”的球；X6，抽到一个标有“1 元钱”的球，一个标有“5 元钱”的球；X10 ，抽到两个标有“5 元钱”的球由题意可知P(X2) ，C28C210 2845P(X6) ，C18C12C210 1645P(X10) .C2C210 145因此 E(X)2 6 10 .2845 1645 145 16245 185若用 Y 表示抽奖人获利的可能值，则 YX5，故获利的均值E(Y) E(X)5 5 1.4.185 759端午节吃粽子是我国的传统习俗设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同从中任
7、意选取 3 个(1)求三种粽子各取到 1 个的概率；(2)设 X 表示取到的豆沙粽个数，求 X 的分布列与均值解 (1)令 A 表示事件“三种粽子各取到 1 个” ，则由古典概型的概率计算公式有 P(A) .C12C13C15C310 14(2)X 的所有可能值为 0,1,2，且P(X0) ，P(X1) ，C38C310 715 C12C28C310 715P(X2) .C2C18C310 115综上知，X 的分布列为X 0 1 2P 715 715 115故 E(X)0 1 2 .715 715 115 35综合提升练( 时间 25 分钟)一、选择题1已知随机变量 X 和 Y，其中 Y12X
8、7，且 E(Y)34，若 X的分布列如表，则 m 的值为( )X 1 2 3 4P 14 m n 112A. B. C. D.13 14 16 18解析 由 Y12X7 得 E(Y)12E( X)734，从而 E(X) ，所以 E(X)1 2m3n4 ，又94 14 112 94mn 1，联立解得 m .故选 A.112 14 13答案 A2今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为 0.9 和 0.85，设发现目标的雷达台数为 X，则 E(X)等于( )A0.765 B1.75 C1.765 D0.22解析 P(X 0)(10.9)(10.85) 0.10.150.015
9、；P(X1) 0.9(1 0.85)0.85(10.9)0.22；P(X2) 0.90.85 0.765.E(X) 00.0151 0.2220.7651.75.答案 B3某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验 3 次均失败，则放弃试验若此人每次试验成功的概率为 ，则此人试验次数 的均值是( )23A. B. C. D.43 139 53 137解析 试验次数 的可能取值为 1,2,3，则 P(1) ，23P(2) ，13 23 29P(3) .13 13 (23 13) 19所以 的分布列为 1 2 3P 23 29 19E()1 2 3 .23 29
10、19 139答案 B二、填空题4一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b，不得分的概率为 c(a、b、c (0,1) ，已知他投篮一次得分的数学期望为 1(不计其他得分情况)，则 ab 的最大值为_解析 由已知可得 3a2b0c 1，即3a2b1，ab 3a2b 2 2 .当且仅当16 16(3a 2b2 ) 16 (12) 1243a2b 时取等号，即 ab 的最大值为 .12 124答案 1245一盒子中有 10 个筹码，其中 5 个标有 2 元，5 个标有 5 元，某人从此盒子中随机有放回地抽取 3 个筹码，若他获得的奖金数等于所抽 3 个筹码的钱数之和，则他
11、获得奖金数 X 的均值为_解析 由于有放回地抽取，所以每次取到 2 元和 5 元筹码的概率一样，均为 ，则获得奖金数 X 的分布列如下：12X 6 9 12 15P3(12)C 313(12)C 323(12)C 33(12)E(X) 6 9 12 15 .18 38 38 18 848 212答案 212三、解答题6某大学志愿者协会有 6 名男同学，4 名女同学在这 10 名同学中，3 名同学来自数学学院，其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同) (1)求选出的 3 名同学来自互不
12、相同的学院的概率；(2)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望解 (1)设 “选出的 3 名同学来自互不相同的学院”为事件A，则P(A) .C13C27 C03C37C310 4960所以，选出的 3 名同学来自互不相同的学院的概率为 .4960(2)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.P(Xk) (k0,1,2,3) Ck4C3 k6C310所以，随机变量 X 的分布列是X 0 1 2 3P 16 12 310 130随机变量 X 的数学期望 E(X)0 1 2 3 .16 12 310 130 657本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的
13、人越来越多某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算)有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游( 各租一车一次)设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 ，；两小时以上且不超1412过三小时还车的概率分别为 ，；两人租车时间都不会超过四小时1214(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ，求 的分布列及数学期望 E()解 (1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为 ， .14 14记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件 A，则P(A) .14 12 12 14 14 14 516故甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 .516(2) 可能取的值有 0,2,4,6,8.P(0) ；14 12 18P(2) ；14 14 12 12 516P(4) ；14 14 12 14 12 14 516P(6) ；12 14 14 14 316P(8) .14 14 116甲、乙两人所付的租车费用之和 的分布列为 0 2 4 6 8P 18 516 516 316 116E()0 2 4 6 8 .18 516 516 316 116 72
