1、可靠性数学基本知识,电力可靠性管理中心 李霞,二一一年八月 贵阳,CER,中文网址: 国家电力监管委员会电力可靠性管理中心 英文网址: www.chinaer.org,主要内容,电力可靠性基本概念 概率基本知识 元件的可靠性分析 系统可靠性分析简介,一、电力可靠性基本概念,复杂性对系统可靠性的影响,不同年代生产的农用拖拉机的复杂性及可靠性水平,可靠性的基本概念,可靠性reliability：设备或系统在给定的条件下、规定的时间期间内、充分执行其预期功能的概率。 可靠性技术的出发点：引用“概率”理论对可靠性作定量描述。,电力系统可靠性，是指把可靠性工程的一般原理和方法与电力系统中的工程问题相结合
2、所形成的一门应用学科。 利用可靠性管理方法和指标体系可以规定、预测、设计、试验或者演示电力部件、元件、产品或系统的可靠性性能。,目前，电力系统可靠性研究的主要内容有以下两个方面： 可靠性指标的统计分析评价：对已运行的元件或系统进行历史的可靠性指标的统计分析和评价，属于度量过去性能的工作。 可靠性的预测评估：为了规划、设计和建立新的元件或系统，或者扩大、改造和发展现有元件或系统的工作能力而进行的可靠性统计评估，属于预测未来行为的工作。,对电力系统可靠性评价，就是通过一套定量指标来度量电力供应部门向用户提供连续不断的、质量合格的电能的能力。包括对系统充裕性和安全性两方面的衡量。,充裕性是指电力系统
3、稳态运行时，在系统元件额定容量、母线电压和系统频率等的允许范围内，考虑系统中元件的计划停运及合理的非计划停运条件下，向用户提供全部所需电力和电量的能力。充裕性一般涉及系统中是否有足够的设施来满足用户对供电的要求，因此不考虑扰动，属于忽略状态之间转移的工况范畴， 也称为静态可靠性。充裕性的量化分析相对容易，目前已取得大量的理论和工程应用成果。,安全性是指电力系统经受住短路或系统中元件意外退出运行等突然扰动并且不间断地向用户供电的能力。安全性表征对扰动的响应能力和保持整体性（即系统互联运行）的能力，安全性与对系统扰动的响应能力有关，因次涉及引起局部或大范围影响的工况以及失去大容量发电或输电设施的事
4、件，也称为动态可靠性。目前安全性概率分析尚属于开发阶段。,供电系统是电力系统的重要组成部分，供电系统用户可靠性是指一个供电系统对其用户持续供电的能力。 供电系统向用户供电必须满足可靠性的要求，具体到用户供电的角度来说，即以是否造成对用户停电为准，也就是说从用户的角度来看，希望供电系统无论在什么运行方式和运行条件下都不发生故障，能保证连续充分地供给用户正常质量的电能。,二、概率基本知识,事件的性质,事件总是与某些试验的结果相关联，理论研究中一般作出以下假设： 在相同条件下重复进行 实验的结果可能不只一个 不可能预先判定每一次实验将出现的结果,事件的性质,通常将一个给定条件的统计试验中所有可能结果
5、的总和称为“样本空间”。 工程研究中的事件一般都可以用集合来描述，即：样本空间中的一个子集称为事件。,事件的性质,例如，某供电系统某年故障停电时间的样本空间为：,式中t为该供电系统的故障停电时间，则：,是该供电系统故障停电时间大于4小时且等于或小于5小时的事件。,事件的分类,必然事件：一定会发生的事件。 “某一条供电线路一年内所有可能发生的故障次数”。 不可能事件：一定不会发生的事件。 “某一条供电线路一年内发生 2 次故障”。 随机事件：可能发生也可能不发生的事件。 “某一条供电线路一年内发生 1 次故障”。,随机事件的分类,独立事件：如果某一事件的发生不影响另一事件发生的概率，则这两个事件
6、称为独立事件。实际工程中，只要相关程度不大时，都假设是独立事件，例如一个发电厂中不同的主设备的故障事件。但如果事件具有一定相关性时，则不适用独立性的假设。事件独立性的假设可能导致可靠性的偏高估计。,互斥事件：如果两个事件不可能同时发生，则称它们是互斥事件，或称不相交事件。例如一个设备的成功运行和事故退出工作这两种状态就不可能同时存在，因而是互斥事件。应当注意，该设备还可能处于非故障停运的第三种状态。,随机事件的分类,对立事件：如果一个事件只存在两种可能结果，其中一种结果不发生，另一种结果就必然发生，则称它们是对立事件,或称互补事件。如果这两种结果A和B的概率分别是P(A)和P(B)，则根据定义
7、，有 或 例如“一台发电机投入运行”为事件A，“该发电机停运”为事件，则事件A和事件B是对立事件，且 显然，对立事件必然是互斥事件，但互斥事件并不一定是对立事件。,随机事件的分类,条件事件：条件事件是一些在另一个或另几个事件发生的条件下发生的事件。如果研究事件B发生的条件下事件A发生的概率，则将其记为P(A|B)，读为“给定B发生时A发生的条件概率”。或,随机事件的分类,实践表明，随机事件发生的可能性大小是事件本身所固有的一种客观属性。这种属性通常可以用一个数字来描述，这个属性就是随机事件发生的概率。,概率的古典定义,如果某一试验的全部可能结果为n个，且每个结果都具有等可能性和互不相容性，而其
8、中对应于A的结果是m个，则事件A发生的概率为：,例如，某供电系统某年故障停电时间分布如表示，计算故障停电时间概率。,解：由概率的古典定义式得：,概率的统计定义,许多实际事件不具备概率古典定义要求等可能发生的有限事件数的性质，但是这些事件的发生仍有其本身的规律性，只要进行大量重复的试验，就会发现许多随机事件的发生概率是随着试验次数的不断增加而趋近于某一稳定值，所以引入概率的统计定义。 定义：当重复试验次数n足够大时，事件A出现的频率渐趋于一个稳定值P(A)，则称这一稳定值P(A)为事件A发生的统计概率，记为：,对任意两个事件A和B，当求两个事件同时发生（事件的交(AB)或(AB)）的概率时，需用
9、概率的乘法公式：P(AB) =P(A|B)P(B)= P(B|A)P(A),概率的乘法公式,若事件A和B相互独立，P(A|B)=P(A), P(B|A)=P(B), P(AB) =P(A)P(B) 若事件A和B互斥,即它们不可能同时发生，P(AB) =0,对于多个独立事件，则可推广为：,概率的乘法公式,对相关事件有：,概率的加法公式,对任意两个事件A和B，求至少有一个发生（事件的并）的概率时，需用概率的加法公式：若事件A和B相互独立：若事件A和B互斥， 为空集：,对于三个事件A，B，C，有：推广到n个随机事件的情形有：,概率的加法公式,例如：某一系统由三个单元组成，每一单元的工作概率分别为1/
10、3、1/2、1/2，任一单元工作，系统即能成功。求该系统成功工作的概率。 解：设A、B、C分别为三个单元成功工作的三个事件。并假设这三个事件是独立事件，因此所求概率应为：,概率的加法公式,全概率公式,由条件概率的概念，可以推广到事件A的发生与若干互斥事件相关的情形。则可导出全概率公式为：,随机变量的概念,随机试验的结果往往表现为一个数。例如，某段高压线在一年内发生故障的次数，某台变压器从投入运行到第一次发生故障的小时数，都是随机事件，试验的结果都表现为一个数，而且都以确定的概率取得这些数。函数值由样本空间中每一个元素所确定的函数称为随机变量。 若变量X能表示随机现象的各种可能结果，而且它以确定
11、的概率取得某些值或某个范围的值，则称X为随机变量。 注：随机变量本身就是一个函数，可用概率来量化描述其函数值。,随机变量的概念,例如有三台型号相同的水泵，每台水泵三年内不发生故障的概率是p=0.8，研究这三台水泵三年后还能正常运转台数的概率。,用随机变量X表示三年后还能正常运转的水泵的台数。 “X=0”，表示“三年后没有一台正常运转”的事件； P（X=0）=（0.2）3=0.008 “X=1”，表示“三年后只有一台正常运转”的事件； P（X=1）=30.8*（0.2）2=0.096 “X=2”，表示“三年后有两台正常运转”的事件； P（X=2）= 3(0.8)2* 0.2=0.384 “X=3
12、”，表示“三年后有三台正常运转”的事件。 P（X=3）=（0.8）3=0.512,随机变量的概念,只包含有限个可能的数或一个可数无穷数列的样本空间称为离散样本空间，由其定义的随机变量称为离散随机变量。例如，一条架空线路一年内可能发生的故障次数记为Y，其取值范围是Y= 0，1，2，3 ，因之Y是一个离散随机变量。,随机变量的概念,包含无限个可能实数的样本空间称为连续样本空间；由其定义的随机变量称为连续随机变量。例如，一台变压器的有效寿命T的取值范围理论上是S=0TR,其中R是一个足够大的实数；因之T是一个连续随机变量。 在工程问题中，计数数据通常是离散随机变量，测量数据通常是连续随机变量。,随机
13、变量的概率分布及其主要数字特征,一般工程应用中，我们更感兴趣的不是随机变量可能去什么数值，而是其取某一数值的概率有多大。为此，引入随机变量分布概率的概念，其定义为“随即变量取不大于某一数值的概率”。通常用概率分布来研究工程中通过试验或观察收集的数据，根据可靠性评估的要求来研究对它们进行处理和评估的方法。,常用的分布函数有：概率密度函数PDF (probability density function)累积分布函数CDF (cumulative distribution function) 通常分别用符号f(X)和F(X)表示，其中X表示随机变量，如果一个随机变量的分布函数及有关参数完全确定，则
14、其概率特征可以得到完全描述。,随机变量的概率分布及其主要数字特征,对于离散型随机变量: 即F(x)是X取小于或等于x 的所有可能值得概率之和。 比如前面提到的水泵的例子（随机变量X表示三年后还能正常运转的水泵的台数）： F（2）=PX2= P(X=0)+P(X=1) +P(X=2)= 0.008+0.096+0.384=0.488,随机变量的概率分布及其主要数字特征,对于连续型随机变量：即F(x)是f(x)在区间（-，x上的积分值。,随机变量的概率分布及其主要数字特征,由定义可知，均值是加权平均这一概念在随机变量中的推广，它反映了随机变量取值的平均水平。方差反映了随机变量与其均值的偏离程度。,
15、随机变量的概率分布及其主要数字特征,为便于分析计算，常常用到随机变量的数字特征。其中最常用的有均值和方差，分别用符号E(X)和V(X)表示，并定义为： 对离散型随机变量：,式中， xi为随机变量的第i个变量值， Pi为xi出现的概率，且有：,例：某厂生产一批电阻，标称阻值时600欧。随机抽样，测量20个电阻的阻值是597，597，598，598，598，599，599，599，599， 599，600，600，600，600，600，601，601，602，602，602。 每个可能的电阻值都用出现的相对频率来加权，则有：,电阻例子中的方差：,方差值小，说明随机变量的值在其均值左右分布越集中，
16、由此表明均值越能代表X的平均水平。 换言之，均值代表总体的平均水平，方差代表总体水平的波动大小 。,例如，某供电系统某年故障停电时间分布如表示。,计算该供电系统故障停电持续时间的期望E(X)、方差V(X)、和标准差X如下：,解：计算故障停电时间概率得：,随机变量的概率分布及其主要数字特征,对连续型随机变量：,标准差：,平均寿命 平均寿命即寿命的期望值（期望值即均值）。 对不可修复系统或元件，平均寿命为失效前的平均工作时间，记作MTTF(mean time to failure) 对可修复系统或元件，平均寿命为平均故障间隔时间，记作MTBF(mean time between failure)
17、由数学期望定义，有：,例：设灯泡的寿命为x小时，它的概率密度函数为： f(x)=20000/x3 x100=0 x100 计算这种灯泡的期望寿命。 解：,许多标准型分布可用作各种可靠性参数的数学模型，但通过实践证明最常用的统计分布为二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布、威布尔分布和对数正态分布，这些分布能满足大部分可靠性分析工作的需要。,常用的分布,二项分布,如果某个试验只有成功和失败两种结果，且假设成功的概率是p，失败的概率是q，则对于n次试验有称其为二项分布，并满足以下条件(1) 有限的试验次数(2) 每次试验只出现两种结果之一(3) 所有试验结果有相同概率(4) 每次均为独立试验,二项
18、分布,例：某发电厂有三台机组，容量分别为100，150，200兆瓦，故障概率分别为0.01，0.02，0.03。该厂的负荷为250兆瓦，求该厂丧失负荷的概率。机组参数,二项分布,计算表,二项分布,负荷损失期望值为： E（负荷损失）=50*0.000194+100*0.000294+150*0.000594+250*0.000006=0.1297兆瓦,泊松分布,泊松分布描述给定时间或空间内发生率为常数，一定次数单个事件发生的频率。它与二项分布的主要区别是只考虑事件的发生。 如果利用泊松分布来模拟失效过程，这时常将其参数称为故障率。因此。令dt是一个足够小的时间单元，使得在这个时间单元内多于一次的
19、故障概率可以忽略，则可得密度分布函数：,即，泊松分布是二项分布的近似，主要用于分析已知单位时间的故障率，求在时段（0,t）中发生x次的概率Px（t）。,泊松分布,例：某大型网络处理系统的平均故障率是每三个月一次，求一年1次的概率和发生5次以上的概率。 解： =4次/年 一年发生1次的概率： P1（1）=4e-4 一年发生5次以上的概率: =1- P0（1）- P1（1）- P2（1）- P3（1）- P4（1）- P5（1） =1-e-4-4e-4 - 42e-4 /2- 43e-4 /3- 44e-4 /4- 45e-4 /5 =1-0.01832-0.07326-0.14653-0.195
20、37-0.19537-0.15629 =0.21486,正态分布,正态概率分布又称高斯分布，是最广泛使用的分布之一，它的概率密度函数对均值完全对称，其形状和位置由均值和标准差唯一确定。 正态分布密度函数 正态分布的主要特点是当随机变量为时，概率为0.5，因之是正态分布的均值，而且由于确定了曲线的横坐标位置，常称它为位置参数； 确定了离散度的大小，常称其为尺度参数，也就是正态分布的标准差。,正态分布,正态分布通常是用数值积分由计算机解算，并编制了不同积分限时曲线下面积的标准表，查表进行计算。标准表的依据是用标准正态变量Z进行以下代换,正态分布,例：某城镇新安装2000盏公用照明灯具，其平均寿命为
21、1000小时，标准差为200小时。投入使用700小时后，需要准备多少灯具作为更换可能损坏的灯具之用？ 解：设灯具的使用寿命服从正态分布，则灯具使用700小时后可能损坏的概率可由图的阴影面积表示。 则有 图 正态分布曲线,正态分布,据此可从标准正态分布表中查得相关数据，按下式计算出相应的概率Q(-1.5)： Q(-1.5) = 0.5 0.4332 = 0.0668 从而得到使用700小时后灯具的期望故障数是即，使用700 小时后大约需要134盏灯具作更换损坏灯具的备用。,指数分布,一般所说的指数分布，可看成是泊松分布的特殊情况，即只考虑第一次故障概率的情况。指数使用故障率为常数或者说与时间无关
22、的假设。应当强调的是，如果是研究与时间相关的概率，分布是系统可靠性问题中用得最广泛的一种分布，目前工程实用中为简化计算，常常不加证明地不同的分布会得到明显不同的结果。可靠度 故障密度函数,指数分布,均值、方差和标准差分别为,指数分布,例：如图的单个可维修元件系统状态空间表达，设其故障率和修复率均为常数，试研究该系统的风险概率和频率指标。,指数分布,则根据概率基本定义可得稳态可用度A和稳态不可用度U为频率,指数分布,根据指数分布假设得时刻 t 的工作和失效状态概率密度函数，并建立相应的微分方程并解出瞬时可用度和不可用度分别为,指数分布,从R(t)和A(t)的函数关系图中，可看出它们之间概念上的区
23、别。图 可靠度和时间相关可用度,三、元件的可靠性分析,元件、设备和系统根据使用过程的不同，可分为可修复和不可修复两大类。,不可修复元件、设备和系统：损坏后无法修复或无修复价值者。 对不可修复元件、设备和系统，常用在规定条件下和规定时间内未发生故障这一事件的概率作为可靠性指标，称为可靠度(t)。,可修复元件、设备和系统：损坏后经过修理能恢复到原有功能而可以再投入使用。 对可修复元件、设备和系统可靠度，除了要测度它们发生故障的概率，还要计算他们在发生故障后可修复的概率，因此，它们的可靠性指标常用可用度来表示。 可用度：可修复元件、设备和系统在长期运行中处于或准备处于工作状态的时间所占的比例。,可靠
24、度(t):在规定的条件下和规定的时间区间（t1,t2）内无故障持续完成规定功能的概率。 不可靠度Q(t):不能完成规定功能的概率。(t)+ Q(t)=1或者：Q(t)=1-(t),由：(t)+ Q(t)=1 求导得：,式中f(t)是故障概率密度函数。,故障率函数：工作到t时刻尚未故障的元件，在该时刻t后单位时间内发生失效的概率。,可靠性函数的形状,典型故障率曲线,对大量不同类型元件的故障数据的研究表明， 曲线呈浴盆形状，通常称为“浴盆曲线”，该曲线分为三个阶段：,可靠性函数的形状,初期损坏期（调试阶段）：这个阶段的故障大多是由于设计、采料、和制造、安装过程中的缺陷造成的。 正常使用或有效寿命期
25、：故障率可以近似看作常数，故障的发生属偶然事件，适用于指数分布。 衰耗期或元件疲劳屈服阶段：元件耗损严重，受命即将终结。 所以：应对元件进行有效的维护或更换，以改善故障率曲线。,四、系统可靠性分析简介,系统可靠性的概述,系统是由元件组成，原件按一定的目的连接在一起完成一定的功能。 系统的可靠性取决于个元件的可靠性及系统的结构形式即各元件的结合形式。 系统中各元件的可靠度可用前面所讲的方法求的，因此系统的可靠性分析主要研究系统结构对系统可靠性的影响。,可靠度：系统（元件）在规定的条件下和规定的时间区间内完成规定功能的概率，一般为时间的函数，计作R(t)。 不可靠度：系统（元件）在规定的条件下和规
26、定的时间区间内失效的概率，计作Q(t) 。,系统可靠性的概述,例：如图示，两个电力元件组成一个系统，在规定的生产周期内，L1的故障概率Q1=0.1， L2的故障概率Q2= 0.2。 1）若两个元件都完好，系统才算完好，求此时系统的可靠度； 2）若两个元件中其中一个完好，系统就算完好，求此时系统的可靠度。,系统可靠性的概述,解：设X1为L1完好， X2为L2完好，X1为L1故障， X2为L2故障，且R1 =0.9，R2 0.8， L1完好， L2完好时，P(X1X2)=R1R2=0.90.8=0.72 L1故障，L2故障时， P(X1X2)=Q1Q2=0.10.2=0.02 1）此时系统的可靠度
27、即和都完好的概率，即有R= P(X1X2)=0.72 2）此时系统的可靠度即为和都完好的概率与和中有一个完好的概率，即有R=1- P(X1X2)=1-0.02=0.98,分析系统可靠性时，需建立系统的可靠性框图，一般每个元件用以方块表示。,框图法-串联系统,若系统由n个元件组成，其中任一元件发生故障都会导致整个系统发生故障，称为串联系统。 假设任一元件的故障在统计上与其它任何元件的故障或完好无关，此时可靠性架构框图如下：,由定义可知，串联系统可靠度： R(t)= R1(t) R2(t) R3(t) Rn(t),例：设一系统由400个元件串联组成，每一元件在时刻t的可靠度为0.99，求此时系统可
28、靠度。 解：R=0.99400=0.018,从以上分析可以得出： 串联系统的寿命基本上是由最弱的元件的寿命所决定的，而且比最弱元件的寿命还要短。因此，要延长整个系统的寿命，首先要延长元件的寿命。 如果由n个寿命相同的元件构成串联系统，那么系统的寿命也将缩短。元件越多，寿命缩短越显著。因此从延长系统寿命来看，串联过多的元件是不利的。,框图法-并联系统,若系统由n个元件组成，当所有元件都发生故障时，整个系统才发生故障，称为并联系统。 假设任一元件的故障在统计上与其它任何元件的故障或完好无关，此时可靠性架构框图如下：,由定义可知，并联系统不可靠度： Q(t)= Q1(t) Q2(t) Q3(t) Q
29、n(t) 而R(t)= 1- Q(t),例：设某一系统由5个元件并联组成，每一元件在时刻t的可靠度为0.9，求此时系统的可靠度。 解：已知R(t)=0.9， Q(t)=0.1，则 R(t)=1- Q(t)=1-0.15=0.99999 可见，并联系统可使系统达到极高的可靠性。,例：一个系统由n个等可靠性的元件并联组成，分别求n=1，2，3，4，5，6，10时系统的可靠度Rs，假定元件的失效概率分别为0.01，0.05，0.1，0.2，0.4，0.6，0.8。,并联系统的可靠性Rs=f(n),说明，可靠性高的元件并联，系统可靠性提高得快，可靠性低的元件并联，系统可靠性提高得缓慢。,综合分析，并联
30、系统的可靠度比其中任一元件的可靠度都高，而串联系统中的每一个元件的可靠度比系统的可靠度高。因此，提高系统可靠度的一种方法是对一个元件添加备用元件，在设计中称为冗余（redundancy）。在并联结构中，虽然系统只需一个元件运行，但实际上其它元件都处于运行状态，这种冗余方式称为工作冗余。如果工作元件处于运行状态，其它元件处于备用状态，则称为储备冗余。,框图法-串并联系统和并串联系统,若系统由k个并联子系统串联而成，称为串并联系统。 若系统由k个串联子系统并联而成，称为并串联系统。,框图法-复杂结构,不能化成串、并联系统的系统称为复杂系统。 例：如图所示的桥系统，只要信息能从A传到B，则系统完好，
31、设元件Xi（i=1，25），在时刻t的可靠度分别为RX1=0.8，RX2=0.7，RX3=0.8，RX4=0.7，RX5=0.9，求此时系统的可靠度R。,x1,A,x5,x2,x4,x3,B,框图法-复杂结构,x1,A,x2,x4,x3,B,x1,A,x2,x4,x3,B,+,框图法-复杂结构,解：R=(1-QX1QX3)(1-QX2QX4)RX5+1-(1-RX1RX2)(1-RX3RX4) QX5=(1-0.20.2)(1-0.30.3) 0.9+1-(1-0.80.7)(1-0.80.7) 0.1=0.86688,马尔科夫随机过程模拟概念,马尔科夫过程是一种常见的无后效性随机过程，其特点是随机过程在将来的状态仅与其现在所处状态有关，而与过去所处状态无关。因之也常将这种系统称为无记忆系统。在应用马尔科夫过程进行工程系统可靠性模拟时常简称马尔科夫方法，并在服从指数分布或泊松分布时，它也是一个平稳随机过程，即被模拟系统的统计规律不随时间而变化。马尔科夫方法既可模拟离散也可模拟连续随机变量，对于离散变量的情形则特称马尔科夫链。在工程系统可靠性领域，常常研究的是时间连续和空间离散的问题。马尔科夫方法通过状态空间分析建模，因而又常称为状态空间法。,谢谢！,
