1、考点 35 直线、平面平行的判定与性质1如图是一几何体的平面展开图，其中四边形 ABCD 为矩形，E，F 分别为 PA，PD 的中点，在此几何体中，给出下面 4 个结论：直线 BE 与直线 CF 异面； 直线 BE 与直线 AF 异面； 直线 平面 PBC； 平面 平面PAD其中正确的结论个数为 A4 个 B3 个 C2 个 D1 个【答案】C ， 平面 ， 平面平面 ，即正确假设平面 平面 ，即平面 平面又平面 平面 ，作 ，垂足为 ，可得 平面但实际无法证得 平面 ，故假设不成立，即错误本题正确选项：2设正方体 的棱长为 ， 为 的中点， 为直线 上一点， 为平面 内一点，则， 两点间距离
2、的最小值为（ ）A B C D【答案】B，解得 ，故选 B.3如图，在棱长为 2 的正方体 中， 分别是棱 的中点， 是底面 内一动点，若直线 与平面 不存在公共点，则三角形 的面积的最小值为A B 1 C D【答案】C所以 平面 ,因为 与 在平面 内相交，所以平面 平面 ,所以 在 上时，直线 与 平面 不存在公共点，因为 与 垂直，所 以 与 重合时 最小，此时，三角形 的面积最小，最小值为 ，故选 C.4已知直三棱柱 中的底面为等腰直角三角形， ，点 分别是边 ， 上动点，若直线 平面 ，点 为线段 的中点，则 点的轨迹为 A双曲线的一支 一部分 B圆弧 一部分C线段 去掉一个端点 D
3、抛物线的一部分【答案】C5在正方体 中，下面结论中正确的有_ 写出所有正确命题的序号 平面 ；平面 ；异面直线 AC 与 成 角；与底面 ABCD 所成角的正 切值是 【答案】6四棱锥 中， 平面 ， 为 的中点， 为菱形， ， ， 、分别是线段 、 的中点.（）求证： 平面 ；（）求二面角 的正切值 .【答案】 （）详见解析（）【解析】证明：（）延长 交 于点 ，而 ， ，所以 .平面 ， 平面 ， 平面（II）过点 作 于 ，易知 面过 作 于 ，连接 ，则 面 ， ， 即所求二面角的平面角不妨令 ，则 ， ，所以 . 7如图，四棱锥 中， 是正三角形，四边形 是菱形，点 是 的中点.（I
4、）求证： / 平面 ；（II）若平面 平面 ， ， 求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】 （I）证明见解析；（ II） .8如图，在四棱锥 中，M，N 分别为棱 PA，PD 的中点已知侧面 PAD底面 ABCD，底面ABCD 是矩形，DA=DP 求证：（1）MN平面 PBC；（2）MD平面 PAB【答案】 （1）见解析（2）见解析9如图，在五面体 中，四边形 是矩形，平面 平面 ，.() 求证： ;() 求直线 与平面 所成角的正弦值;() 求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.【答案】 （1）见证明；（2） ; (3) 10如图，在多面体 中，四边 形 为矩形，直线 与平面 所成的角为
5、， ， ， .（1）求证：直线 平面 ；（2）点 在线段 上，且 ，求二面角 的余弦值.【答案】(1)详见解析(2)11如图,在三棱柱 中, 底面 ，底面 为等边三角形， , , , 分别为 , 的中点. （1）求证： 平面 ；（2）求平面 与平面 所成二面角的余弦值；（3）设平面 与平面 的交线为 求证： 与平面 不平行.【答案】 （1）证明见解析；（2） ；（3）证明见解析.【解析】（1）证法 1：所以 平面 .（2）因为 底面 ， ,因为 平面 ，平面 平面 ，所以 ,12已知如图 1 所示，在边长为 12 的正方形 中， ，且 ， ， 分别交 ， 于点 、 ，将该正方形沿 ， ，折叠，
6、使得 与 重合，构成如图 2 所示的三棱柱，在该三棱柱底边 上有一点 ，满足 ；请在图 2 中解决下列问题：（1）求证：当 时， 平面 ；（2）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值.【答案】 （1）见解析；（2） 或【解析】（1）解：在图（2）中，过 作 交 于 ，连接 ，所以 ， 共面且平面 交平面 于 ， ， ，13如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，点 O 为对角线 BD 的中点，点 E，F 分别为棱PC，PD 的中点，已知 PAAB，PA AD 。（1）求证：直线 PB平面 OEF；（2）求证：平面 OEF平面 ABCD。【答案】详见解析14如图，在
7、底面为正方形的四棱锥 中， 平面 ， 点 ， 分别在棱 ， 上，且满足， .（1）证明： 平面 ；（2）若 ，求二面角 的余弦值.【答案】 （1）见解析； （2） .所以 ，又二面角 为锐角，所以二面角 的余弦值为 . 15在如图所示的几何体中，四边形 是菱形， 是矩形，平面 平面 ， ， ， 为 的中点（1）求证： 平面 ；（2）在线段 上是否存在点 ，使二面角 的大小为 ？若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由【答案】 （1）详见解析；（2）16如图，边长为 的正方形 和高为 的等腰梯形 所在的平面互相垂直， ， ，与 交于点 ，点 为线段 上任意一点.（）求证： 平面 ；（）求 与平面
8、 所成角的正弦值；（）是否存在点 使平面 与平面 垂直，若存在，求出 的值，若不存在，说明理由.【答案】 （）详见解析（） （）存在，且此时 的值为设直线 与平面 所成角为 ，17如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ， 为 的中点， 交 于点 ，为 的重心.（1）求证： 平面 ；（2）若 ，点 在线段 上，且 ，求二面角 的余弦值. 【答案】 （1）详见解析（2）18如图，已知在四棱锥 中， 底面 ， ， ， ， ，点 为棱 的中点,（1）试在棱 上确定一 点 ，使平面 平面 ，说明理由；（2）若 为棱 上一点，满足 ，求二面角 的余弦值.【答案】 （1）详见解析（2）则 即 .19如
9、图 1，在四边形 ABCD 中，ADBC，BC=2 AD，E，F 分别为 AD，BC 的中点，AE=EF， 将四边形 ABFE 沿 EF 折起，使平面 ABFE平面 EFCD（如图 2） ，G 是 BF 的中点（1）证明：ACEG；（2）在线段 BC 上是否存在一点 H，使得 DH平面 ABFE？若存在，求 的值；若不存在，说明理由；（3）求二面角 D-AC-F 的大小【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】证明：（1）在图 1 中， ，可得AEF 为等腰直角三角形， AEEF因为 ADBC，所以 EFBF，EFFC因为平面 ABFE平面 EFCD，且两平面交于 EF，CF平面 CDEF，设平面 ACD 的法向量为 n=（x，y，z） ， 由 即令 x=1，则 y=1，z=1于是 n=（1，1，1） 所以 所以二面角 D-AC-F 的大小为 90. 20如图所示，正四棱椎 P-ABCD 中，底面 ABCD 的边长为 2，侧棱长为 .（I）若点 E 为 PD 上的点，且 PB平面 EAC.试确定 E 点的位置；（）在（I）的条件下，点 F 为线段 PA 上的一点且 ，若平面 AEC 和平面 BDF 所成的锐二面角的余弦值为 ，求实数 的值.【答案】 （I）E 为 PD 中点， （ ）
