1、古塔的变形_高教杯数学建模 c 题论文2013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填
2、写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 古塔的变形_高教杯数学建模 c 题论文2013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：古塔的变形_高教杯数学建模 c 题论文- 1 -题目：古塔的变形摘要古塔是
3、展现中国古代悠久历史的文化载体，是我国古代具有代表性的建筑，它不仅蕴含了丰富的历史信息还见证了古代建筑师的建筑之精妙。本文针对古塔长时间承受自重和外力作用引起的组合变形问题，采用数据处理、几何分析及曲线拟合的方法，利用 matlab 等数学软件编程、计算，给出了确定古塔各层中心位置的通用方法，根据所给的各次测量数据计算出古塔各层的中心坐标，分析了该塔的倾斜、弯曲、扭曲等变形情况对变形趋势做了预测。针对问题 1，我们首先要根据这几年来四次古塔的数据变化情况，用建模软件MATLAB 制作成模型图，用数学建模中拟合的方法来画出塔的基本形状，再确定古塔每层的中心点，建立中心点拟合线方程模型，观察是否有
4、倾斜、扭曲、变形等情况。 针对问题 2，古塔倾斜的原因主要与日光照射、地基活动有关。首先朝向阳面的地基水分较少，阴面的地基水分较多，于是 1 万多吨的塔，开始向水分较多，地基松软的方向倾斜。另外大量的地下水开采影响了地基的稳固，而古塔附近的铁路运输，也会造成震动。而且，受到地基的不均匀沉降、地震、大风等影响，都会有可能倾斜等变形情况。针对问题 3，根据管理部门委托的测绘公司的数据表来看，古塔每年都以很小的角度在偏移，由于各种人为或者自然原因，使得古塔慢慢的倾斜为斜塔，斜塔并不一定都会倒塌，只要塔的重心线（通过重心点所引的垂直线）还在塔的底面积范围内，塔就是安全的。因此纠偏要根据每座塔的具体情况
5、而定。且一般来说，有些塔在倾斜的过程中，原本松软的地基会被渐渐压实，然后与倾斜角度构成新的平衡，便就此稳定下来。关键词:古塔 组合变形 倾斜 弯曲 扭曲 中心位置 变形趋势一 问题复述古塔是有着特定的形式和风格的东方传统建筑，是中国五千年文明史的载体之一，被誉为中国古代杰出的高层建筑。但由于存在时间久远，受各方面影响，古塔的可能会发生变形。文物部门为了更好地保护古塔，必须对其进行适时的观测，确定各种变形量，根据变形量，预测古塔的变形趋势，最后制定必要的保护措施。请根据附件 1 提供的 4 次观测数据，讨论以下问题：1、 给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。
6、2、分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。3、分析该塔的变形趋势。二 问题的分析本文研究的是古塔的变形问题。在给出了的一个古塔实例以及相应数据（附件1，该实例古塔的 4 次观测数据）的条件下，我们需要用建立该古塔的各层中心位置的通用方法，且列表给出各次测量的古塔各层的中心位置。并进一步分析该古塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况，最后分析该古塔的变形趋势。古塔的变形_高教杯数学建模 c 题论文- 2 -在问题 1 中，我们需要确定古塔各层中心位置，并列表给出各次测量的古塔各层中心位置。首先，我们假设各测量点都是选取得科学合理的位置，都是围绕中心点的，并且同一层测量点大致在同一平面上，由已知数据（附件 1
7、）也可以看出它们是大致在同一平面上。那么，我们由已知条件知道每层给出的各测量点的数据，我们通过画三维图形可以看出，那近似于一个的多边形，所以我们就可以把问题转变为求多边形的中心位置，然后记录各个中心位置坐标数据。在问题 2 中，我们需要分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。根据问题 1 中求得的各层的中心位置坐标，然后将各层的中心位置坐标，接连起来，观察它。理论上正常古塔的中心位置坐标连线应该大致是一条垂直于 X 轴和 Y 轴平行 Z 轴的直线。如果中心位置坐标连线，还是直线但不平行于 Z 轴了，说明该古塔发生了倾斜，如果中心位置坐标连线不是一条直线，而是一条有一个弧度的曲线，那么说明该古塔发生
8、了弯曲，如果中心位置坐标连线不是一条直线，而是一条有多个弧度的曲线，那么说明该古塔发生了扭曲。在问题 3 中，我们分析该塔的变形趋势时，通过分析每一个中心点的变化趋势，来判断整个塔的变形趋势，与预测古塔以后可能会发生的变形情况。 三 模型假设1、假设倾斜只受地基的沉降影响，忽略其他因素。2、假设各测量点都是选取的都是科学合理的位置。3、假设每层的测量点都是围绕着这一层的中心点。4、假设同一层测量点都大致在同一平面上。5、假设各层测量点构成的几何图形的中心是与这一层的中心位置相重合的。6、假设测量点的位置都是古塔上固定的位置。四 符号说明符号 符号说明jO第 层中心；j层数 ；(123.)、 、
9、i测量点标记 ；.i、 、x轴坐标；xy轴坐标；yz轴坐标；z古塔的变形_高教杯数学建模 c 题论文- 3 -拟合线 轴坐标；Xx拟合线 轴坐标；Yy拟合线 轴坐标；Zz第 层中心的 轴坐标；0jxjx第 层中心的 轴坐标；jy y第 层中心的 轴坐标；0jzjz测量点数n时间t时间差坐标差xx坐标差yy坐标差zz真实值与计算的近似值之差xQx真实值与计算的近似值之差y y方程中的参数,MNPabcd第 层的方程参数jjjjj五 建立数学模型1、确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出古塔各层中心坐标根据几何中心计算方法，我们可以得出计算各层中心位置的通用方法。古塔的变形_高教杯数学建模 c
10、 题论文- 4 -10100010(x,y,z)nijinijjjjij nijixxyoyzzn即：我们把每层的 8 个测量值，分别求 x，y，z 的均值，得到的坐标就是每层的中心位置。表 1：1986 年各层中心位置中心位置坐标楼层x/m y/m z/m1 566.6648 522.7105 1.78742 566.7196 522.6684 7.32023 566.7735 522.6273 12.75524 566.8161 522.5944 17.07835 566.8621 522.5591 21.72056 566.9084 522.5244 26.23517 566.9467
11、522.5081 29.83698 566.9843 522.4924 33.35099 567.0218 522.4764 36.854910 567.0569 522.4230 40.172111 567.1045 522.4230 44.440912 567.1518 522.3836 48.711913 567.0850 522.7403 52.8343塔顶 567.2473 522.2437 55.1232表 1 数据分析：我们可以从表中发现，中心位置的 x 轴坐标，在逐渐增加，而 y 轴坐标在逐渐减古塔的变形_高教杯数学建模 c 题论文- 5 -少。而正常的塔，理论而言，x 轴和
12、y 轴坐标因该是不变的。结论：说明该古塔发生了倾斜变形。表 2：1996 年各层中心位置中心位置坐标层x/m y/m z/m1 566.6650 522.7102 1.78302 566.7205 522.6674 7.31463 566.7751 522.6256 12.75084 566.8183 522.5922 17.07515 566.8649 522.5563 21.71606 566.9118 522.5210 26.22957 566.9506 522.5042 29.83228 566.9884 522.4881 33.34549 567.0265 522.4714 36.8
13、48210 567.0620 522.4572 40.167611 567.1102 522.4173 44.435412 567.1578 522.3775 48.707413 567.0912 522.7340 52.8300塔顶 567.2543 522.2366 55.1198表 2 数据分析：我们可以从表中发现，中心位置的 x 轴坐标，在逐渐增加，而 y 轴坐标在逐渐减少。而正常的塔，理论而言，x 轴和 y 轴坐标因该是不变的。结论：说明该古塔发生了倾斜变形。表 3：2009 年各层中心位置中心位置坐标层x/m y/m z/m1 566.7268 522.7015 1.76452 5
14、66.7640 522.6693 7.30903 566.8001 522.6384 12.73234 566.8293 522.6132 17.06975 566.8603 522.5866 21.70946 566.9471 522.5342 26.21107 566.9792 522.5123 29.82468 567.0305 522.4797 33.33989 567.0816 522.4466 36.843810 567.1370 522.3937 40.161111 567.1799 522.3547 44.432612 567.2225 522.3160 48.699813 5
15、67.2712 522.2715 52.8183塔顶 567.336 522.2148 55.091古塔的变形_高教杯数学建模 c 题论文- 6 -表 3 数据分析：我们可以从表中发现，中心位置的 x 轴坐标，在逐渐增加，而 y 轴坐标在逐渐减少。而正常的塔，理论而言，x 轴和 y 轴坐标因该是不变的。结论：说明该古塔发生了倾斜变形。表 4：2011 年古塔各层中心位置坐标中心位置坐标层x/m y/m z/m1 566.7270 522.7014 1.76322 566.7462 522.6690 7.29053 566.8004 522.6387 12.72694 566.8297 522.
16、6427 17.05205 566.8610 522.5860 21.70396 566.9478 522.5335 26.20457 566.9800 522.5115 29.81708 567.0313 522.4788 33.33669 567.0825 522.4457 36.822210 567.1381 522.3926 40.144111 567.1810 522.3535 44.424812 567.2238 522.3147 48.683813 567.2725 522.2701 52.8131塔顶 567.3375 522.2135 55.087表 4 数据分析：我们可以从
17、表中发现，中心位置的 x 轴坐标，在逐渐增加，而 y 轴坐标在逐渐减少。而正常的塔，理论而言，x 轴和 y 轴坐标因该是不变的。结论：说明该古塔发生了倾斜变形。2 分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况我们由已知的空间直线的标准点向式方程000xyzMNP （ 1）整理得直线射影式方程古塔的变形_高教杯数学建模 c 题论文- 7 -0000(z)(z)MxxazbPNyyczd （ 2）其中 ； ； ； 。这样直线可以看作是MaP00bxzPNc00yzP用这 2 个方程表示的平面相交的直线，所以可以分别对 2 个方程进行数据拟合。设 表示按拟合方程求得的近似值。一般地，它不同于实测值 ，两者之i
18、ixz ix差 21(azb)nxiiiQ （ 3）同理可得 21y(cz)nyiii d （ 4）当 Q 取最小值时 a，b，c，d 的值即为方程的系数，即满足下列方程时 Q 值最小。0,0,0,0yyxxQacd有 11 112 2111111,nn nnii iiii iinnnnnni ii ii ii ii iiibzxczyzazzdzzz （ 5）121nzzF （ 6）方程组（6）可写成古塔的变形_高教杯数学建模 c 题论文- 8 -FA,MFBN 1 1; ;n nabxxBcdNyy 根据 n 组数据点解方程组就可以得到 a，b，c，d 的值，也就可以得到拟合线方程。然后我
19、们就可以通过中心位置点拟合线和拟合线方程来判断，古塔是否已经发生倾斜，弯曲或扭曲。六 模型的求解（1）通过前的算法模型，我们建立出 1986 年中心位置拟合线方程为：000.156.480223(7)jjjXzYZz 560 565 570 57515205300102030405060x1986与与与与与与与与与与与与与与与yz560 565 570 575515520525530x1986与与与与与与与与与与与y560 565570 5755105205300204060x1986与与与与与与与与与yz566.5 567567.5522522.55230204060x1986与与与与与与与yz图 1 1986 年古塔数据综合分析
