1、- 1 -江西省吉安一中 2015 届上学期高三年级第二次阶段考试数学试卷（文科）一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1. 复数24(1)i的共轭复数是（ ）A. i B. i C. 2i D. 2i2. 在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取 2 个小球，则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是（ ）A. 1B. 10C. 15D. 103. 设函数2()fxg，曲线 ()ygx在点 ,()处的切线方程为 21yx，则曲线 y在点 1,f处切线的斜率为（ ）A. 4 B. 4C. 2 D. 124. 已知点 (
2、,)Pxy在不等式组01xy表示的平面区域上运动，则 zxy的取值范围是（ ）A. 2,1 B. 2, C. ,2 D. 1,25. 设 ,xy是两个实数，则“ ,xy中至少有一个数大于 1”是“ xy”成立的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件6.设在ABC 中， 3ABC， 0AB，AD 是边 BC 上的高，则 ADC的值等于（ ）A. 0 B. 94C. 4 D. 947. 设集合 2|30Ax，集合 2|10,Bxa。若 AB中恰含有一个整数 u，则实数 a 的取值范围是（ ）A. 30,4B. 4,C. 3,4D. ,- 2
3、-8. 等差数列 na的前 n 项和为*()nSN，且满足 150S， 16，则1Sa，2，15Sa中最大的项为（ ）A. 6B. 7SaC. 9SaD. 8Sa9. 三棱锥 P-ABC 的三条侧棱 PA、PB、PC 两两互相垂直，且长度分别为 3、4、5 ，则三棱锥P-ABC 外接球的体积是（ ）A. 20 B. 1256C. 1253D. 010. 已知双曲线的两个焦点分别为 1(,)F， 2(5,)，P 是双曲线上的一点，12PF且 12PFA，则双曲线方程是（ ）A. 3xyB. 214xyC. 213xyD. 214yx11. 在如图所示的程序框图中，当*()nN时，函数 ()nf等
4、于函数 1()nf的导函数，若输入函数 1()sicofxx，则输出的函数 (nfx可化为（ ）- 3 -A. 2sin()4xB. 2sin()4xC. 2sin()4xD. 2sin()4x12. 已知函数,0()l1)f，若 ()1fa，则 a 的取值范围是（ ）A. 2,0 B. 2, C. 4,0 D. 4,1二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13. 方程 210x的根 (,1)xkZ，则 k=_。14. 已知两个单位向量 a，b 的夹角为 60， (1)ctatb，若 0cA，则实数t=_。15. 某几何体的三视图如图所示，当 xy 最大时，该几何体的体积为_。16. 数列
5、 na的通项22(cosin)3n，其前 n 项和为 nS，则 30为_。三、解答题17. （12 分）已知函数2()4cossico1,fxxR。（1 ）求函数的最小正周期、最大值及取最大值时自变量的取值集合；（2 ）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b ，c ；若 a，b，c 成等比数列，且 2ca，求()fB的值。18. （12 分）某高校在 2012 年的自主招生考试中随机抽取了 100 名学生的笔试成绩，按成绩分组：第一组160,165 ） ，第二组 165,170） ，第三组170,175） ，第四组175,180） ，第五组180,185）得到的频率分布直方图如图所
6、示。- 4 -（1 ）求第三、四、五组的频率；（2 ）为了以选拔出最优秀的学生，学校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试，求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试。（3 ）在（2 ）的前提下，学校决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受甲考官的面试，求第四组至少有一名学生被甲考官面试的概率。19. （12 分）如图，AB 为圆 O 的直径，点 E、F 在圆 O 上，ABEF ，矩形 ABCD 所在的平面和圆 O 所在的平面互相垂直，且 AB=2，AD=EF=1。（I）求证：AF平面 CBF；（II）设 FC 的中点为 M，求证： OM平面
7、DAF；（III）设平面 CBF 将几何体 EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为 ,FABCDEV，求:FABCDEV。20. （12 分）已知椭圆 C：21(0)xyab过点3(1,)2，且椭圆 C 的离心率为12.- 5 -（I）求椭圆 C 的方程；（II）若动点 P 在直线 1x上，过 P 作直线交椭圆 C 于 M，N 两点，且 P 为线段 MN 中点，再过 P 作直线 lMN.证明：直线 l恒过定点，并求出该定点的坐标。21. （12 分）已知函数21()ln3fxabx，其中 ,abR。（1 ）当 a=3，b=-1 时，求函数 f的最小值；（2 ）当 a0，且 a 为常数时，若函
8、数 ()()lnhxfx对任意的 124x，总有12()hx成立，试用 a 表示出 b 的取值范围。选做题：请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，作答时请写清题号。22. 选修 41：几何证明选讲如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上，ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E，DB垂直 BE 交圆于点 D。（I）证明：DB=DC ；（II）设圆的半径为 1， 3，延长 CE 交 AB 于点 F，求BCF 外接圆的半径。23. 选修 44：坐标系与参数方程已知曲线 C1 的参数方程为45cos,inxty（t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标
9、系，曲线 C2 的极坐标方程为 2sin。（I）把 C1 的参数方程化为极坐标方程；（ II）求 C1 与 C2 交点的极坐标（ 0,2） 。24. 选修 45：不等式选讲已知函数 ()1fxxa， ()3gx。- 6 -（I）当 2a时，求不等式 ()fxg的解集；（II）设 1，且当1,2a时， ()fx，求 a 的取值范围。- 7 -18. 解：（1 ）由题设可知，第三组的频率为 0.065=0.3第四组的频率为 0.045=0.2 第五组的频率为 0.025=0.1（3 分）（2 ）第三组的人数为 0.3100=30 第四组的人数为 0.2100=20第五组的人数为 0.1100=10
10、 因为第三、四、五组共有 60 名学生，所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生，每组抽到的人数分别为：第三组30第四组206第五组106，所以第三、四、五组分别抽取 3 人， 2 人，1 人。 （6 分）（3 ）设第三组的 3 位同学为 123,A，第四组的 2 为同学为 2,B,第五组的 1 为同学为 C1，则从 6 为同学中抽 2 位同学有：23121312(,),(),(,),(,),ABCA13212CB共 15 种可能（9 分）其中第四组的 2 为同学 12,中至少 1 为同学入选有 1212(),(),BAB，313(,),()(,)ABC共 9 种可能。- 8 -所以
11、第四组至少有 1 位同学被甲考官面试的概率为9315。 （12 分）19. 解：（I）证明：平面 ABCD平面 ABEF，CBAB，平面 ABCD平面 ABEF=AB，CB 平面 ABEF，AF 平面 ABEF，AFCB，2 分又AB 为圆 O 的直径，AF BF，AF平面 CBF。 4 分（II）设 DF 的中点为 N，则 MN1CD，又1AO，则 MA ，MNAO 为平行四边形， 6 分OMAN，又 AN平面 DAF，PM 平面 DAF，OM平面 DAF。8 分（III）过点 F 作 FGAB 于 G，平面 ABCD平面 ABEF，FG 平面 ABCD，1233FABCDABVSFG，10
12、 分CB 平面 ABEF，116FBEFBFECFCBG， :4:1FABCDEV12 分20. 解：（ I）因为点3(,)2在椭圆 C 上，所以 2194ab，又椭圆 C 的离心率为12，所以12ca，即 ，所以24,3ab，所以椭圆 C 的方程为2143xy（4 分）（II）设 0(1,)Py，(,)，当直线 MN 的斜率存在时，设直线 MN 的方程为 0(1)ykx，12(,)(,)MxyN，由2034()k，得222200(34)(8)(481)0kxykxyk，所以01228yx，因为 P 为 MN 中点，所以12，即2834yk，- 9 -所以03()4MNky，因为直线 lMN，
13、所以0143yk，所以直线的方程为00(1)3yx，即04()3yx，显然直线恒过定点1(,)（10 分）当直线 MN 的斜率不存在时，直线 MN 的方程为 ，此时直线为 x 轴，也过点(,0)4综上所述，直线恒过定点(,0)4（12 分）（此题还可以用点差法）21. 解：（1 ）当 3,1ab时，2()ln,()fxx(2()fxx 0，1时， ()0f；12x时， ()0fx即 ()fx在,2上单调递减，在,上单调递增 ()f在1处取得最小值，即 min13()()ln24fxf。（2 ）由题意，对任意的 124x，总有12)0hx成立。令3()pxhab， ,)x，则函数 ()px在 4
14、,)上单调递增2()10x在 4,)上恒成立，21abx在4,x上恒成立。构造函数()(0),()Faxx则21(axFxF （ x）在(0,)上单调递减，在(,)a上单调递增（i）当4a，即16a时，F （x）在4,上单调递减，在(,)a上单调递增- 10 - min()()2aFx in2b，从而 (,ba（ii）当4a，即16时， ()Fx在 4,)上单调递增2()bF，从而1,28ba综上，当106a时， (,)， 6时，1(,28ba22. 解：（1）连结 DE，交 BC 为 G，由弦切角定理得， ABEC，而ABEC，故 ,BECE.又因为 DBBE，所以 DE 为直径，90D，由勾股定理，可得 DB=DC。（II）由（1） ， CDEB，DB=DC，故 DG 是 BC 的中垂线，所以32BG，圆心为O，连结 BO，则 60OG， 30AEBCE，所以 CFBF，故外接圆半径为32。23. 解：（1 ）将45cosinxty，消去参数 t，化学普通方程22(4)(5)xy，即 C：28106，将cos,inxpy代入210xy得2810i60
