1、安中学 2018-2019 学年度第一学期期末考试高一数学试题 一、选择题（本大题包括 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上.）1.过两点 的直线的倾斜角为 ，则 （ ）A(4,y),B(2,3) 45 y=A. B. C. D. 132 32 1【答案】C【解析】由题意知直线 AB 的斜率为 ，kAB=tan45=1所以 ，y+342=y+32 =1解得 选 Cy=12.某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯” ，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐
2、”的字样，则在、处应依次写上（ ）A. 快、新、乐 B. 乐、新、快C. 新、乐、快 D. 乐、快、新【答案】A【解析】【分析】根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为年，即可得出结论【详解】根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为年，故选：A【点睛】本题考查四棱锥的结构特征，考查学生对图形的认识，属于基础题.3.已知 ，点 在 轴上， ，则点 的坐标是（ ）A(2,5,6) P y |PA|=7 PA. B. (0,8,0) (0,2,0)C. 或 D. (0,8,0) (0,2,0) (0,8,0)【答案】C【解析】依题意设 ，根据 ，解得 ，所以选 .P(0,
3、b,0) |PA|= 22+(b-5)2+62=7 b=2,8 C4.已知直线 与直线 互相垂直，垂足为 ，则 的值为l1:ax+4y2=0 l2:2x5y+b=0 (1,c) a+b+c（ ）A. 20 B. 4 C. 0 D. 24【答案】B【解析】【分析】结合直线垂直关系，得到 a 的值，代入垂足坐标，得到 c 的值，代入直线方程，得出 b 的值，计算，即可。【详解】直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 ,两直线垂直,可知 ，l1 a4 l2 25 a425=1 a=10将垂足坐标代入直线 方程，得到 ，代入直线 方程，得到 ，所以l1 c=2 l2 b=12，故选 B。a+b+c=1021
4、2=4【点睛】考查了直线垂直满足的条件，关键抓住直线垂直斜率之积为-1，计算，即可，难度中等。5.设 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，给出下列四个命题：m,n ,若 ， ，则 ；若 ， ， ，则 ；m n/ mn / / m/ m/若 ， ，则 ；若 ， ，则 .m/ n/ m/n /其中正确命题的序号是（ ）A. B. 和C. 和 D. 和【答案】A【解析】【分析】结合直线与平面垂直的性质和平行判定以及平面与平面的位置关系，逐项分析，即可。【详解】1 选项成立，结合直线与平面垂直的性质，即可；2 选项，m 可能属于，故错误；3 选项，m,n 可能异面，故错误； 4 选项，该两平面可能相
5、交，故错误，故选 A。【点睛】考查了直线与平面垂直的性质，考查了平面与平面的位置关系，难度中等。6.平行于直线 且与圆 相切的直线的方程是（ ）2x+y+1=0 x2+y2=5A. 或 B. 或2x+y+5=0 2x+y5=0 2x+y+ 5=0 2x+y5=0C. 或 D. 或2xy+5=0 2xy5=0 2xy+ 5=0 2xy5=0【答案】A【解析】设所求直线为 ，2x y c=0由直线与圆相切得，|c|22+12= 5解得 。所以直线方程为 或 。选 A.c=5 2x y 5 0 2x y 5 07.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. 3 C. D. 68
6、3 103【答案】B【解析】本试题主要是考查了运用三视图还原几何体，并求解几何体的体积的运用。由三视图可知几何体是圆柱底面半径为 1，高为 6 的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为： 126=3故选 B。12解决该试题的关键是本题考查三视图与几何体的关系，正确判断几何体的特征是解题的关键，考查计算能力8.已知点 A(1,3)、 B(2，1)若过点 P(2,1)的直线 l 与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率k 的取值范围是 ( )A. B. k12 k-2C. 或 D. k12 k-2 -2k12【答案】D【解析】由已知直线恒过定点 ，如图P(2,1)若与线段 相交，则 ， ， ，
7、，故选 D.AB kPAkkPB kPA=2 kPB=12 2k129.如图，四棱锥 的底面为正方形， 底面 ，则下列结论中不正确的是（ SABCD SD ABCD）A. ACSBB. 平面AB/ SCDC. 平面 平面SDB SACD. 与 所成的角等于 与 所成的角AB SC DC SA【答案】D【解析】【分析】结合直线与平面垂直的判定和性质，结合直线与平面平行的判定，即可。【详解】A 选项，可知 可知 ，故 ，正确；ACBD,ACSD AC平 面 SDB ACSBB 选项，AB 平行 CD，故正确；C 选项， ，故平面 平面 ，正确；AC平 面 SDB SDB SACD 选项，AB 与
8、SC 所成的角为 ，而 DC 与 SA 所成的角为 ，故错误，故选 D。SCD 900【点睛】考查了直线与平面垂直的判定和性质，考查了直线与平面平行的判定，考查了异面直线所成角，难度中等。10.对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切” ；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离” ；否则称为“平行相交” 已知直线 ， 与圆 l1:ax+3y+6=0 l2:2x+(a+1)y+6=0 C:的位置关系是“平行相交” ，则实数 的取值范围为（ ）x2+y2+2x=b21(b0) bA. B. ( 2,322) (0,322)C. D.
9、(0, 2) ( 2,322) (322,+)【答案】D【解析】圆 C 的标准方程为( x1) 2 y2 b2.由两直线平行，可得 a(a1)60，解得 a2 或a3.当 a2 时，直线 l1与 l2重合，舍去；当 a3 时，l1： x y20， l2： x y30.由 l1与圆 C 相切，得 ，由 l2与圆 C 相切，b=|12|2 =322得 .当 l1、 l2与圆 C 都外离时， .所以，当 l1、 l2与圆 C“平行相交”b=|1+3|2 = 2 b0) l:xy+3=0 C 23的值等于_.【答案】 21【解析】【分析】结合题意，得到圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式，计算 a，
10、即可。【详解】结合题意可知圆心到直线的距离 ，所以结合点到直线距离公式d= 4( 3)2=1可得 ，结合 ，所以 。|a2+3|1+1=1 a0 a= 21【点睛】考查了直线与圆的位置关系，考查了点到直线距离公式，难度中等。12.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是 【答案】 24【解析】试题分析：正四棱柱的高是 4，体积是 16，则底面边长为 2，底面正方形的对角线长度为，所以正四棱柱体对角线的长度为 ，四棱柱体对角线为外接球的直径，所以球的半径为 ，所以球的表面积为 S=4r2=46=24考点：正四棱柱外接球表面积13.方程 有惟一解，则实数 的范围
11、是_ .1x2=x+k k【答案】 或k= 2 1k33 S (312,+)【点睛】考查了正三棱锥的面积的范围,关键得出 PC 的长度 ,计算结果,即可,难度偏难.三、解答题（本大题包括 5 小题，每小题 12 分，共 60 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16.求满足下列条件的直线方程.(1)经过点 A(1，3)，且斜率等于直线 3x8 y10 斜率的 2 倍；(2)过点 M(0,4)，且与两坐标轴围成三角形的周长为 12.【答案】 （1）3x4y 150.（2）4x 3y120 或 4x3y120.【解析】试题分析：根据直线经过点 A，再根据斜率等于直线 3x8 y10 斜率
12、的 2 倍求出斜率的值，然后根据直线方程的点斜式写出直线的方程，化为一般式；直线经过点 M（0，4） ，说明直线在 y 轴的截距为 4，可设直线 在 x 轴的截距为 a，利用三角形周长为 12 列方程求出a ,利用直线方程的截距式写出直线的方程，然后化为一般方程.试题解析：(1)因为 3x8y 10 可化为 y x ，38 18所以直线 3x8y 10 的斜率为 ，38则所求直线的斜率 k2( ) 38 34又直线经过点(1，3)，因此所求直线的方程为 y3 (x1)，38即 3x4y150.(2)设直线与 x 轴的交点为(a,0)，因为点 M(0,4)在 y 轴上，所以由题意有 4 | a|
13、12，a2+42解得 a3，所以所求直线的方程为 或 ，x3+y4=1 x3+y4=1即 4x3y120 或 4x3y120.【点睛】当直线经过点 A，并给出斜率的条件时，根据斜率与已知直线的斜率关系求出斜率值，然后根据直线方程的点斜式写出直线的方程，化为一般式；当涉及到直线与梁坐标轴所围成的三角形的周长和面积时，一般利用直线方程的截距式解决问题较方便一些，但使用点斜式也好，截距式也好，它们都有不足之处，点斜式只能表达斜率存在的直线，截距式只能表达截距存在而且不为零的直线，因此使用时要注意补充答案.17.有一圆与直线 相切于点 ，且经过点 ，求此圆的方程l:4x3y+6=0 A(3,6) B(
14、5,2)【答案】 x2+y210x9y+39=0【解析】【分析】法一:设出圆的方程,代入 B 点坐标,计算参数,即可.法二:设出圆的方程，结合题意，建立方程，计算参数，即可。法三：设出圆的一般方程，代入 A,B 坐标，建立方程，计算参数，即可。法四：计算 CA 直线方程，计算 BP 方程，计算点 P 坐标，计算半径和圆心坐标，建立圆方程，即可。【详解】法一：由题意可设所求的方程为 ，(x-3)2+(y-6)2+(4x-3y+6)=0又因为此圆过点 ，将坐标 代入圆的方程求得 ， (5,2) (5,2) =-1所以所求圆的方程为 .x2+y2-10x-9y+39=0法二：设圆的方程为 ，(x-a
15、)2+(y-b)2=r2则圆心为 ，由 ， , C(a,b) |CA|=|CB| CAl，解得 ，(3-a)2+(6-b)2=r2(5-a)2+(2-b)2=r2b-6a-343=-1 a=5b=92r2=254 所以所求圆的方程为 .(x-5)2+(y-92)2=254法三：设圆的方程为 ，由 ， ， 在圆上，x2+y2+Dx+Ey+F=0 CAl A(3,6) B(5,2)得 ，解得 ，32+62+3D+6E+F=052+22+5D+2E+F=0-E2-6-D2-343=-1 D=-10E=-9F=39 所以所求圆的方程为 .x2+y2-10x-9y+39=0法四：设圆心为 ，则 ，又设
16、与圆的另一交点为 ，C CAl AC P则 的方程为 ，CA y-6=-34(x-3)即 .3x+4y-33=0又因为 ，kAB=6-23-5=-2所以 ，所以直线 的方程为 .kBP=12 BP x-2y-1=0解方程组 ，得 ，所以 3x+4y-33=0x-2y-1=0 x=7y=3 P(7,3)所以圆心为 的中点 ，半径为 .AP (5,92) |AC|=52所以所求圆的方程为 .(x-5)2+(y-92)2=254【点睛】考查了圆方程的计算方法，关键在于结合题意建立方程组，计算参数，即可，难度中等。18.正方形 和四边形 所在的平面互相垂直， ， ， .ABCD ACEF EF/AC
17、AB= 2 CE=EF=1求证：(1) 平面 ；AF/ BDE(2) 平面 .CF BDE【答案】详见解析【解析】【分析】(1)由题意利用线面平行的判定定理证明题中的结论即可；(2)由题意结合线面垂直的判定定理证明题中的结论即可.【详解】(1)如图设 AC 与 BD 交于点 G因为 EFAG ，且 EF1，AG AC1，所以四边形 AGEF 为平行四边形所以 AFEG 因为 EG平面 BDE，AF 平面 BDE，所以 AF平面 BDE(2)连接 FG，EFCG，EF CG 1，四边形 CEFG 为平行四边形，又CEEF 1，CEFG 为菱形，EGCF在正方形 ABCD 中，ACBD正方形 AB
18、CD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，BD平面 CEFGBD CF又EGBD G，CF平面 BDE【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理等知识，意在考查学生的转化能力和空间想象能力.19.已知点 及圆 .P(2,0) C:x2+y26x+4y+4=0(1)若直线过点 且与圆心 的距离为 1，求直线的方程；P C(2)设过点 的直线 与圆 交于 两点，当 时，求以线段 为直径的圆 的方程；P l1 C M,N |MN|=4 MN Q(3)设直线 与圆 交于 两点，是否存在实数，使得过点 的直线 垂直平axy+1=0 C A,B P(2,0) l2分弦 ？若存在，求出实
19、数的值；若不存在，请说明理由AB【答案】 （1） 或 ；（2） ；（3）不存在.3x+4y6=0 x=2 (x2)2+y2=4【解析】【分析】（1）设出直线方程，结合点到直线距离公式，计算参数，即可。 （2）证明得到点 P 为 MN的中点，建立圆方程，即可。 （3）将直线方程代入圆方程，结合交点个数，计算 a 的范围，计算直线 的斜率，计算 a 的值，即可。l2【详解】(1)直线斜率存在时，设直线的斜率为 ，则方程为 ，即k y-0=k(x-2).又圆 的圆心为 ，半径 ，由 ，解得 .kx-y-2k=0 C (3,-2) r=3|3k+2-2k|k2+1 =1 k=-34所以直线方程为 ，即
20、 .y=-34(x-2) 3x+4y-6=0当的斜率不存在时，的方程为 ，经验证 也满足条件x=2 x=2即直线的方程为 或 .3x+4y-6=0 x=2(2)由于 ，而弦心距 ，|CP|= 5 d= r2-(|MN|2)2= 5所以 .d=|CP|= 5所以 恰为 的中点P MN故以 为直径的圆 的方程为 .MN Q (x-2)2+y2=4(3)把直线 代入圆 的方程，消去 ，整理得 .y=ax+1 C y (a2+1)x2+6(a-1)x+9=0由于直线 交圆 于 两点，ax-y+1=0 C A,B故 ，=36(a-1)2-36(a2+1)0即 ，解得 .-2a0 a0则实数的取值范围是
21、(-,0)设符合条件的实数存在，由于 垂直平分弦 ，故圆心 必在 上所以 的斜率 ，l2 AB C(3,-2) l2 l2 kPC=-2而 ，kAB=a=-1kPC所以 .由于 ，a=12 12(-,0)故不存在实数，使得过点 的直线 垂直平分弦 .P(2,0) l2 AB【点睛】考查了点到直线距离公式，考查了圆方程计算方法，考查了直线斜率计算方法，难度偏难。20.如图 1 所示，在 中， 分别为 的中点，点 为线段 上的一点，RtABC C=90,D,E AC,AB F CD将 沿 折起到 的位置，使 如图 2 所示.ADE DE A1DE A1FCD,（1 ）求证： /平面 ；DE A1CB（2 ）求证： ；A1FBE（3 ）线段 上是否存在点 ，使 平面 ？请说明理由 .A1B Q A1C DEQ【答案】 （1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】（1）DE BC，由线面平行的判定定理得出（2）可以先证 ，得出 ， DE平 面 A1DC DEA1F A1FCDA1F底 面 BCDEA1FBE(3)Q 为 的中点，由上问 ，易知 ,取 中点 P，连接 DP 和A1B DE平 面 A1DC DEA1C A1CQP，不难证出 ， ,又 PQA1C PDA1CA1C平 面 PQDA1CPQ DEA1CA1C平 面 PQE【此处有视频，请去附件查看】
