1、 方法六 等价转化法总分 _ 时间 _ 班级 _ 学号 _ 得分_（一） 选择题（12*5=60 分）1.【2018 年理数全国卷 II】在 中， ， ， ，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为 所以，选 A.2.若 的定义域为 ， 恒成立， ，则 的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B3 【2018 届福建省厦门外国语学校高三下学期第一次（开学） 】若关于 的不等式 的解集为，且 中只有一个整数，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设 ，由题设原不等式有唯一整数解，从而曲线 应在直线 下方由于 ，故 在 上单调递减，在 单调递增，所以由于
2、直线 恒过定点 ，要使 中只有一个整数，结合图象得只需 由题意得 ， ， 故实数 的取值范围是 选 B4 【2018 届湖北省宜昌市高三年级元月调研】已知函数 ，且 ，则关于的不等式 的解集为A. B. C. D. 【答案】A【解析】由函数 知 为奇函数由 得到在 上递增等价于，解得故 的解集为故选 . 12.【湖北省仙桃、天门、潜江市 2019 届高三上期末】一个各面均为直角三角形的四面体容器，有三条棱长为 1，要能够完全装下一个半径为 的球体，则球半径 的最大值为（ ）A B C D【答案】C【解析】满足条件的四面体容器如图：四面体 中， 平面 ， ，满足各面均为直角三角形，此时 ，则 ，
3、 .要满足题意，则当球与四面体各面均 相切时半径最大，此时设球心为 ，则原四面体可看成以 为顶点，其余各面为底面的 4 个四面休组合而成，且这 4 个四面体的高均为内切球半径，由等体积法有 ，解得 ，即满足题意的球的最大半径为 .故选 C.二、填空题（4*5=20 分）13 【2018 届河北省定州中学高中毕业班下学期开学】已知函数 满足 ，且当 时.若在区间 内，函数 有两个不同零点，则 的范围为_【答案】【解析】 当 时， 故函数 作函数 与 x 的图象所示，过点 时， 在区间 内，函数 有两个不同零点，则 的范围为故答案为 .14.【2018 届江西省抚州市高三八校联考】已知圆的方程为
4、，过圆外一点 作一条直线与圆交于 ， 两点，那么 _【答案】16【解析】 因为圆的方程 ，所以圆心为 ，半径 ，所以圆与 轴交于 ，过圆外一点 作一条直线与圆交于 两点，则 与圆相切，且 ，由切割线定理得 .15. 【湖南省长沙市 2019 届高三上学期统一检测】已知二次函数 ，且 ，若不等式 恒成立，则 的取值范围是_.【答案】【解析】结合题意,建立不等式组,得到 ,处理该不等式得到令 ,建立新不等式组得到 ,绘制可行域,得到可行域是画虚线位置,处理目标函数转化成直线可得 ,因而该直线过定点 ,因此该直线斜率介于 1 号和 2 号直线之间,设该直线与曲线的切点为 ,斜率为 ,得到方程为,过定
5、点 ,代入,解得 ,因而 ,解得A 的坐标为 ,因而 PA 的斜率为 ,得到 ,解得,综上所述,z 的范围为16 【2018 届江西省抚州市高三八校联考】已知函数 (其中 为自然对数的底数)，曲线上存在不同的两点, 使得曲线在这两点处的切线都与 轴垂直，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】 曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与 轴垂直，等价于函数 有两个不同的极值点，等价于 有两个不同的实根，令 ，得 ，令 ，则条件等价于直线 与曲线 有两个不同的交点，当 时， ；当 时， ；当 时， ；从而当 时有最大值 在 上递增，在 上递减，当 时， ，当 时， ，如图所示，所以实数 的
6、取值范围是 .三、 解答题（共 6 道小题，共 70 分）17.【2018 届甘肃省高三第一次诊断】 中，三个内角 的对边分别为 ，若 ，且 .（）求角 的大小；（）若 ，求 周长的取值范围. 【答案】 （I） ；（II） .18.已知函数（1）求 的单调区间；（2）当 时，若 恒成立，求 的取值范围.【答案 】(1)f(x)在 上是增函数，在 上是减函数；(2) .【解析】（1）f(x)定义域为 ， ，解得 ， ，解得 ，f(x)在 上是增函数，在 上是减函数；（2）不等式等价于 ，令 ， ，解得 ， ，解得 ，g(x)在 上是减函数，在 上是增函数，g(x)在 时取最小值 ， ，故 A 的
7、最佳取值为19.过抛物线 上的点 (4,)M作倾斜角互补的两条直线 MAB、 ，分别交抛物线于 AB、 两点(1)若 ，求直线 AB的方程；(2)不经过点 的动直线 l交抛物线 C于 PQ、 两点，且以 P为直径的圆过点 ，那么直线 l是否过定点？如果是，求定点的坐标；如果不是，说明理由【答案】 （1） （2）恒过 (8,4)点【解析】 （1）抛物线方程为 24yx，设 ，设直线 AB的方程是 mb，由 24xyb，得 ，由 ，得 128y，则 ，由弦长公式 ，得 2b，因此直线 的方程是（2）设 ，以 PQ为直径的圆过点 M，则 ，即 ，化简，得 ，过 PQ的直线为 ，恒过(8,4)点20.
8、【2017 山东，理 17】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCD（及其内部）以 AB边所在直线为旋转轴旋转 120得到的， G是 ADF的中点.（ ）设 P是 ACE上的一点，且 PBE，求 CP的大小；（）当 3B， ，求二面角 的大小.【答案】 （） .（） 60.【解析】（）解法一：取 AEC的中点 H，连接 E， G， CH.因为 ，所以四边形 B为菱形，所以 .取 AG中点 M，连接 E， C， .则 E， AG，所以 C为所求二面角的平面角.又 1A，所以 .在 BE中，由于 ，由余弦定理得 ， 所以 23C，因此 EMC为等边三角形，故所求的角为 60.解法二：以 B
9、为坐标原点，分别以 BE， P， A所在的直线为 x， y， z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因此所求的角为 60.21. 已知点 A (,2),椭圆 E: 的离心率为 32；F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为 3，O 为坐标原点（I）求 E 的方程；（II）设过点 A 的动直线 l与 E 相交于 P,Q 两点.当 OPQ的面积最大时，求 l的直线方程.【答案】 （I）214xy；（ II） 或 .【解析】（I）设右焦点 (c,0)F，由条件知， 23c，得 c又 32ca，所以 2a， 2b1故椭圆 E的方程为214xy（II）当 lx轴时不合题意，故设直线 :l2ykx，
10、将 2yk代入214y得 当 ，即 23k4时，从而 又点 O到直线 PQ的距离d21k，所以 OPQ的面积 设 ，则 0t，因为 4t，当且仅当 2t时， 7k时取等号，且 满足 0所以，当 OPQ的面积最大时， l的方程为 或 22.【2018 届甘肃省高三第一次诊断】已知函数 ， .（）若曲线 与曲线 在公共点处有共同的切线，求实数 的值；（）在（）的条件下，试问函数 是否有零点？如果有，求出该零点；若没有，请说明理由.【答案】 （I） ；（II）无零点.【解析】（）函数 的定义域为 ， ，设曲线 与曲线 公共点为由于在公共点处有共同的切线，所以 ，解得 ， .由 可得 .联立 解得 . （）函数 是否有零点，转化为函数 与函数 在区间 是否有交点，可得 ，令 ，解得 ，此时函数 单调递增；令 ，解得 ，此时函数 单调递减.当 时，函数 取得极小值即最小值， .可得 ，令 ，解得 ，此时函数 单调递增；令 ，解得 ，此时函数 单调递减.当 时，函数 取得极大值即最大值， .因此两个函数无交点.即函数 无零点.
