1、哈三中 20182019 学年度上学期高二学年第二模块 数学（理）考试试卷一、选择题(共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样两种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别 , 则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】简单随机抽样和系统抽样都是反映概率的,具有等效性【详解】简单随机抽样和系统抽样都是反映概率的,具有等效性,故选 C.【点睛】本题考查了简单随机抽样和系统随机抽样,注意这两种抽样所得结果是一致的.2.把红、蓝、黑、白 张纸牌随
2、机分给甲、乙、丙、丁 个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ）A. 对立事件 B. 互斥但不对立事件C. 不可能事件 D. 以上都不对【答案】B【解析】试题分析：由题意得，根据互斥事件的概念和对立事件的定义，可知事件甲与事件乙互斥而不对立，故选 B考点：互斥事件与对立事件的定义3.设随机变量 ，且 ，则 的值为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本道题考查了正态分布曲线图,概率相等,说明端点值的平均数等于随机变量的平均数,建立等式.【详解】该曲线符合正态分布,两个概率值相等,说明 ,解得 ,故选 D.【点睛】本题考查了正态分布图,注意到平均数距离相等的两
3、个点的端点概率是相等的.4.总体由编号为 的 20 个个体组成，利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 3 列开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号为（ ）A. 08 B. 07 C. 02 D. 01【答案】B【解析】【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论【详解】从随机数表第 1 行的第 3 列开始由左到右依次选取两个数字中小于 20 的编号依次为 16，08，02，14，07，01，则第 5 个个体的编号为 07故选： B【点睛】本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础5. 从装有 3 个红球、
4、2 个白球的袋中任取 3 个球,则所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：从装有 个红球， 个白球的袋中任取 个球，共有基本事件 种，则全取红球的基本事件只有一种，所以所取 个球中至少有 个白球的概率为 ，故选 D.考点：古典概型及其概率的计算.【此处有视频，请去附件查看】6.总体的样本数据的频率分布直方图如图所示. 总体中 的数据不超过 , 总体中 的数据不超过 . 则 的估计值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出每一小组的频率，结合体 50%的数据不超过 a，总体中 80%的数据不超过 b，即可求出a
5、， b 的值【详解】由于第一组频率为 0.0240.08，第二组频率为 0.0840.32，第三组频率为0.0940.36，第四，组组频率为 0.0340.12，则 a18+4 ，由于 0.08+0.32+0.360.76，则 b22+4 ，故选： D【点睛】本题考查了频率分布直方图，属于基础题7. 的展开式中常数项的二项式系数为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本道题目利用 ，代入系数，即可。【详解】第 r 项为常数项即为 ，代入上式子中，得系数为 ，故选 B。【点睛】本道题考查了二项式定理，记住公式 。8.一组数据中的每一个数据都乘 ，再减去 ，得到一组新数据，若求得新数据
6、的平均数是，方差是 ，则原来数据的平均数和方差分别是A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】B【解析】【分析】先设出原来的数据，然后设出现在的数据，找到两组数据的联系，即可。【详解】设原来的数据为 ，每一个数据都乘以 2，再减去 80，得到新数据为已知 ，则方差为： ，故选 B。【点睛】本道题目考查的是平均数和方差之间的关系，列出等式，探寻两组数据的联系，即可。9.5 名志愿者分到 3 所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（ ）A. 150 种 B. 180 种 C. 200 种 D. 280 种【答案】A【解析】人数分配上有两种方式即 与若是 ，则有 种若是 ，则有
7、 种则不同的分派方法共有 种故选点睛：本题主要考查的知识点是排列，组合及简单计数问题。由题意知本题是一个分类问题，根据题意可知人数分配上两种方式即 与 ，分别计算出两种情况下的情况数目，相加即可得到答案。10.若 ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本道题目分别令 x=1,x=-1,x=0,代入该二项式，相加后即可。【详解】令 ，得令 得两式子相加得：令 ，得到 ，所以 ，故选 C。【点睛】本道题目考查的是二项式系数，解决此类题可以考虑代入特殊值法，然后消去不需要的，即可得出答案。11.某随机模拟的步骤为: 利用计算器或计算机产生两组 区间的均匀随机数, ; 进行平移和伸缩变
8、换, , ; 共做了 次试验, 数出满足条件 的点 的个数 . 则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本道题需要将变化后的点坐标代入，方程，将题目转化成正方形中落在圆的概率是多少问题，结合几何概型，即可得出答案。【详解】把 代入 ，得到，如下图：A 坐标为 ，该圆半径 为 ，该圆的面积为则落在该圆的概率为 ，故选 B。【点睛】本道题目考查的是几何概型计算公式，题目大意实际上计算正方形中落在圆上的概率，结合几何概型，即可。12.已知双曲线 与不过原点 且不平行于坐标轴的直线 相交于 两点，线段 的中点为 ，设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，则A. B. C. D. 【答案】A【
9、解析】【分析】本道题目先联立直线方程和双曲线方程，得到 ，然后用这个表示 ，即可。【详解】设直线 l 的方程为 ，代入双曲线方程得到 ，得到设 ，则则 ，故 ，故选 A。【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系问题，通常的做法是联解直线方程和双曲线然后找出规律，即可得出答案。二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡相应的位置上 ）13.若随机变量 , 则方差 _.【答案】【解析】【分析】利用方差公式 ，即可得出答案。【详解】结合方差 。【点睛】本题考查了方差计算公式，记住 ，即可。14.某同学 4 次三级跳远成绩(单位：米)分别为 ，已知这四次成绩的平均数为
10、10，标准差为 ，则 的值为_.【答案】【解析】【分析】根据平均数和标准差的定义，列出方程组求出 xy 的值【详解】数据 x， y，11，9 的平均数为 10，标准差为 ，则 ，化简，得 ， xy （400206）97故选：97【点睛】本题考查了平均数与方差的定义与应用问题，是基础题15.有 名男演员和 名女演员，演出的出场顺序要求 名女演员之间恰有 名男演员，则不同的出场顺序共_种【答案】36【解析】【分析】本道题目是一个排列问题，先将 2 名女生和 1 名男生捆绑，然后排列，在作为一个整体参与全排，即可。【详解】采用捆绑法，将 2 名女演员和 1 名男演员捆绑有 ，然后在全排，有 ，共有
11、36 种方法。【点睛】本道题目考查的是排列问题，可以采取捆绑法进行解答。16.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 且与 轴垂直的直线交椭圆于两点，直线 与椭圆的另一个交点为 ，若 ，则椭圆的离心率为_【答案】 【解析】设椭圆的左、右焦点分别为 ,将 代入椭圆方程可得 ，可设,由 ，可得 ，即有 ，即，可得 ，代入椭圆方程可得 ，由 ,即有 ，解得 .点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，
12、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）17.操场上有 5 名同学正在打篮球，每位同学投中篮筐的概率都是 ，且各次投篮是否投中相互独立.(1)求其中恰好有 4 名同学投中的概率（用最简分数作答） ；(2)求其中至少有 4 名同学投中的概率（用最简分数作答）.【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）利用独立重复试验 ，代入，即可。 （2）分别 计算出四人命中和五人命中的概率，相加，即可【详解】 （1）概率为（2）在第一问的基础上，5 人命中的概率为 ，所以总概率为【点睛】本道题考查了独立重复试验的概率计算，记住 ，即可。18.哈三中群力校区高二、六班同学用随机抽样的办法对所在校区老师的
13、饮食习惯进行了一次调查, 饮食指数结果用茎叶图表示如图, 图中饮食指数低于 70 的人是饮食以蔬菜为主；饮食指数高于 70 的人是饮食以肉类为主. (1)完成下列 22 列联表：能否有 99的把握认为老师的饮食习惯与年龄有关？(2)从群力校区任选一名老师, 设“选到 45 岁以上老师”为事件 , “饮食指数高于 70 的老师”为事件 , 用调查的结果估计 及 （用最简分数作答） ；(3)为了给食堂提供老师的饮食信息, 根据(1)(2)的结论，能否有更好的抽样方法来估计老师的饮食习惯, 并说明理由.附: 0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.828【答案】 （1）见解析
14、；（2） , ,；（3）分层抽样【解析】【分析】（1）结合卡方计算公式 ，即可得出答案。（2）利用条件概率计算公式 ，代入数据，即可。（3）熟悉分层抽样原理，运用一类一类样本中，即可。【详解】 （1）主食蔬菜 主食肉类 总计不超过 45 岁 4 8 1245 岁以上 16 2 18总计 20 10 30，故有关。（2） ， ，结合 ，得到（3）可以考虑使用分层抽样，因为题目所给信息是一类一类的，所以可以用这种抽样方法。【点睛】本道题是一道统计题，结合卡方计算公式和条件概型计算公式，分层抽样概念，即可得出答案。19.如图，抛物线关于 轴对称，顶点在坐标原点，点 ， ， 均在抛物线上. (1)求抛
15、物线的标准方程；(2)当直线 与 的斜率存在且互为相反数时，求 的值及直线 的斜率.【答案】 （1） ；（2） , 斜率是【解析】【分析】（1）设出抛物线的方程，代入点 P 的坐标，即可；（2）用 分别表示 A,B 的坐标，然后分别表示 ，即可。【详解】 （1）设出抛物线方程为 ，代入点 P 的坐标，解得 p=8,所以抛物线方程为（2）设点 A 坐标为 ， ，而 ，代入得到 ；。【点睛】本道题目考查了直线与圆锥曲线位置关系问题，解决此类题，可分别设出各点坐标，然后分别表示斜率，代入，即可得出答案。20.设某地区乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：年份 2012 2013 2014 2015
16、 2016 2017时间代号 1 2 3 4 5 6储蓄存款 （千亿元） 3.5 5 6 7 8 9.5（1）求关于 的回归方程 ，并预测该地区 2019 年的人民币储蓄存款（用最简分数作答）.（2）在含有一个解释变量的线性模型中， 恰好等于相关系数 的平方，当 时，认为线性回归模型是有效的，请计算 并且评价模型的拟合效果（计算结果精确到 ）.附：, .【答案】(1) , 预测存款为 千亿元；（2） , 线性回归模型拟合的是很有效的.【解析】【分析】（1）分别求出 ， ，求出相关系数，从而求出回归方程即可；（2）求出 r 的值，求出 R2，比较即可【详解】 （1） （1+2+3+4+5+6）
17、，（3.5+5+6+7+8+9.5） ，故 ， ，故回归方程为： y x ，2019 对应的 x8，x8 时， y ，故预测存款是 千亿元；（2） r 0.99699，故 R20.9940.8，故模型的拟合效果有效【点睛】本题考查了回归方程问题，考查相关系数以及转化思想，是一道常规题21.小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案甲方案：底薪 100 元，每派送一单奖励 1 元；乙方案：底薪 140 元，每日前 54 单没有奖励，超过 54 单的部分每单奖励 20 元.(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪 y（单位：元）与送货单数 n 的函数关系式；(2)根据
18、该公司所有派送员 100 天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这 100 天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在时，日平均派送量为 单若将频率视为概率，回答下列问题：估计这 100 天中的派送量指标的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ；根据以上数据，设每名派送员的日薪为 （单位：元） ，试分别求出甲、乙两种方案的日薪的分布列及数学期望. 请利用数学期望帮助小明分析他选择哪种薪酬方案比较合适？并说明你的理由.【答案】 （1） ， ；（2） ，见解析【解析】【分析】（1）根据题意，列出解析式，即可（2）分别计算出每个区间中点值的个数，然后
19、乘以总数，求和，除以个数，即可得到平均值分别计算出每个指标下薪资待遇，计算期望，比较大小，做出选择。【详解】 （1）甲： ，乙： ，故为， ；（2）读图可知,20 个 0.1,30 个 0.3,20 个 0.5,20 个 0.7,10 个 0.9，故平均数甲:P(概率) 0.2 0.3 0.2 0.2 0.1X（日薪） 152 154 156 158 160EX=乙：P（概率） 0.2 0.3 0.2 0.2 0.1X（日薪） 140 140 180 220 260EX=乙的期望更高，故选择乙方案。【点睛】本道题是一个统计题，掌握好平均数和数学期望的计算方法，即可得出答案。22.已知椭圆 ：
20、经过点 ，离心率为 . (1)求椭圆 的标准方程；(2)过坐标原点 作直线 交椭圆 于 、 两点，过点 作 的平行线交椭圆 于 、 两点.是否存在常数 ，满足 ？若存在，求出这个常数；若不存在，请说明理由；若 的面积为 ， 的面积为 ，且 ，求 的最大值.【答案】 （1） ；（2） ，【解析】【分析】（1）利用椭圆的性质 ，代入数据，计算 a,b，即可（2）分别设出 AB 和 OP的方程，结合椭圆方程，用斜率表示 ，计算 即可将这两个面积和转化成三角形 OBA 的面积，然后结合直线与圆锥曲线方程，计算最值，即可。【详解】 （1） 得到 ，结合 得到 ，将点 代入椭圆方程中，解得所以椭圆方程为：（2）设 OP 直线方程为 ，结合椭圆方程 ，代入得到 ，设，而结合焦半径公式设 AB 的直线方程为 ，代入椭圆方程，计算出，结合 ，代入可得分析图可知，所求面积之和实则为 ，故设直线 AB 的方程为 ，则其中 d 为圆心 O 到直线 AB 的距离，则 则将直线方程代入椭圆方程，得到解得 ，代入 中，得到，令 ，得到 ，则当 时，该函数取到最大值，代入 中，得到 。【点睛】本题考查了椭圆方程的求法和直线与椭圆的综合问题，本题主要用直线的斜率分别表示各个参数，建立等式，计算最值。
