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专题09 外接球和内切球问题的处理技巧-2019年高考数学二轮复习之重难点微专题突破训练 Word版含解析.doc

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资源描述

1、一、外接球的问题简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点,此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心 O的位置问题,其中球心的确定是关键(一)由球的定义确定球心在空间,如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等,那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心由上述性质,可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论结论 1:正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点结论 2:正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点结论 3:直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点结论 4:正棱锥的外接球的球心在其高上,具体位置可通过计算找到结论 5:若棱锥的顶点可构成共斜边的直角

2、三角形,则公共斜边的中点就是其外接球的球心例:直三棱柱 (侧棱垂直于底面的棱柱)的各顶点都在同一球面上若, ,则此球的表面积等于_【答案】【解析】根据题意,可画出如下图形: , 的中点到 三点的距离相等,记为 , 直三棱柱 , 的中点到 三点的距离相等,记为 ,球的球心为 的中点,记为 ,设球的半径为 , , , ,此球的表面积 .【掌握练习】1、一个正四棱柱的各个顶点都在一个直径为 的球面上如果正四棱柱的底面边长为 ,那么该棱柱的表面积为_ 【答案】2、一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积是 ,那么这个三棱柱的体积是_【答案】【解析】设球的半径为 ,则 ,则 ,则

3、三棱柱的高是 4,设底面边长为 , , ,则三棱柱的体积是 . 3、已知正方体的外接球的体积是 ,则这个正方体的棱长是_【答案】 . 【解析】设正方体的外接球半径为 ,正方体棱长为 ,则 , . . . 4、如图,已知球 的面上有四点 , 平面 , , ,则球 的表面积为_ 【答案】【解析】把几何体看成长方体一部分,由于 平面 , ,因此 为球的直径,半径为 ,因 此球的表面积 . 5、如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的体积为_.【答案】6、已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为 ,体积为 ,则这个球的表面积是_ _.【答案】【解析】正四棱锥的高为 ,体积为 ,易知底面面积为

4、 ,底面边长为 正四棱锥 的外接球的球心在它的高 上,记为 , , ,在 中, ,由勾股定理 得所以,球的表面积 .(二)构造正方体或长方体确定球心长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法途径 1:正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体途径 2:同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体途径 3:若已知棱锥含有线面垂直关系,则可将棱锥补成长方体或正方体途径 4:若三棱锥的三个侧面两两垂直,则可将三棱锥补成长方体或正方体例:棱长为 的正四面体

5、的外接球半径为_. 【答案】【掌握练习】1、如图是某几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积_.【答案】 ,外接球的表面积是 故答案为: 2、如图所示是一个几何体的三视图 ,则这个几何体的外接球的表面积为_.【答案】【解析】由已知中的三视图可得,该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥,其外接球,与以俯视图为底面,以 4 为高的直三棱柱的外接球相同,如图所示:3、已知正 三棱锥 ,点 ,C 都在半径为 的球面上,若 两两互相垂直,则球心到截面 的距离为_.【答案】【解析】将该三棱锥补成正方体,如图所示,则 在正方体的对角线 的中点,设 是 的重心,则,设 ,由于 ,则 ,所以,故答案填 .4、在

6、三棱锥 中,面 面 , , ,则三棱锥 的外接球的表面积是_.【答案】(三)由性质确定球心利用球心 O 与截面圆圆心 O1 的连线垂直于截面圆及球心 O 与弦中点的连线垂直于弦的性质,确定球心例:一个棱长为 的正方体,其八个顶点都在同一个球面上,那么这个球的表面积为_.【答案】【解析】设正方体的棱长为 ,正方体的体对角线的长为 ,即球的直径为 ,球的表面积为: 故答案为: 【掌握练习】1、三棱锥 中, , , ,则三棱锥的外接球的表面积为_.【答案】取 中点 ,则有 , 为三棱锥 的外接球的球心,半径为 .三棱锥 的外接球的表面积为 故答案为: .2、在半径为 2 的球面上有不同的四点 ,若

7、,则平面 被球所截面图形 的面积为_.【答案】 .【解析】解:过点 向面 作垂线,垂足为 ,则 是外心,而外接球球心 位于 上,如图所示,设所在截面圆半径为 , , ,在 中, ,.二、内切球问题若一个多面体的各 面都与一个球的球面相切, 则称这个多面体是这个球的外切多面体,这个球是这个多面体的内切球。1、内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不重合。4、基本方法:构造三角形利用相似比和勾股定理。5、体积分割是求内切球半 径的通用做法。例 1:一个球与一个正三棱柱的三个侧面和

8、两个底面都相切,已知这个球的体积是 ,那么这个三棱柱的体积是_.【答案】 例 2:若正四棱锥 的底面边长及高均为 2,刚此四棱锥内切球的表面积为 【答案】【解析】根据题意得正四棱锥的底面面积为 4,一个侧面面积为 ,设球的半径为 ,则由等体积法得,,所以球的表面积为 . 【掌握练习】1、已知三棱锥 的所有棱长都相等,现沿 三条侧棱剪开,将其表面展开成一个平面图形,若这个平面图形外接圆的半径为 ,则三棱锥 的内切球的体积为_.【答案】2、 在直三棱柱 中, , ,若一个球和它的各个面都相切,则该三棱柱的表面积为_ _.【答案】【解析】 , , .设棱柱的内切球的半球为 ,则 的内切圆为球的大圆, .棱柱的高为 .棱柱的表面积.3、若圆锥的内切球与外接球的球心重合,且内切球的半径为 1,则圆锥的体积为_.【答案】【解析】过圆锥的旋转轴作轴截面,得 及其内切圆 和外切圆 ,且两圆同圆心,即 的内心与外心重合,易得 为正三角形,由题意知 的半径为 , 的边长为 ,于是知圆锥的底面半径为 ,高为 3.故所求体积为

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