1、课时作业 22 正弦定理和余弦定理基础达标一、选择题1在ABC 中，若 A ，B ，BC3 ，则 AC( )3 4 2A. B.32 3C 2 D43 5解析：由正弦定理得： ，BCsinA ACsinB即有 AC 2 .BCsinBsinA32sin4sin3 3答案：C2在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 sinAsinB，( bca)( bc a)3bc ，则ABC 的形状为 ( )acA直角三角形 B等腰非等边三角形C等边三角形 D钝角三角形解析： ， ，bc.sinAsinB ac ab ac又(b ca)(bc a)3bc ，b 2c 2a 2bc，cos
2、A .b2 c2 a22bc bc2bc 12A (0，)，A ，ABC 是等边三角形3答案：C32018全国卷 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 ABC 的面积为 ，则 C( )a2 b2 c24A. B.2 3C. D.4 6解析：S absinC abcosC，12 a2 b2 c24 2abcosC4 12sinCcosC ，即 tanC1.C (0，) ，C .故选 C.4答案：C4在ABC 中，若 a18，b24，A45，则此三角形有( )A无解B两解C一解D解的个数不确定解析： ，asinA bsinBsinB sinA sin45，ba 2418sinB
3、.223又ab， B有两个答案：B52019洛阳市高三统一考试 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a，b，c 成等比数列，且 a2c 2acbc ，则( )cbsinBA. B.32 233C. D.33 3解析：由 a，b，c 成等比数列得 b2ac ，则有 a2c 2b 2bc，由余弦定理得 cosA ，故 A ，对于 b2ac ，b2 c2 a22bc bc2bc 12 3由正弦定理得，sin 2BsinAsinC sinC，由正弦定理得， 32 cbsinB .故选 B.sinCsin2B sinC32sinC 233答案：B二、填空题62019济南市高三模拟
4、考试 在平面四边形 ABCD 中，A C90，B30，AB3 ，BC5，则线段 BC 的长度3为_解析：由题可知四边形 ABCD的四个顶点在以 BD为直线的圆上，连接 AC，则由已知条件及余弦定理可得AC2AB 2 BC22AB BCcosB7，得 AC .又 BD是ABC 外接7圆的直径，所以由正弦定理可得 BD 2 .ACsinB 7sin30 7答案：2 77在ABC 中，若 basin C，c acosB，则 ABC 的形状为_解析：由 basinC 可知 sin C ，由 cacosB 可知 caba sinBsinC，整理得 b2c 2a 2，即三角形一定是直角三角形，a2 c2
5、b22acA90，sinC sinB ，BC，即 bc，故ABC 为等腰直角三角形答案：等腰直角三角形82019福州市高三质量检测 在钝角三角形 ABC 中，AB3，BC ，A 30，则ABC 的面积为 _3解析：由已知及余弦定理，得 BC2AB 2 AC22ABAC cosA，即 39AC 23 AC，解得 AC 或 AC2 .当 ACBC 时，3 3 3 3C 180230 120 ，满足题意，此时ABC 的面积为ACBCsinC ；当 AC2 ，AB 2BC 2AC 2，则 B90，不12 334 3满足题意，应舍去综上，ABC 的面积为 .334答案：334三、解答题92018全国卷
6、在平面四边形 ABCD 中，ADC90，A 45，AB 2，BD 5.(1)求 cosADB；(2)若 DC2 ，求 BC.2解析：(1) 在 ABD 中，由正弦定理得 ，BDsin A ABsin ADB即 ，所以 sinADB .5sin45 2sin ADB 25由题设知，ADB 90，所以 cosADB .1 225 235(2)由题设及(1) 知，cosBDCsinADB .25在BCD 中，由余弦定理得BC2BD 2 DC22BDDCcos BDC25 8252 25225，所以 BC5.102019 济南市高考模拟试题 在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c
7、，且 bcosAacosB2c .(1)证明： tanB3tanA；(2)若 b2c 2a 2 bc，且ABC 的面积为 ，求 a.3 3解析：(1) 根据正弦定理，得sinBcosA cosBsinA 2sinC2sin(AB) ，即 sinBcosAcosBsinA2(sinBcosAcosBsinA)，整理得 sinBcosA3cos BsinA，方程两边同时除以cosAcosB，tanB3tanA.(2)由已知得，b 2c 2a 2 bc，cosA 3b2 c2 a22bc 3bc2bc，32由 0A，得 A ，tanA ，tanB .6 33 3由 0B，得 B ，C ，ac ，23
8、 6由 SABC acsin a2 ，得 a2.12 23 12 32 3能力挑战112019 广州市高三调研 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，且满足 a2，acosB (2cb)cos A.(1)求角 A 的大小；(2)求 ABC 的周长的最大值解析：(1) 解法一 由已知，得 acosBbcos A2ccosA.由正弦定理，得 sinAcosBsinBcosA 2sinCcosA，即 sin(AB)2sinC cosA.因为 sin(AB )sin(C)sinC，所以 sinC 2sinCcosA.因为 sinC 0，所以 cosA .12因为 0A，所以 A .3
9、解法二 由已知及余弦定理，得 a (2 cb) a2 c2 b22ac，即 b2c 2a 2bc，b2 c2 a22bc所以 cosA .b2 c2 a22bc 12因为 0A，所以 A .3(2)解法一 由余弦定理 a2b 2c 22bccosA，得 bc4 b2c 2，即(b c)2 3bc4.因为 bc 2，所以(bc) 2 (bc) 24，(b c2 ) 34即 bc4(当且仅当 bc 2 时等号成立) ，所以 abc6.故ABC 的周长的最大值为 6.解法二 因为 ，且 a2，A ，asinA bsinB csinC 3所以 b sinB，c sinC.433 433所以 abc2 (sinBsinC )4332 24sin .433sinB sin(23 B) (B 6)因为 0B ，所以当 B 时，abc 取得最大值 6.23 3故ABC 的周长的最大值为 6.
