1、 专题二 压轴填空题第 二关 以不等式恒成立或有解问题为背景的填空题【名师综述】含参数不等式的恒成立的问题，是近几年高考的热点.它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想.含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.类型一 可转化为二次函数的恒成立问题典例 1 【山西省太原市 2019 届高三上学期阶段性（期中)考试】已知函数 = ，若对于任意实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是_；【答案】(0,1)【解析】函数 f（ x）=e xe x 2x+1，xR；可设 g（x）=
2、e xe x 2x，xR；则 f（x）=g （x）+1，且 g（x）=e x e x+2x=（e xe x 2x ）=g （x） ，g（x）是定义域 R 上的奇函数；又 g（x）=e x+ex 20 恒成立，g（x）是定义域 R 上的增函数；不等式 f（x 2+a）+f（2ax）2 恒成立，化为 g（x 2+a）+g （2ax）+22 恒成立，即 g（x 2+a）g（2ax）=g（2ax ）恒成立，x 2+a2ax 恒成立，即 x2+2ax+a0 恒成立；=4a 24a0，解得 0a1，实数 a 的取值范围是（0，1） 故答案为：（0，1） 【名师指点】利用函数的性质将抽象不等式符号 去掉，转
3、化为二次不等式恒成立问题，若实数范围内的f二次不等式问题可结合开口方向和判别式处理；若给定区间的二次不等式恒成立或有解问题，可利用参变分离法或图 象处理【举一反三】 （2019 昌吉教育共同体）若关于 的不等式 ，在 上恒成立,，则实数的最大值为（ ）A B C D 1【答案】B【解析】 ，令. ，并代入不等式，则问题转化为不等式 在 上恒成立，即 .类型二 利用构造函数求最值方法求恒成立问题典例 1 （2019 湖北四市联考*构造函数）设实数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则 的最小值为A B C D 【答案】D令 ,由可得 ,则 在 上单调递增，又由题意 ，则 ，即 ，故 ， .选 D【
4、名师指点】 恒成立等价与 恒成立，记 ，则，本题中由于 有参数，需要分类讨论，利用导数求最值 max()0G()Gx【举一反三】设函数 ，若对所有 0x都有 fxa，则实数 的取值范围为_【答案】 ,2【解析】令 ，则（）若 2a， 当 0x 时， 故 gx（ ） 在 0（ ， ） 上为增函数，所以， 0x时， 即 fxa（ ） 类型三 利用参变分离求恒成立问题典例 2 （2019 大庆模拟）已知函数 ，若对任意的 且 ，都有 ，则实数 的取值范围是( )A B C D 【答案】D【解析】根据题意，将 x1f（x 1）+x 2f（x 2）x 1f（x 2） +x2f（x 1）变形可得f （x
5、1）f （x 2）（x 1x 2）0，所以函数 f（x ） 为增函数或常数函数.当 f（x） 为增函数时，则 f（x）=x -3kx -x ，所以 3k ，h （x）= ，h（ x）= 0, h(x) 为增函数, x , h(x) 1 3k ， k .【名师指点】本题通过不等式恒成立问题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集若按照参数讨论则取并集，是中档题不等式恒成立时求参数的取值范围，常常采用分离参数法把不等式变形为如“ ”形式，则只要求出 的最大值()gahx()hx，然后解 即可M()ga【举一反三】 【江西省新余市 2018 届
6、高三第二次模拟考试数学（理）试题】设函数 ，对 ，不等式 恒成立，则正数 的取值范围为 . xeg2)( k【答案】 1,类型四 利用图像法求恒成立问题典例 3 （2018 曲靖检测*数形结合）设函数 ，若存在 唯一的整数 ，使得 ，则的取值范围是（ ）A B C D 【答案】D【解析】f（x ）=3xe x，令 y=kxk，f （x）=3e x（x+1） ，f（ x）=3xe x 在（，1上是减函数，在（1 ，+）上是增函数，又y=kxk 是恒过点（1，0）的直线，作 f（x）=3xe x 与 y=kxk 的图象如下：当直线 y=kxk 与 f（x）=3xe x 相切时，设切点为（x，3xe
7、 x） ，=3ex+3xex，则 x ， x= ；令 g（x）=3xe xkx+k结合图象可知： ，解得： 【名师指点】 等价于在公共定义域区间内，函数 的图像落在 的下方，这()yfx()ygx样在平面直角坐标系中画出相应函数的图像，根据图像上下关系，确定参数取值范围【举一反三】 【宁夏银川一中 2019 届高三第三次月考】函数 在 ， 上恒成立，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】当 时， ，满足题意，当 时，函数 在 上恒成立，即 ，令 ，则 ，令 g(x)= 则所以 g(x)在 递增，因为 g(0)=0,所以 g(x)恒大于 0，所以函数 在上单调递增，所以当 时，函数 ，所以实数
8、的取值范围是 .【精选名校模拟】1已知曲线 在点 处的切线方程是 ，若 恒成立，则实数 的最大值为_【答案】.【解析】由题可得 ，则 ， ，因为，即 恒成立，所以 恒成立令 ，则，显然 在 上单调递增，且有唯一零点，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，所以 ，故实数 的最大值为 2 【安徽六校教育研究会 2019 届高三第一次素质测试】已知函数 ，其中 e 为自然对数的底数，若存在实数 ，使 成立，则实数 a 的值为_. 【答案】【解析】令 ，令 ， ，故 在 上是减函数， 上是增函数，故当 时， 有最小值 ，而 ， （当且仅当 ，即 时，等号成立） ；故 ，若存在实数 ，使 成
9、立（当且仅当等号同时成立时，等号成立） ，故 ，即 ，故答案为 3已知函数 ，若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围是x k_ 【答案】 (,1【解析】函数 的定义域为 ，恒成立,即 等价于 ，令 ，则 ，令 ，则 在 上恒成立， 在 上单调递增， 故当 时， ，函数 单调递减； 当 时， ，函数 单调递增，则 ，故 ，故答案为 .4 【陕西省西安市远东第 一中学 2019 届高三 10 月月考】已知函数 ，若 在 上恒成立，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】若 f（x）x 2 在（1，+ ）上恒成立，则等价为 lnxax 2 在（1， +）上恒成立，即 lnxx 2a 在（1，+）
10、上恒成立，设 h（x）=lnxx 2，则 h（x）= 2x= ，当 x1 时，h（x）0，即 h（x）在1，+ ）上为减函数，则当 x1 时，h（x）h（1）=12= 1，则 a 1，故答案为： 5 【四川省自贡市普高 2019 届第一次诊断性考试】函数 存在唯一的零点 ，且 ，则实数 的取值范围是_ 【答案】【解析】（i）当 时， ，令 ，解得 ，函数 有两个零点，舍去（ii）当 时， ，令 ，解得 x=0 或 当 a0 时， 0，当 x 或 x0，f（x）0，此时函数 f（x）单调递减；当 0x- 时，f（x）0，此时函数 f（x）单调递增故 x= 是函数 f（x）的极大值点，0 是函数
11、f（x）的极小值点函数 f（x）=ax 3+3x2-1 存在唯一的零点 x0，且 x00，则 即 a24 得 a2（舍）或 a-2当 a0 时 0，当 x 或 x0 时，f（x）0，此时函数 f（x）单调递增；当 x0 时，f（x）0，此时函数 f（x）单调递减x= 是函数 f（x）的极大值点，0 是函数 f（x）的极小值点f（0）=-10，函数 f（x）在（0，+）上存在一个零点，此时不满足条件综上可得：实数 a 的取值范围是（-，-2） 故答案为：（-，-2） 6 【四川省绵阳市江油中学 2019 届高三 9 月月考】已知函数 ， (e 是自然对数的底数)，对任意的 R，存在 ，有 ，则
12、的取值范围为_.【答案】【解析】对任意的 x1R，存在 x2 ，2，有 f（x 1） g（x 2） ，故 f（x） maxg（x） max，f（x）= ， （x0） ，令 f（x ）0，解得：0xe，令 f（x）0，解 得：xe，故 f（x）在（0，e）递增，在（e，+）递减，故 f（x） max=f（e）= ，g（x ）=2ex+a，a0 时， g （x） 0，g（x）在 ，2递减，g（x） max=g（ ）= e + a ，解得：a + （舍） ，a0 时，令 g（x）=0，解得：x= ，（i） 即 a 时，g（x）在 ，2递减，结合，不合题意，舍，（ii） 2 即 a 4e 时，g（x）
13、在 ， ）递增，在（ ，2递减，故 g（x） max=g（ ）= ，解得：a2；（iii） 2 即 a4e 时，g（x）在 ，2递增，g（x） max=g（2）=4e+2a ，解得：a2e+ ，综上，a2，故答案为：2，+） 7 （2018 江门调研*数形结合）设函数 ，其中， ，若存在唯一的整数 ，使得，则 的取值范围是_【答案】【解析】设 ， 由题意知,存在唯一的整数 使得 在直线 的下方，当 时， ，当 时， ，当 时， 取最小值 ，当 时， ，当 时， ，直线 恒过定点 且斜率为 ，故 且 ，解得 , 8 【山东省菏泽市 2018 届高三上学期期末考试】若不等式 在(0，+)上恒成立，
14、则 a 的取值范围是_.【答案】 ，+) 12【解析】设 ，则 ，(i)当 a0 时， ，则 在(0，+)上单调递增，所以 在(0，+)上恒成立，与已知不符，0fxfx故 a0 不符合题 意.(jj )当 a0 时，令 ， ，且 ，当 2a1，即 时，12a，于是 在 (0，+)上单调递减，所以 ，即x在 上成立.则 f(x)在 上单调递减，故 f(x) f (0)=0 在(0，+)上成0fx立，符合题意.当 02a1，即 0a 时， ， ，若1210a，则 ， 在 上单调递増；若在 ，则0xx， 在 上单调递减，又 ，则 在 上成立，0x x102a，即 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，
15、则 在f12a， fx102a，上恒成立.与已知不符，故 0a 不符合题意.综上所述，a 的取值范围 ，+).102a， 12故答案为 ，+).学-科网9已知关于 的不等式 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是_x12xa1,xa【答案】 ln,e【解析】 12xa令 因此10 （2019 衡水中学调研*参变分离）已知函数 满足 ，且存在实数 使得不等式 成立，则 的取值范围为_【答案】【解析】 ， ， ，解得 ， ，解得 ， ， ， 在 递增，而 ， 在 恒成立， 在 恒成立， 在 递减，在 递增， ，若存在实数 使得不等式 成立，只需 即可，解得： 11已知函数 ，其中 为自然对数的底数
16、，若不等式 恒成立，则 的e0fxba最大值为_【答案】 1e即： ，整理可得： ，即 恒成立，则原问题转化为求解 的最大值.求导可得： ，令 ，则 ，令 可得： ，Hx0Hx1xe当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，当 时， 取得最大值： ，1xeHx且： 时， ， ，020e据此可知 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，gx,e2,e即函数 的最大值为 ，综上可得： 的最大值为 .ba1e12 （2019 赣州联考*参变分离）已知函数 （x2） ，若 恒成立，则整数 k 的最大值为_【答案】3【解析】f（ x） 恒成立，即 h（x ）= k 即 h（x）的最小值大于 k而 h（x）= ，记 g（x）=x3 ln（x-1） ， （ x2 ） ，则 g（ x）= 0，g（x）在（2 ，+）上单调递增，又 g（4 ）=1ln30，g（5）=22ln20，g（x）=0 存在唯一实根 a，且满足 a（4，5） ，a-3=ln （a-1 ） ，当 xa 时，g（x）0，h（x）0，当 2xa 时，g（x）0，h（x）0，h（x） min=h（a）= =a-1（3，4 ） ，故正整数 k 的最大值是 313设 ，不等式 对 恒成立，则 的取值范围_0 xR【答案】【解析】根据题意有 ，即 ，结合题中所给的角的范围，求得 的取21sin4值范围是
