1、1,概率论与数理统计,古典概率模型,条件概率（1）,2,称这种试验为有穷等可能随机试验或古典概型，即等可能概型.,定义1 若随机试验满足下述两个条件：,(1) 它的样本空间只有有限多个样本点；,(2) 每个样本点出现的可能性相同.,一、古典概型,3,定义2 设试验E是古典概型, 其样本空间S由n个样本点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则定义事件A的概率为：,称此概率为古典概率.,二、古典概型中事件概率的计算,4,例1 将一颗骰子抛掷4次，问至少出一次“6”点的概率是多少？,令 事件A=至少出一次“6”点,A发生,出1次“6”点,出2次“6”点,出3次“6”点,出4次“6”点,直接计算A的
2、概率较麻烦, 我们先来计算A的对立事件,=4次抛掷中都未出“6”点,的概率.,三、古典概型举例,5,于是 =0.518,因此= =0.482,由于将一颗骰子抛掷4次,共有 种等可能结果,而导致事件 =4次抛掷中都未出“6”点 的结果数有 种,6,例2 有r 个人，设每个人的生日是365天的任何一天是等可能的，试求事件“至少有两人同生日”的概率.,为求P(A), 先求P( ),7,用上面的公式可以计算此事出现的概率为=1-0.524=0.476,美国数学家伯格米尼曾经做 过一个别开生面的实验，在一个 盛况空前、人山人海的世界杯足 球赛赛场上，他随机地在某号看台上召唤了22个球迷，请他们分别写下自
3、己的生日，结果竟发现其中有两人同生日.,即22个球迷中至少有两人同生日的概率为0.476.,这个概率随着球迷人数的增加而迅速增加.,8,人数 至少有两人同生日的概率20 0.41121 0.44422 0.47623 0.50724 0.53830 0.70640 0.89150 0.97060 0.994,所有这些概率都是在假定一个人的生日在 365天的任何一天是等可能的前提下计算出来的.,实际上,这个假定并不完全成立，有关问题的实际概率比表中给出的还要大 .,当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有利的.,9,解：,=0.3024,问：,错在何处？,例3 某城市的电话号码由5个数字组成
4、，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.,计算样本空间样本点总数和所求事件 所含样本点数计数方法不同.,10,例4 设有N件产品,其中有M件次品,现从这N 件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.,这是一种无放回抽样.,解：令B=恰有k件次品P(B)=？,11,解：把2n只鞋分成n堆,每堆2只的分法总数为,而出现事件A的分法数为n!,故,例5 n双相异的鞋共2n只，随机地分成n堆，每堆2只 . 问:“各堆都自成一双鞋”(事件A)的概率是多少？,12,将15名同学(含3名女同学), 平均分 成三组. 求 (1) 每组有1名女同学(设为事件A)的概率； (
5、2) 3 名女同学同组(设为事件B)的概率,解,（1）,（2）,例6,13,例7 设元件盒中装有50个电阻，20个电感，30个电容，从盒中任取30个元件，求所取元件中至少有一个电阻同时至少有一个电感的概率.,所求概率为P(AB),14,三个事件和的概率为,n个事件和的概率为,15,在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.,1. 条件概率的概念,如在事件B(附加信息)发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).,一般 P(A|B) P(A),四、条件概率,P(A )=1/6，,例如，掷一颗均匀骰子，A=掷出2点，,B=掷出偶数点，,P(A|B)=,1/
6、3,P(A|B),16,若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道B已发生, 故B变成了新的样本空间 , 于是 有(1).,设A、B是两个事件，且P(B)0,则称(1),2. 条件概率的定义,为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.,17,3. 条件概率的性质,设B是一事件，且P(B)0,则,1. 对任一事件A，0P(A|B)1;,2. P (S | B) =1 ；,3.设A1, A2 , ,互不相容，则,P(A1+A2 + )| B = P(A1|B)+ P(A2|B) + ,前面对概率所证明的一些重要性质都
7、 适用于条件概率.,18,2)从加入条件后改变了的情况去算,4. 条件概率的计算,1) 用定义计算:,P(B)0,P(A|B）=,B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数,在缩减样本空间 中A所含样本点 个数,19,例8 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?,解法1:,解法2:,解: 设A=掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出6点,应用定义,在B发生后的 缩减样本空间 中计算,20,例9 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？,解：设A=能活20年以上
8、，B=能活25年以上,依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4,所求为P(B|A) .,21,由条件概率的定义：,即 若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2),而 P(AB)=P(BA),五、乘法公式,若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).,将A、B的位置对调，有,故 P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (3),若 P(A)0,则P(BA)=P(A)P(B|A),(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用 它们可计算两个事件同时发生的概率,22,例10 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个
9、是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？,所求为P(AB).,甲、乙共生产 1000 个,189个是 标准件,300个 乙厂生产,设B=零件是乙厂生产,A=是标准件,注意P(AB)与P(A | B)的区别！,23,所求为P(AB) .,设B=零件是乙厂生产,A=是标准件,若改为“发现它是乙厂生产的, 问它是标准件的概率是多少?”,求的是 P(A|B) .,B发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(A|B)中作为条件.,24,当P(A1A2)0时，有 P (A1A2A3）=P(A1)P(A2|A1) P(A3| A1A2),推广到多个事件的乘法公式:,
10、当P(A1A2An-1)0时，有 P (A1A2An） =P(A1)P(A2|A1) P(An| A1A2An-1),25,乘法公式应用举例,一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.,（波里亚罐子模型）,26,于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球. ”,随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.,解: 设Wi=第i次取出是白球, i=1,2,3,4,Rj=第j次取出是红
11、球， j=1,2,3,4,27,用乘法公式容易求出,当 c0 时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.,=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3),P(W1W2R3R4),28,例11 盒中装有5个产品, 其中3个一等品，2个 二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个,求 （1）取两次，两次都取得一等品的概率; （2）取两次，第二次取得一等品的概率; （3）取三次，第三次才取得一等品的概率; （4）取两次，已知第二次取得一等品，求第一次取得的是二等品的概率.,解 令 Ai 为第 i
12、次取到一等品,（1）,29,提问：第三次才取得一等品的概率, 是,（2）更简单解,（2）取两次，第二次取得一等品的概率;,30,（4）取两次，已知第二次取得一等品，求第一次取得的是二等品的概率.,（3）取三次，第三次才取得一等品的概率;,31,例12 为了防止意外,矿井内同时装有A与B两 两种报警设备, 已知设备 A 单独使用时有效 的概率为0.92, 设备 B 单独使用时有效的概 率为0.93, 在设备 A 失效的条件下, 设备B 有 效的概率为 0.85, 求发生意外时至少有一个 报警设备有效的概率.,设事件 A, B 分别表示设备A, B 有效,已知,求,分析,32,解,由,即,故,另解,
