1、西安中学 20182019 学年度第一学期期末考试高二数学（理科）试题一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1.抛物线 的准线方程是( )x2=8yA. B. C. D. y=2 y=4 y=2 y=4【答案】C【解析】【分析】由抛物线的性质，写出它的准线方程即可。【详解】由于抛物线 的准线方程为 ，x2=-2py(p0) y=p2故抛物线 的准线方程是 ，故答案为 C.x2=-8y=-24y y=2【点睛】本题考查了抛物线的准线方程，属于基础题。2.已知向量 ，则与共线的单位向量 ( )a=(1,1,0) e=A. B. C. D. (22,22,0) (22,
2、22,0) (0,1,0) (1,1,1)【答案】B【解析】【分析】由与平行可设 ，结合是单位向量可得 ，即可求出 ，从而e=a=(,0) e2= 2+2+0=1 得到。【详解】由题意，设 ，则 ，解得 ，故e=a=(,0) e2= 2+2+0=1 =22或 ，只有选项 B 满足题意。e=(22, 22,0) (- 22,- 22,0)【点睛】本题考查了空间向量的坐标表示，平行向量的性质及向量的模，属于基础题。3.下列说法中正确的是( )A. 若 ，则 四点构成一个平行四边形AB=DC A,B,C,DB. 若 ， ，则a/b b/c a/cC. 若和 都是单位向量，则b a=bD. 零向量与任
3、何向量都共线【答案】D【解析】【分析】结合向量的性质，对选项逐个分析即可选出答案。【详解】对于选项 A， 四点可能共线，故 A 不正确；对于选项 B，若 是零向量，A,B,C,D b则 不一定成立，故 B 错误；对于选项 C，若 方向不同，则 ，故 C 错误；对于a/c a、b abD，零向量与任何向量都共线，正确。故答案为 D.【点睛】本题考查了零向量、平行向量、相等向量、单位向量等知识，考查了学生对基础知识的掌握情况。4.给出如下四个命题：若“ 且 ”为假命题，则 均为假命题；p q p,q命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”；ab 2a2b-1 ab 2a2b-1 ab 2a2b-
4、1 xR”的否定是“ ， ”，正确。x2+11 xR x2+11 k01+k01-k1+k 【详解】 曲线 表示椭圆，x21-k+y21+k=1， 1-k01+k01-k1+k 解得 ，且 ，-10）的中心和左x2a2y2=1焦点，点 P 为双曲线右支上的任意一点，则 的取值范围为opfpA. 3- , ） B. 3+ , ） C. , ） D. , ）23+ 23+ 74+ 74+【答案】B【解析】试题分析： 因为 F（-2 ，0）是已知双曲线的左焦点，所以 a2+1=4，即 a2=3，所以双曲线方程为设点 P（x 0，y 0） ，则有 (x0 )，解得 y02= (x0 )，x23y2=1
5、 x023y02=1 3 x0231 3因为 =(x0+2，y 0)， =(x0，y 0)，所以 =x0(x0+2)+y02=x0（x 0+2）+ = +2x0-1，PF OF OFPF x02314x023此二次函数对应的抛物线的对称轴为 x0=- ，因为 x0 ，34 3所以当 x0= 时， 取得最小值 = ，故 3OFPF OFPF433+231=3+23 OFPF的取值范围是 ，+)，选 B3+23考点：本题主要考查了待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力点评：解决该试题的关键是
6、先根据双曲线的焦点和方程中的 b 求得 a，则双曲线的方程可得，设出点 P，代入双曲线方程求得 y0 的表达式，根据 P，F，O 的坐标表示出 ，进OP,FP而求得 的表达式，利用二次函数的性质求得其最小值，则 的取值范围可得OPFP OPFP【此处有视频，请去附件查看】10.若动圆与圆 相外切，又与直线 相切，则动圆圆心的轨迹方程是( (x2)2+y2=1 x+1=0)A. B. C. D. y2=4x y2=8x y2=4x y2=8x【答案】D【解析】【分析】由题意可知，动圆圆心到定点 的距离等于到直线 的距离，可知其轨迹为抛物线，(2,0) x+2=0求出方程即可。【详解】设动圆圆心为
7、 ，半径为，圆 的圆心为 ,则 ，O (x-2)2+y2=1 F(2,0) |OF|=r+1因为 到直线 的距离为，所以 到直线 的距离为 ，O x+1=0 O x+2=0 r+1则动点 到定点 的距离等于到直线 的距离，故动点 的轨迹为抛物线，焦点为O (2,0) x+2=0 O，准线为 ，轨迹方程为 .F(2,0) x=-2 y2=8x故答案为 D.【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线的轨迹方程，属于基础题。11.平行六面体 中，若 ,则 ( )ABCDA1B1C1D1 AC1=xAB+2yBC3zCC1 x+y+z=A. 1 B. C. D. 76 56 23【答案】B【解析】本
8、题考查向量加法的平行四边形法则，向量相等的概念.又 ；所以 则AC1=AB+BC+CC1, AC1=xAB+2yBC+3zC1C x=1,2y=1,3z=1,所以 故选 Bx=1,y=12,z=13; x+y+z=1+1213=76.12.方程 与 的曲线在同一坐标系中的示意图应是（ mx+ny2=0 mx2+ny2=1(|m|n|0)）A. B. C. D. 【答案】A【解析】方程 即 ，表示抛物线，mx+ny2=0 y2=mnx方程 表示椭圆或双曲线，mx2+ny2=1(|m|n|0)当 和 同号时，抛物线开口向左，m n方程 表示焦点在 轴的椭圆，无符合条件的选项；mx2+ny2=1(|
9、m|n|0) y当 和 异号时，抛物线 开口向右，m n y2=mnx方程 表示双曲线，mx2+ny2=1(|m|n|0)本题选择 A 选项.二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 ， ，如果 ，则y2=4x A(x1,y1) B(x2,y2) x1+x2=8_.|AB|=【答案】10【解析】【分析】设抛物线焦点为 ，利用抛物线的焦半径可知， ，求解即可。F |AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p【详解】抛物线 ， ，y2=4x p=2设抛物线焦点为 ，则 .F |AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=10【点睛】本题
10、考查了抛物线的弦长，考查了焦半径知识，考查了学生的计算求解能力，属于基础题。14.已知 且 , , ,则 _.|a|=|b|=|c|=1 =3=2 =2 |a+2bc|=【答案】 22【解析】【分析】先求出 ， ， ，然后利用 ，展开计算即可。ab bc ac |a+2b-c|2=(a+2b-c)2【详解】由题意， ， ， ，则ab=11cos3=12 bc=11cos2=0 ac=11cos2=0，则|a+2b-c|2=(a+2b-c)2=a2+(2b)2+c2+4ab-4bc-2ac=1+4+1+2-0-0=8.|a+2b-c|=22【点睛】本题考查了向量的数量积，向量的平方等于模的平方，
11、考查了计算能力，属于基础题。15.已知 是直线被椭圆 所截得的线段的中点，则的方程是 _.(4,2)x236+y29=1【答案】 x+2y8=0【解析】试题分析：由题意得，斜率存在，设为 k，则直线 l 的方程为 y-2=k（x-4） ，即 kx-y+2-4k=0，代入椭圆的方程化简得 （1+4k 2）x 2+（16k-32 k2）x+64 k 2-64k-20=0， ，解得 k=- ，故直线 l 的方程为 x+2y-8=0x1+x2=32k216k1+4k2=8 12考点：直线与圆锥曲线的关系16.如图，四棱锥 的底面是边长为 2 的正方形，侧面 底面 ,且P-ABCD PCD ABCD，
12、分别为棱 的中点，则点 到平面 的距离为_.PC=PD=2 M,N PC,AD N MBD【答案】55【解析】【分析】由题意，过点 作 的垂线，垂足为 ，可证明 平面 ，设点 到平面 的距MCD F MF ABCD N MBD离为 ，则 ，即 ,求解即可。h VM-BDN=VN-BDM13SBDNMF=13SBDMh【详解】由题意， ，侧面 底面 ，故 侧面 ，则 ，又BCCD PCD ABCD BC PCD BCMC因为 为棱 的中点，所以 ， ，M PC MB= BC2+MC2= 5 BD= 2BC=22因为 ，所以 为正三角形，分别过点 作 的垂线，垂足为 ，PC=PD=CD=2 PCD
13、 M、P CD F、E则 ， ，MF=12PE=12232=32 MD=232= 3因为 ，所以 ，MD2+MB2=BD2 MBMD因为 为棱 的中点，所以 ，N AD SBDN=1221=1设点 到平面 的距离为 ，则 ，即 ,则N MBD h VM-BDN=VN-BDM13SBDNMF=13SBDMh.h=SBDNMFSBDM= 1321253=55故点 到平面 的距离为 .N MBD55【点睛】本题考查了空间几何中点到平面的距离的求法，利用等体积法是解决此类问题的常见的方法，属于中档题。三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分）17.已知双曲线的方程是 .16x29y2=144(1
14、)求双曲线的实轴长和渐近线方程；(2)设 和 是双曲线的左、右焦点，点 在双曲线上，且 ，求 的大F1 F2 P |PF1|PF2|=32 F1PF2小【答案】 （1）6， ；（ 2） .y=43x 90【解析】【分析】（1）将双曲线方程化为标准方程，即可求出 ，从而可求出双曲线的实轴长和渐近线方a、b程；（2）由双曲线的性质可得 ，结合余弦定理 ，|PF1|-|PF2|=6 cosF1PF2=|PF1|2+|PF2|2-4c22|PF1|PF2|即可求出 .F1PF2【详解】 （1）将双曲线方程化为标准方程 ，则 ，长轴长为 6，x29-y216=1 a=3,b=4渐近线方程是 .y=43x
15、（2） ，c= a2+b2=5且 ,|PF1|-|PF2|=6 |PF1|PF2|=32则 ,cosF1PF2=|PF1|2+|PF2|2-4c22|PF1|PF2| =(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|PF2|-4c22|PF1|PF2|因为 ，(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|PF2|-4c2=36+64-100=0所以 ，cosF1PF2=0故 .F1PF2=90【点睛】本题考查了双曲线的方程，双曲线的长轴及渐近线等基础知识，考查了双曲线中焦点三角形，属于基础题。18.如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， ， 是ABCA1B1C1 BB1 ABC BAC=900 AC=AB
16、=AA1 E的中点BC（1）求证： ；AEB1C（2）求异面直线 与 所成的角的大小.AE A1C【答案】 （1）证明见解析；（2） .60【解析】【分析】（1）由题意可知 ， ， ，设 ,建立如图所示AA1AB ABAC ACAA1 AC=AB=AA1=a的空间直角坐标系，分别表示出 与 ，计算得 ，可知 ；（2）表AE CB1 AECB1=0 AEB1C示出 ，利用 ，即可求出异面直线 与 所成的角的大小。A1Ccos=AEA1C|AE|A1C| AE A1C【详解】 （1）证明：由题意易知 ， ， ，设 ,AA1AB ABAC ACAA1 AC=AB=AA1=a建立如图所示的空间直角坐标
17、系，则 ， , , ,A(0,0,0) B(a,0,0) C(0,a,0) A1(0,0,a), ,E(a2,a2,0) B1(a,0,a)则 ，AE=(a2,a2,0) CB1=(a,-a,a)，AECB1=(a2,a2,0)(a,-a,a)=0故 .AEB1C（2） ，A1C=(0,a,-a)，cos= (a2,a2,0)(0,a,-a)(a2)2+(a2)2+0 0+a2+(-a)2=12故异面直线 与 所成的角为 .AE A1C 60【点睛】本题考查三棱柱的性质，考查了直线与直线垂直的证明方法，考查了异面直线的夹角，属于基础题。19.如图，在边长为 2 的正方体 中， 是 的中点， 是
18、 的中点.ABCDA1B1C1D1 E BC F DD1（1）求证： 平面 ；CF/ A1DE（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.A1DE A1DA【答案】 （1）证明见解析；（2）13【解析】【分析】分别以 所在直线为 轴， 轴，轴建立空间直角坐标系，则 , ,DA,DC,DD1 x y A(2,0,0) A1(2,0,2), , ， （1）求出 和平面 的法向量 ，经计算可知 ，E(1,2,0) D(0,0,0) B1(2,2,2) CF A1DE n CFn=0从而可知 平面 ；（2）由题意可知 是面 的法向量，则CF/ A1DE DC=(0,2,0) A1DA，计算可得到答案。cos=
19、nDC|n|DC|【详解】分别以 所在直线为 轴， 轴，轴建立空间直角坐标系，则 , DA,DC,DD1 x y A(2,0,0), , , ， ， ，A1(2,0,2) E(1,2,0) D(0,0,0) B1(2,2,2) C(0,2,0) F(0,0,1)则 , ，DA1=(2,0,2),DE=(1,2,0) CF=(0,-2,1)（1）设平面 的法向量是 ，A1DE n=(a,b,c)则 ，取 ，nDA1=2a+2c=0nDE=a+2b=0 n=(-2,1,2)，CFn=(0,-2,1)(-2,1,2)=0所以 平面 .CF/ A1DE（2） 是平面 的法向量，DC=(0,2,0) A
20、1DA,cos= (-2,1,2)(0,2,0)(-2)2+12+22 0+22+0=13即平面 与平面 夹角的余弦值为 .A1DE A1DA13【点睛】本题考查了正方体的性质，考查了线面平行的证明方法，考查了二面角的求法，属于基础题。20.已知抛物线 的焦点 ，抛物线上一点 点纵坐标为 2， . C:x2=2py(p0) F P |PF|=3（1）求抛物线的方程；（2）已知抛物线 与直线 交于 两点， 轴上是否存在点 ，使得当 变动时，C l：y=kx+1 M,N y P k总有 ？说明理由 .kPM+kPN=0【答案】 （1） ；（2）存在 .x2=4y【解析】【分析】（1）由抛物线性质可
21、知 ，计算可求出 ，即可得到抛物线方程；（2）设|PF|=yP+p2 p=2为符合题意的点，设 ， ，设直线 的斜率分别为 , 将P(0,b) M(x1,y1) N(x2,y2) PM,PN k1,k2代入抛物线 的方程可得关于 的一元二次方程，结合斜率表达式及根与系数关系y=kx+1 C k可得 ,从而可求出 ，即可说明存在 点。kPM+kPN=k(1+b)=0 b=-1 P【详解】 （1） 即 ，|PF|=yP+p23=2+p2 p=2故抛物线的方程为 .x2=4y（2）设 为符合题意的点，设 ， ，P(0,b) M(x1,y1) N(x2,y2)设直线 的斜率分别为 ,PM,PN k1,
22、k2将 代入抛物线 的方程得 ，y=kx+1 C x2-4kx-4=0故 ,x1+x2=4k,x1x2=-4kPM+kPN=y1-bx1+y2-bx2=kx1+1-bx1 +kx2+1-bx2,=2kx1x2+(1-b)(x1+x2)x1x2 =-8k+4k(1-b)-4 =k(1+b)当 时，有 .b=-1 kPM+kPN=0故存在点 ，使得当 变动时，总有 .P(0,-1) k kPM+kPN=0【点睛】本题考查了抛物线的性质，考查了抛物线方程的求法，考查了直线的斜率，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题。21.如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ， ， 分PABCD ABC
23、D PD ABCD AD=PD=2 E,F别为 的中点 CD,PB（1）求证：平面 平面 ；AEF PAB（2）设 ，求直线 与平面 所成角的正弦值AB= 2AD AC AEF【答案】 （1）证明见解析；（2） .36【解析】【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，设 ，则 ，分别表示AB=a A(2,0,0),B(2,a,0),C(0,a,0),P(0,0,2)出 、 ，经计算可知 ， ，可知 且 ，则EF、AB AP EFAB=0 EFAP=0 EFAB EFAP平面 ，从而可证明平面 平面 ；（2）分别求出平面 的法向量 和 ，EF PAB AEF PAB AEF n AC利用 ，可得到答
24、案。sin=|cos|=|nAC|n|AC|【详解】 （1）建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，AB=a，A(2,0,0),B(2,a,0),C(0,a,0),P(0,0,2) 分别是 的中点，E,F CD,PB，E(0,a2,0),F(1,a2,1)EF=(1,0,1)又 ， ，AB=(0,a,0) AP=(-2,0,2)， ，EFAB=(1,0,1)(0,a,0)=0 EFAP=(1,0,1)(-2,0,2)=0且 ，EFAB EFAP平面 ，EF PAB又 平面 ， 平面 平面 .EF AEF AEF PAB（2） ，AB= 2AD=22=a设平面 的法向量是 ，AEF n=(x,y,z
25、)且 ，AE=(-2, 2,0) EF=(1,0,1)则 ，即 ,令 ，则 ,AEn=0EFn=0 -2x+ 2y=0x+z=0 x=1 y= 2,z=-1,又 ,n=(1, 2,-1) AC=(-2,22,0)，cos=(1,2,-1)(-2,22,0)12+2+1 4+8+0=36故 .sin=|cos|=36故直线 与平面 所成角的正弦值为 .AC AEF36【点睛】本题考查了空间几何中面面垂直的证明及线面夹角的求法，利用空间向量是解决本题的一种方法，属于中档题。22.已知椭圆 的两个焦点分别为 ，离心率为 ，过 的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0) F1,F2 12 F1交
26、于 两点，且 的周长为 8C M,N MNF2（1）求椭圆 的方程；C（2）直线 过点 ，且与椭圆 交于 两点，求 面积的最大值.m (1,0) C P,Q PQF2【答案】 （1） ；（2）3.x24+y23=1【解析】【分析】（1）由 的周长为 8，可知 ,结合离心率为 ，可求出 ， ， ，从而MNF2 4a=812 a=2 c=1 b2=3可得到椭圆的标准方程；（2）由题意知直线 的斜率不为 0，设直线 的方程为 ，m m x=ky-1， ，将直线方程与椭圆方程联立可得到关于 的一元二次方程，由三角形的P(x1,y1) Q(x2,y2) k面积公式可知 ，结合根与系数关系可得到 的表达式
27、，求出最大SPQF2=12|F1F2|y1-y2| SPQF2值即可。【详解】 （1）由题意知, ,则 ,4a=8 a=2由椭圆离心率 ,则 , ,e=ca=12 c=1b2=3则椭圆 的方程 .Cx24+y23=1（2）由题意知直线 的斜率不为 0，m设直线 的方程为 ， ， ，m x=ky-1 P(x1,y1) Q(x2,y2)则 ，x=ky-1x24+y23=1 (4+3k2)y2-6ky-9=0y1+y2= 6k3k2+4y1y2=- 93k2+4 所以 ，SPQF2=12|F1F2|y1-y2|=12|F1F2| (y1+y2)2-4y1y2=122 ( 6k3k2+4)2+ 363k2+4=12k2+13k2+4令 ，则 ，所以 ，k2+1=t t1SPQF2= 12t3(t2-1)+4=123t+1t而 在 上单调递增，则 的最小值为 4，y=3t+1t 1,+) 3t+1t所以 ，SPQF2=123t+1t3当 时取等号，即当 时， 的面积最大值为 3.t=1 k=0 PQF2【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了三角形的面积公式的运用，属于难题。
