1、福建省八县（市）一中 2018-2019 学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.命题“存在 ， 0”的否定是（ ）A. 不存在 , 0 B. 存在 , 0C. 对任意的 , 0 D. 对任意的 , 0【答案】D【解析】试题分析：由题意得，根据全称命题与存在性命题的互为否定关系，可知命题“存在 ，”的否定是“对任意的 ， ”，故选 C.考点：全称命题与存在性命题的关系.【此处有视频，请去附件查看】2.在空间直角坐标系中点 关于平面 对称点 的坐标是（ ）A. （1，5，6） B
2、. （1，5，6）C. （1，5，6） D. （1，5，6）【答案】B【解析】【分析】在空间直角坐标系中，点 P（a，b，c）关于平面 xOy 对称点 Q 的坐标是（a，b，c） 【详解】在空间直角坐标系中，点 P（1，5，6）关于平面 xOy 对称点 Q 的坐标是（1，5，6） 故选：B【点睛】题考查空间中点的坐标的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3.已知 ，则“ ”是“ ”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先由 判断是否能推出 ，再由 判断是否能推出 ，即可得出结果.【详
3、解】已知充分性：若 因为 ，所以 ,所以 ,所以 ；必要性：若 ，则当 时， ，所以必要性不成立；因此“ ”是“ ”的充分不必要条件.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件，属于基础题型.4.中心在原点，焦点在 轴上的双曲线的一条渐近线经过点 ，则它的离心率为( )A. B. 2 C. D. 【答案】A【解析】由题意可知，此双曲线的渐近线方程为 ，则渐近线 过点 ，即 ，所以 .故选 A.5.若 满足约束条件 ，则 的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由不等式组作出平面区域，将求 的范围即转化为直线 在 轴截距的取值范围问题，结合图像即可求解.【详解】根据不等式
4、组 ，作出平面区域如图：化目标函数 为 ,则 的范围即转化为直线 在 轴截距的取值范围问题，由图像可得当直线 过点 时，截距最小为 1，当直线 过点，截距最大为 6，所以 的取值范围为 .【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，属于基础题型.6.平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，若 ,则| ( )A. ,z=1 B. ,z=1C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量的运算法则，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中。用 ， ， ，表示出 ，即可求出结果.【详解】因为在在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，,所以 ,因此 .【点睛】本题主要考查向量的运算法则，属于基础题型.
5、7.过 的直线 与抛物线 相交于 C,D 两点，若 A 为 CD 中点，则直线 的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先设 C,D 两点坐标，由抛物线方程可表示出直线斜率，再由 A 点坐标可求出直线斜率，进而可求出直线方程.【详解】设 ，由题意可得 ，作差得 ，整理得： ；因为 为 CD 中点，所以直线 的斜率 ，所以直线 的方程是 ，整理得 .【点睛】本题主要考查曲线中点弦的问题，属于基础题型.8.在长方体 中， ， 则异面直线 与 所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出直线 与 的方向向量，由向量的夹角公式
6、即可求出结果.【详解】以 D 点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，由题意可得 ， ，, ，所以 , ,设异面直线 与 所成的角为 ，则 与向量 和 的夹角相等或互补，所以 .【点睛】本题主要考查空间向量的方法求异面直线所成的角，属于基础题型.9.若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先设椭圆方程，再由椭圆和正方形的对称性得出顶点坐标，代入椭圆方程即可求解.【详解】设椭圆方程为 ,由正方形和椭圆的对称性可得：正方形的四个顶点坐标分别为 ,将 A 点坐标代入椭圆方程得： ,所以 故离心率为 .【点
7、睛】本题主要考查椭圆的简单性质，属于常考题型.10.设 为平面， 为直线，则下面一定能得到 的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由线面垂直的判定定理即可得出结论.【详解】A.因为 ,所以 ,而 ， 并不垂直 内所有直线，所以 和 可能不垂直，故 A 错；B. 只垂直 内一条直线，所以不能推出 ，故 B 错；C.因为 ，所以 ，又 所以 ，故 C 正确；D. 由 ，不能推出 ，所以由 不能推出 ，故 D 错.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，属于基础题型.11.若点 O 和点 F 分别为椭圆 的中心和焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则的最小值为( )A. B. C
8、. D. 【答案】A【解析】【分析】由椭圆的参数方程先设点 P 坐标，再由向量数量积的坐标运算表示出 ，即可求出结果.【详解】因为点 P 为椭圆上的任意一点，所以设点 P 坐标为 ，又点 F 为椭圆的焦点，不妨令 ,所以 ， ，所以，当且仅当 时， 取最小值 .【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，属于常考题型.12.用x表示不超过 x 的最大整数，如 , ，数列 满足 ,( ),若 ，则 的所有可能取值构成的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由裂项相消法求出 ，根据题意判断 的范围，再根据 前几项的值，即可求出结果.【详解】对 两边取到数，整理得 ；所以由
9、得 ，即数列 为增函数，因为 ，所以 ；因此 ，其整数部分为 0； ，其整数部分为 1；故 的所有可能取值构成的集合为 .【点睛】本题主要考查数列的应用，难度较大.二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）13.已知 , ,则 =_ 。【答案】-2【解析】【分析】由空间向量的数量积运算公式即可求出结果.【详解】因为 , ，所以 .【点睛】本题主要考查向量的数量积，属于基础题型.14.命题 ，若 p 是真命题，则实数 的取值范围为_【答案】【解析】【分析】用分类讨论的思想，讨论 和 两种情况，结合对应方程的根即可求出结果.【详解】当 时，原不等式可化为 ，显然恒成立，故 满
10、足题意；当 时，由 恒成立可得： ，解得 ;综上，实数 的取值范围为 .【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，属于常考题型.15.已知直线 与抛物线 相交于 两点， F 为抛物线 C 的焦点若，则 k_【答案】 【解析】【分析】联立直线与抛物线方程，再由根与系数关系结合抛物线定义和 ，列出方程组，即可求出结果.【详解】由题意，设 ，由抛物线定义可得 , ，因为 ,所以 ，即 ；联立 ,整理得 ,所以 ,故 ,又 ,由解得 满足题意.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的应用，属于中档题型.16.已知 ， 是双曲线 C: 的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为k 的直线上，
11、为等腰三角形， ，若 C 的离心率则 k 的取值范围是_。【答案】【解析】【分析】先由 推出点 P 坐标，再由点 P 在过 A 且斜率为 k 的直线上，根据斜率公式可表示出 k,结合离心率 即可求出 k 的范围.【详解】由题意可得 ， , ;因为 为等腰三角形， ，可得 或 ，所以 ，又 ，所以 ，故所以 ，因此 .【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，属于中档试题.三、解答题17.已知命题 ：方程 表示焦点在 轴上的椭圆；命题 ：方程 表示离心率的双曲线。（1）若命题 为真命题，求实数 的取值范围（2）若 为真命题且 为假命题，求实数 的取值范围。【答案】 （1） 或 ； （2） 或 或 .
12、【解析】【分析】(1)由方程 表示焦点在 轴上的椭圆，结合椭圆的标准方程即可求出结果;(2)先设命题 为真命题，求出对应 m 的范围，再由若 为真命题且 为假命题推出 p 真q 假或 p 假 q 真，结合(1)中结果，即可求解.【详解】 （I）方程 可改写为 若命题 为真命题，则 ， 所以 或 . （II）若命题 q 为真命题，则，所以命题 q 为真命题时 ,为真命题且 为假命题p 真 q 假或 p 假 q 真 或 ,或 或 。【点睛】本题主要考查根据复合命题的真假来求参数的范围，属于基础题型.18. 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 （1）求 A；（2）若 A 为锐
13、角， ， 的面积为 ，求 的周长【答案】 （1） 或 ； （2） .【解析】【分析】(1)由正弦定理将边化为对应角的正弦值，即可求出结果；(2)由余弦定理和三角形的面积公式联立，即可求出结果.【详解】 （I） 由正弦定理得 ，即 又 ， 或 。（II） ，由余弦定理得 ，即 ，而 的面积为 。的周长为 5+ 。【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，属于基础题型.19.已知数列 是首项为 b1=1，公差 d=3 的等差数列， （nN*） (1)求证: 是等比数列；(2)若数列 满足 ，求数列 的前 n 项和 Sn。【答案】 （1）见解析； （2） .【解析】【分析】(1)直接根据等比数
14、列的定义证明即可；(2)先由(1)得到 ，再由错位相减法即可求出数列 的前 n 项和.【详解】(1) (常数)， 是等比数列。(2) 8 分（1）-（2）得。【点睛】本题主要考查等比数列的定义和数列的求和，属于基础题型.20.已知顶点为原点，焦点 F 在 轴上的抛物线 过点 A（m,2） ，且 .（1）求抛物线 的标准方程及点 A 的坐标； （2）过点 F 的直线 交抛物线 于 M、N 两点，试求 的最小值。【答案】 （1） ； （2） .【解析】【分析】(1)由题意先设抛物线方程为 ，再由 即可得到关于 p 的方程，解之即可得到 p,从而可得所求结果;(2)由题意先设直线 的方程为 ，联立直
15、线与抛物线方程，由根与系数关系以及基本不等式即可求出结果.【详解】 （1）设抛物线 的方程为 抛物线 的方程为 （2）由于直线 的斜率存在，所以可设直线 的方程为联立 消去 y 得 ，设 ，那么， = ，当且仅当 时 取得最小值 。【点睛】本题主要考查抛物线的方程和抛物线的简单几何性质，属于中档试题.21.如图，三棱柱 中，底面 与三角形 均为等边三角形， ，（1）证明：平面 ；（2）求 与平面 所成角的正弦值【答案】 （1）见解析； （2） .【解析】【分析】(1)根据面面垂直的判定定理结合题中条件即可得出结论;(2)由(1)可得 两两垂直，然后以 O 为原点， 方向作为 x,y,z 轴的正
16、方向，建立空间直角坐标系，由空间向量的方法来求线面角的正弦值即可.【详解】 （）取 中点 O，由于底面 与三角形 均为等边三角形， ， ，在三角形 中 , ， 又 ,而平面（）由（）知 两两垂直，取 O 为原点， 方向作为 x,y,z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 O-xyz.则 ， 设平面 的法向量 ，由 得 令 ，得 平面 的一个法向量为 ， ， 与平面 所成角的正弦值为 【点睛】本题主要考查面面垂直的判定定理和直线与平面所成的角，属于常考题型.22.设圆 的圆心为 A，直线 过点 B（1,0）且与 x 轴不重合，设 P 为圆 A 上一点，线段 PB 的垂直平分线交直线 PA 于 E（1
17、）证明 为定值，并写出 E 的轨迹方程；（2）设点 M 的轨迹为曲线 C1，直线 交 C1于 M,N 两点，问：在 轴上是否存在定点 D 使直线DM 与 DN 的倾斜角互补，若存在求出 D 点的坐标，否则说明理由。【答案】 （1） ； （2）存在 使直线 DM 与 DN 的倾斜角互补.【解析】【分析】(1)由椭圆的定义可判断出点 E 的轨迹，进而可求出轨迹方程；(2)先由题意设直线 方程为 ，与椭圆方程联立，由根与系数关系，以及直线 DM 与 DN的倾斜角互补，即可求出结果.【详解】 （I）E 为线段 PB 的垂直平分线上一点， 点 E 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆，2a=4.c=1, E 的轨迹方程 。（II）由于直线 过点 B（1,0）且与 x 轴不重合，所以可设 方程为 联立 消去 x 得 ，设 ， 则令 ,若直线 DM 与 DN 的倾斜角互补，则 , 即 所以存在 使直线 DM 与 DN 的倾斜角互补.【点睛】本题主要考查椭圆的方程以及椭圆的几何性质，属于中档试题.
