1、板壳理论,2011年,郑州大学,主讲：王志,第十六章 薄板的稳定问题,第十六章 薄板的稳定问题,第十六章 薄板的稳定问题,横向荷载,纵向荷载,薄板所受的荷载分为纵向，横向两个方向任意方向荷载的也可以分解为横向和纵向荷载,16.1薄板受纵横荷载共同作用,横向荷载,纵向荷载,薄板小挠度问题，假设薄板只受到横向荷载作用当薄板在边界上受有纵向载荷时，假定其只发生平行于中面的应力，且这些应力不沿薄板厚度变化，这是薄板在纵向载荷作用下的平面应力问题。薄板每单位宽度上的平面应力将合成中面内力或薄膜内力,16.1薄板受纵横荷载共同作用,当薄板同时受横向载荷和纵向载荷时，如果纵向载荷很小，因而中面内力也很小，它
2、对薄板弯曲的影响可不计，我们就可以分别计算两向载荷引起的应力，然后叠加。如果中面内力比较大，就必须考虑中面内力对弯曲的影响。,q,x,y,o,z,16.1薄板受纵横荷载共同作用,取薄板任意微分块，根据平衡条件，对通过微分块中心而平行于z轴的直线为矩轴取矩，写出力矩的平衡方程，略去微量以后，将得到：,将所有各力投影到x轴和y轴上，得到,16.1薄板受纵横荷载共同作用,16.1薄板受纵横荷载共同作用,16.1薄板受纵横荷载共同作用,将所有各力投影到z轴上，得到,外力：,横向剪力：,16.1薄板受纵横荷载共同作用,在横向荷载作用下，板在z方向发生了挠度，因此拉力与顺剪力在Z轴上投影不为零，前图中左右
3、边的拉应力：,16.1薄板受纵横荷载共同作用,同样，前后边的拉应力有：,16.1薄板受纵横荷载共同作用,在横向荷载作用下，板在z方向发生了挠度，因此顺剪力在Z轴上投影不为零，前图中左右边的顺剪力：,16.1薄板受纵横荷载共同作用,16.1薄板受纵横荷载共同作用,将z方向的各个投影力叠加再除以dxdy，并令其和为零：,形式一,16.1薄板受纵横荷载共同作用,形式二,0,0,16.1薄板受纵横荷载共同作用,16.1薄板受纵横荷载共同作用,16.2薄板的压曲,临界状态研究,压杆稳定，设压力与杆件轴线重合，当压力小于某一极限值时(b)当压力逐渐增加到某一极限值时(c)Fcr临界压力,16.2薄板的压曲
4、,圆柱形薄壳，则当外压到达临界值时，薄壳的圆形平衡就变为不稳定，会突然变成由虚线表示的长圆形。板条或工字梁在最大抗弯刚度平面内弯曲时，会因载荷达到临界值而发生侧向弯曲。薄壳在轴向压力或扭矩作用下，会出现局部折皱。这些都是稳定性问题。,16.2薄板的压曲,纵向荷载为拉力，平衡,受干扰弯曲,干扰去除恢复平衡,16.2薄板的压曲,纵向荷载为压力，平衡,受干扰弯曲,干扰去除，新位置平衡,再受干扰,干扰去除，恢复弯曲平衡,16.2薄板的压曲,板在边界上受纵向载荷，若中面内力在各个部位都不是压力（是拉力或等于零），则薄板的的平面平衡状态是稳定的； 板在边界上受纵向载荷，中面内力在某些部位和方向是压力，则当
5、纵向载荷超过某一数值（即所谓临界载荷）时，薄板的平面平衡状态将不稳定，受到干扰后将达到新的平衡； (1) 稳定平衡和不稳定平衡,临界平衡 (2) 屈曲：薄板在纵向载荷下处于弯曲的平衡状态,16.2薄板的压曲,稳定平衡物体处于平衡状态，如有微小干扰，物体离开平衡位置，但除去干扰后，物体又能恢复原来的平衡状态，则物体在原来的平衡状态称为稳定平衡状态。 不稳定平衡物体处于平衡状态，如有微小干扰，物体离开平衡位置，但除去干扰后，物体不能恢复原来的平衡状态，并且进一步离开，直至破坏，则物体在原来的平衡状态称为不稳定平衡状态。 临界平衡物体处于平衡状态，如有微小干扰，物体离开平衡位置，但除去干扰后，物体不
6、能恢复原来的平衡状态，而在新的微弯曲线位置保持平衡，则物体在原来的平衡状态称为临界平衡状态。,16.2薄板的压曲,压曲方程,假定纵向载荷的分布规律（即各个载荷之间的比值）是指定的，（大小未知）。可求的,从而求得中面内力,用上述未知大小的纵向载荷来表示。当发生屈曲时，纵向载荷P的最小值即为临界载荷。,压曲问题横向载荷,所以薄板的压曲微分方程为,与纵向载荷P有关。,齐次微分方程 非零解,16.3四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲,问题描述,设有四边简支矩形薄板，它的两对边受有均布压力，在板边的每单位长度上为Fx,16.3四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲,易知，平面应力为,于是得到中面内力,代
7、入压曲方程为,0,求解,16.3四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲,设挠度为,纳维解的形式,16.3四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲,分析,很小,平面平衡状态,增大到某一值,等式恒成立，可能压曲,16.3四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲,其中m和n分别表示薄板压曲后沿x和y方向的正弦半波数。,由此可见，纵向载荷Fx的临界值一定满足如下的压曲条件：,16.3四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲,满足条件的Fx很多，如何找到其中最小的，即临界荷载？,n处于分子，n越大，Fx越大，所以n取1,物理意义：x方向受压，y方向只有一个正弦半波,16.3四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲,抛物线
8、,16.3四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲,16.3四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲,注：,每根曲线起决定作用的为实线部分,2)对于一定的a/b值，这部分曲线所给出的k值小于其它曲线所给出的k值 邻近两曲线交点极易求得，例如m=1,m=2,16.3四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲,16.3四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲,设矩形薄板在双向受有均布压力，在板边的每单位宽度上分别为Fx及,16.3四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲,解：中面内力为,16.3四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲,得,对于任何的a/b及a=Fy/Fx，都可取m及n不同整数，求出不同的Fx值，Fy为拉力
9、时，a取负值，公式仍然适用。,最小的Fx值即为临界荷载(Fx)c.,前三节总结,16.1薄板受纵横荷载共同作用,前三节总结,16.2薄板的压曲,薄板在纵向载荷下处于弯曲的平衡状态,所以薄板的压曲微分方程为,前三节总结,16.3四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲,前三节总结,16.3四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲,16.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲,问题描述,矩形薄板有两对边为简支边，另两边为任意边，在简支边上受均布压力，,取挠度的表达式为,16.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲,回顾莱维解法，w代入微分方程：,q也展开为相同形式：,该方程有解的形式：,方程特征根,1
10、6.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲,常系数常微分方程,特征方程为,特征方程的四个根,16.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲,在绝大多数情况下,讨论,在极少数情况下,16.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲,四个根必然是两实两虚，可写为,令,该四个根为,16.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲,16.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲,令,四个根必然是全是实数,该四个根为,16.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲,？,16.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲,y=0，y=b处有四个边界条件，代入可得到C1-C4的联立齐次线性方程组,C1-C4全为0
11、，wm=0，没有压曲,C1-C4不全为0， C1-C4系数行列式为0，得到Fx的超越方程,1,2,16.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲,m=1,2,3,4,Fx1,Fx2,(Fx)c=min(Fx1,Fx2,),形式,其中的k为无因次的系数，它主要依赖于a/b。 当薄板具有自由边时，k还与m有关。,16.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲,超越方程：等号两边至少有一个含有未知数的初等超越函数式的方程。如指数方程、对数方程、三角方程、反三角方程等。 具有未知量的对数函数、指数函数、三角函数、反三角函数等的方程。例如： 2x=x+1,sin x+x=0。超越方程是没有一般解法的，只
12、有特殊的超越方程才可以求出准确解来。常用的近似解法有牛顿切线法、幂级数解法等等，也可以编制一段程序用计算机求解（matlab，fortrran），或者利用现成的软件求解例如大多数电脑都安装的EXCEL也可以用来求解超越方程。,16.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲,牛顿切线法,16.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲,例1,y=0的一边简支，y=b的一边自由，求m=1，m=1/4的解,根据前面推导,16.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲,在y=0边,在y=b边,自由边,简支边,将w代入边界条件,16.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲,在y=0边,在y=b边,16.
13、3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲,16.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲,此方程为超越方程，需要数值求解最后得到,对应于m=1，m=1/4时，k的数值解为,a/b,k,例2,16.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲,y=0的一边夹支，y=b的一边自由，当a/b较小时，临界载荷相应于m=1，当a/b较大时，临界载荷相应于m1，取m=1/4,16.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲,例3,y=0, y=b两边均夹支，临界载荷与m无关,k较大，说明难以压曲,16.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲,用上述方法很繁，工程实践中，计算矩形薄板的临界载荷值时，都宜采用差分
14、法或能量法。,小结,16.4圆形薄板的压曲,A点,B点,应力的坐标变换推导,16.4圆形薄板的压曲,16.4圆形薄板的压曲,代入压曲微分方程,16.4圆形薄板的压曲,圆形薄板受均布压力,按照平面应力问题进行分析，可得应力分量为,从而中面内力为,16.4圆形薄板的压曲,取,求解,16.4圆形薄板的压曲,先考察挠度的形式与n的取值的关系,n=0,w只与半径有关，轴对称,n=1,w在r为常数的环线上出现一个波形,n=2,w在r为常数的环线上出现二个波形,16.4圆形薄板的压曲,接着关心压曲方程的求解,引入无因次变量x=ar，,压曲方程改写为,贝赛尔微分方程,16.4圆形薄板的压曲,贝赛尔微分方程,的
15、解答是：,其中Jn(x)和Nn(x)分别为实宗量的、n阶的第一种及第二种贝塞尔函数。,另一解形式,代回,16.4圆形薄板的压曲,上式都满足,16.4圆形薄板的压曲,对于无孔圆板，在板的中心(x=ar=0),w不能等于零，而Nn(x)和x(-n)在x=0时将趋于无限大，所以必须取C2=C4=0，于是有,利用板的两个边界条件，可得出C1及C3的一组两个齐次线性方程。命该方程组的系数行列式等于零，就得到计算临界载荷的方程。,16.4圆形薄板的压曲,对于中心有圆孔的圆形薄板，并在板边和孔边受到不同大小的均布压力是，也可以先由拉密解答求出中面内力，然后应用压曲微分方程，利用贝塞尔函数求解，从而求得临界载
16、荷。,十六章 作业,16-1；16-2,16.4用差分法求临界荷载,按照压曲微分方程，在任一典型节点0，如上图所示，有,利用差分公式，可得上列方程的差分形式,16.4用差分法求临界荷载,在应用边界条件以后，这些方程中的未知w值的数目将和方程的数目相同。注意这些方程中并没有自由项，可见它们是一组齐次线性方程。为了这一组方程具有非零解(相应于某种压曲状态)，方程组的系数行列式必须等于0。因为系数中的(FTx)0、(FTy)0、(FTxy)0全都是用纵向载荷表示的，所以，命系数行列式等于零，就得出一个代数方程，可以用来求得相应于某种压曲状态的纵向荷载。将各种压曲状态下的纵向荷载加以比较，就得出薄板的
17、临界载荷,16.4用差分法求临界荷载,例1,四边简支矩形薄板，在两个对边上受按三角形分布的压力，用43的网格求解,由平面应力问题的解答，极易得出各接点处的中面内力为:,16.4用差分法求临界荷载,写出节点a、b、c压曲微分方程的差分形式，并应用边界条件，得,节点a,节点b,节点c,化解后可得,16.4用差分法求临界荷载,该方程有解，其系数行列式为零,此类方程可以由Excel求解,16.4用差分法求临界荷载,解得这个方程的最小正实根为,该问题的精确解为,误差约为8%,16.5用能量法求临界荷载,当薄板在一定分布方式的纵向荷载作用下处于平面平衡状态时，是否稳定，如何辨别？,方法：薄板受有横向干扰力
18、而进入邻近的某一弯曲状态，在干扰力除去以后，它是否恢复原来的平面状态。该状态如何辨别？,16.5用能量法求临界荷载,当薄板从该平面状态进入该弯曲状态时,如果势能增加，就表示该平面状面状态下的势能为极小，对应于稳定平衡； 如果势能减少，就表示该平面状态下的势能为极大，对应于不稳定平衡； 如果势能保持不变，该平面状态下的平衡是稳定平衡的极限，而相应于这一极限状态下的纵向载荷就是临界载荷。,16.5用能量法求临界荷载,势能之所以不变，是因为载荷的减少等于形变势能的增加，而载荷势能的减少又等于载荷所做的功，故临界载荷可以这样求得：,薄板从平面状态进入邻近的弯曲状态，纵向载荷所做的功W等于形变势能 的增
19、加，即,或,形变势能，前边已经有结果,纵向荷载的功？,16.5用能量法求临界荷载,纵向载荷所做的功的计算,左右两边的内力FTxdy原来相距dx，在薄板弯曲后，这个距离变为,16.5用能量法求临界荷载,缩短了 ，于是可见内力FTxdy所做的功为,同理，内力FTydx所做的功为,对于平错力FTxy=FTyx所做的功,需求出45的拉伸收缩,16.5用能量法求临界荷载,16.5用能量法求临界荷载,16.5用能量法求临界荷载,将以上三部分叠加，便得出了该微分块上全部中面内力所做的功,纵向载荷在压曲过程中所做的功为dW在面积内求积分,16.5用能量法求临界荷载,纵向载荷做的功、形变势能,或,16.5用能量
20、法求临界荷载,计算步骤,先求出用纵向载荷表示中面内力的表达式Fx 设定满足位移边界条件的挠度表达式w 计算形变势能 写出外荷载做功W公式 令W=Ve,得到压曲的条件，进而求出临界荷载,16.5用能量法求临界荷载,为了使得设定的挠度较好地符合临界载荷下的挠度，从而求得较精确的界载荷，可设定挠度的表达式为,其中wm是满足位移边界条件的函数，Cm是互不依赖的待定系数，选择Cm时，可以应用最小势能原理。以薄板在平面状态下的形变势能即载荷势能均为零，则薄板在压曲状态下的形变势能为Ve，载荷势能为-W，而总势能为Ve-W，于是由最小势能原理得到,这将给出Cm的m个齐次线性方程，由其系数行列式必须等于零，便
21、可得到临界载荷的方程。,16.5用能量法求临界荷载,对于加劲矩形板,情形1，横向加肋， r-1根肋条,考虑肋条的弯曲应变能,整个板结构的应变势能由平板与加强筋两部分应变能所组成,16.5用能量法求临界荷载,根据铁木辛柯法原理，则有,设满足边界条件的屈曲挠度函数为,利用上述原理可得,16.5用能量法求临界荷载,引入无因次量,仅取一项，可得到,与不加肋条相比，多了一项，即临界荷载增加了,16.5用能量法求临界荷载,情形2，纵向加肋， r-1根肋条,a,b,c,加肋肋条的弯曲应变能为,作用在第i根肋条上压力所做的功为,16.5用能量法求临界荷载,其中,Ai为第i根筋的截面积。则有,若Ai=A，令 ，
22、则有,取一阶近似得,当n=1时，k取最小值，则,168 用能量法求临界载荷举例,例1,设有四边简支矩形薄板，它的两对边受有均布压力，在板边的每单位长度上为Fx,易知，平面应力为,于是得到中面内力,168 用能量法求临界载荷举例,168 用能量法求临界载荷举例,命这一方程的系数行列式等于零，即得,由,168 用能量法求临界载荷举例,四边简支矩形薄板，在两个对边的中点处受有大小相等而方向相反的两个集中力F。首先，在挠度表达式中只取一项：,例2,168 用能量法求临界载荷举例,由,168 用能量法求临界载荷举例,命上面的方程系数等于零，即得,c,若挠度表达式中取两项,168 用能量法求临界载荷举例,
23、168 用能量法求临界载荷举例,命上列方程组的系数行列式等于零，得到,168 用能量法求临界载荷举例,从而得到解答,c,讨论，当a/b=1时，挠度函数分别取一项，两项，三项时？,一项 两项 三项,168 用能量法求临界载荷举例,例3,设有三边简支、一边自由的矩形薄板，在两简支对边上受均布载荷Fx，试用能量法求临界载荷。,取压曲后的挠度方程为,w的一阶和二阶导数为,168 用能量法求临界载荷举例,168 用能量法求临界载荷举例,168 用能量法求临界载荷举例,当时 ，有,168 用能量法求临界载荷举例,例4,168 用能量法求临界载荷举例,168 用能量法求临界载荷举例,圆形薄板，边界夹支，沿边
24、界受均布压力Fr，求临界载荷,例5,168 用能量法求临界载荷举例,第十六章总结,1.薄板受纵横荷载共同作用.,2.矩形薄板的压曲，临界荷载.,3.圆形薄板的压曲，临界荷载.,4.差分法求临界荷载.,5.能量法求临界荷载.,矩形、圆形薄板的压曲，临界荷载.,计算中面内力,设置挠度函数,压曲方程非零解,求荷载最小值,1,2,3,4,差分法求临界荷载,划分网格节点编号,建立节点差分方程,差分方程行列式为零,求荷载最小值,1,2,3,4,能量法求临界荷载.,设置挠度函数,计算外力功、应变能,运用最小势能原理或伽辽金法,系数行列式为0,求荷载最小值,1,2,3,4,挠 度 函 数 的 设 置,对边简支，两边自由，对边承压,三边简支，一边自由，对边承压,四边简支，对边承压,对边简支，两边夹支，对边承压,四边夹支，对边承压,稳定理论角度提高临界荷载方法.,稳定理论提高临界荷载方法.,Thank you ！,郑州大学,
