1、2018-2019 学年度第一学期期末考试高二数学试题（B）第卷（选择题）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“ ， ”的否定是（ ）xR x2x0A. ， B. ，xR x2xb0A. B. C. D. 1aab a2a2【详解】设 为实数，且 ，构造函数 在 x0 时是减函数，故 ,故 A 正确；a,b,c ab0 y=1x 1aab b2a2 a20 a2a1A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的概念得到 ，进而推得结果.an+1an=d【详解】已知等差数列 的公差为
2、 ,即 ，令 n=1,得到 ，故当 d0 时，an d an+1an=d a2a1=d；反之 ，d0. 故“ ”是“ ”的充要条件。a2a1 a2a1 d0 a2a1故答案为：C.【点睛】这个题目考查了等差数列的概念，以及充分必要条件的判断，属于基础题. 判断充要条件的方法是：若 pq 为真命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件；若 pq 为假命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件；若 pq 为真命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的充要条件；若 pq 为假命题且qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件判断命
3、题 p 与命题 q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 p 与命题 q 的关系5.双曲线 ： 的渐近线方程为( )Cy24-x25=1A. B. y=52x y=255xC. D. y= 5x y=55x【答案】B【解析】【分析】在双曲线的标准方程中，利用渐近线方程的概念直接求解【详解】双曲线 的渐近线方程为：y24-x25=1 y24-x25=0整理，得 5y24x 2，解得 y 255x故选：B【点睛】本题考查双曲线的标准方程的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质6.等差数列 中， ， ，则数列 的公差为( )an a1+a8=10a2+a9=18
4、anA. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的性质得到 ,即可得到结果 .a2+a9=a1+d+a8+d=18【详解】等差数列 中， ， ,解得 d=4.an a1+a8=10a2+a9=a1+d+a8+d=18故答案为：D.【点睛】这个题目考查了等差数列的公式的应用，题目较为简单.7.如图，长方体 中， ， ， 、 、 分别是 、 、ABCDA1B1C1D1 AA1=AB=2 AD=1 E F G DD1 AB的中点，则异面直线 与 所成角的正弦值是( )CC1 A1E GFA. B. C. 1 D. 022 105【答案】C【解析】【分析】以 D 为原点
5、，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 A1E 与 GF 所成的角的余弦值【详解】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，AA 1AB2，AD1，点 E、F、G 分别是 DD1、AB、 CC1 的中点，A 1（1，0，2） ，E（0，0，1） ，G （0，2，1） ，F（1，1，0） ，（1，0，1） ， （1，1，1） ，A1E GF1+0+10，A1EGFA 1EGF ，异面直线 A1E 与 GF 所成的角的余弦值为 0，正弦值为 1.故答案为：C【点睛】本题考查异面直线
6、所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用8.如果数列 的前 项和 ，则 ( )an n Sn=2an1(nN+) a5=A. 8 B. 16 C. 32 D. 64【答案】B【解析】【分析】根据题意得到 ， （n ） ，两式做差得到 ，可Sn=2an-1(nN+) Sn-1=2an-1-1 2 an=2an1得到数列的通项，进而得到结果.【详解】数列 的前 项和 ， （n ）,两式做差得到an n Sn=2an-1(nN+) Sn-1=2an-1-1 2（n ） ，由此可得到数列是等比数列，令 n=1 代入得到 = ，解得an=2an1 2 S1=2a1-1a1=
7、1，故得到数列通项为 ，令 n=5 得到a1 an=2n1 a5=16.故答案为：B.【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知 和 的关系，求 表达式，一般是写出 做差得通项，但是这种方法需Sn an an Sn1要检验 n=1 时通项公式是否适用.9.若正数 满足 ，则 的最小值为( )x,y x+4yxy=0 x+yA. 9 B. 8 C. 5 D. 4【答案】A【解析】【分析】将 x+4yxy，转化为 ，再由 x+y（x+y） （ ）展开后利用基本不等式可求出4x+1y=1 4x+1yx+y 的最小值【详解】x0，y 0，x +4yxy
8、， ,4x+1y=1x+y（x+y） （ ）5+ 5+2 9，当且仅当 x2y 取等号，结合4x+1y xy+4yx xy4yxx+4yxy，解得 x6，y3x+y 的最小值为 9，故答案为：A【点睛】本题考查了“乘 1 法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.10.关于 的不等式 的解集为 ，则函数 的图象为图中x f(x)=ax2xc0 x|20 x|-2b0) A,B过点 作 轴的垂线交椭圆 于 ， 两点，连接 交 轴于点 ，连接 交 于点 ，若F x C P Q PB y
9、E AE PQ M是线段 的中点，则椭圆 的离心率为( )M PF CA. B. C. D. 22 12 13 14【答案】C【解析】【分析】由题意结合几何性质找到 a,c 的关系即可确定椭圆的离心率。【详解】如图，连接 BQ，则由椭圆的对称性易得 PBF=QBF，EAB=EBA，所以EAB=QBF，所以 ME/BQ.因为PME PQB，所以 ，|PE|EB|=|PM|MQ|因为PBF EBO，所以 ，从而有 ，|OF|OB|=|EP|EB| |PM|MQ|=|OF|OB|又因为 M 是线段 PF 的中点，所以 .e=ca=|OF|OB|=|PM|MQ|=13本题选择 C 选项.【点睛】椭圆的
10、离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 a，c，代入公式 ；e=ca只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2a 2c 2 转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程( 不等式)即可得 e(e 的取值范围)第卷（非选择题）二、填空题（将答案填在答题纸上）13.关于 的一元二次不等式 的解集是_x x2x20 时，m+10,此时 e=2m+1m= 5m=13.当 m0和极值以及最值，最终转化为 ，若 恒成立 ；（3）若f(x)min0 f(x)g(x) f(x
11、)ming(x)max三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.集合 ， ，若 ： ， ： ，且A=x|x2(2a+1)x+a2+a0 B=x|x2 p xA q xB是 的充分不必要条件，求实数的取值范围.p q【答案】 或a2【解析】【分析】求出不等式对应的条件，利用充分条件和必要条件的定义，建立条件关系 或 ，a+12即可得到结论.【详解】由 得： ， ，A (x-a)(x-a-1)0 axa+1 是 的充分不必要条件， ， 或 ，p qAB a+12的取值范围是 或 .a2【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式求出对应的等价条件是解决本题的关键18.设
12、 是公比为正数的等比数列， ， .an a1=1 a3=a2+2（1）求数列 的通项公式；an（2）设 是首项为 1 的等差数列，且 ，求 并求数列 的前 项和 .bn b5b3=4 bn an+bn n Sn【答案】(1) (2) .an=2n1 Sn=2n+n21【解析】【分析】(1)根据等比数列的通项公式得到 ，解出方程，代入通项公式即可；（2）由题q2-q-2=0干得到 ，之后按照等差和等比的求和公式分组求和即可 .bn=2n-1【详解】 （1）设 为等比数列 的公比，则由 ， ，q(q0) an a1=1 a3=a2+2得 ，即 ，解得 或 （舍去） ，因此 ，q2=q+2 q2-q
13、-2=0 q=2 q=-1 q=2所以 的通项公式为 ；an an=12n-1=2n-1（2） 是首项为 1，且 ，bn b5-b3=4所以数列 是公差为 2 的等差数列，bn ，bn=1+2(n-1)=2n-1 .Sn=1(1-2n)1-2 +n1+ n(n-1)2 2=2n+n2-1【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知 和 的关系，求 表达式，一般是写出 做差得通项，但是这种方法需Sn an an Sn1要检验 n=1 时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。19.已知抛物线 ： 的焦点为 ，过定点 且斜
14、率为 的直线与抛物线 交于不同C y2=4x F P(2,2) k C的两点 、 .MN（1）求 的取值范围；k（2）若直线与直线 垂直，求 的面积.y=x FMN【答案】(1) 或 ；(2)2132 02k2+2k-10 解得n y y=-2n2+40n-98n 的范围得到结果；（2）平均盈利为 根据均值不等式得到结果即可.yn=-2n-98n+40【详解】 （1）设捕捞 年后开始盈利，盈利为 万元，n y则 ，y=50n-12n+n(n-1)2 4-98=-2n2+40n-98由 ，得 ，解得 ，y0 n2-20n+49b0) (1, 22) 22（1）求椭圆 的标准方程；C（2）设过点为
15、 的直线与椭圆交于 两点，点 关于 轴的对称点为 （点 与点N(1,0) A,B A x C C不重合） ，证明：直线 恒过定点，并求该定点的坐标.B BC【答案】 （1） (2)见证明x22+y2=1【解析】【分析】(1) 由题意知， 解出即可；（ 2）设 ， ，则 ，联立直线b2+c2=a2ca=2212a2+(22)2b2=1 A(x1,y1) B(x2,y2) C(x1,-y1)和椭圆，得到韦达定理，直线 的方程为： ，令 y=0 即可得到定点坐标.BC y=y2+y1x2-x1x-x1y2+x2y1x2-x1【详解】 （1）由题意知， ，解得 ，b2+c2=a2ca=2212a2+(
16、22)2b2=1 b=1a= 2c=1 则椭圆 的方程是 .Cx22+y2=1（2）设 ， ，则 ，由已知得直线的斜率存在，设斜率为 ，A(x1,y1) B(x2,y2) C(x1,-y1) k则直线的方程为： ，y=k(x+1)由 ，得 ，y=k(x+1)x22+y2=1 (1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0所以 ， ，x1+x2=-4k21+2k2 x1x2=2k2-21+2k2直线 的方程为： ，BC y-y2=y2+y1x2-x1(x-x2)所以 ，y=y2+y1x2-x1x-x1y2+x2y1x2-x1令 ，则 ，y=0 x=x1y2+x2y1y2+y1 =2kx1x2+k(x1+x2)k(x1+x2)+2k =2x1x2+(x1+x2)(x1+x2)+2 =-2所以直线 与 轴交于定点 .BC x D(-2,0)【点睛】圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.
