1、I压缩映射原理的性质和应用 摘 要本文较有系统的研究了压缩映射原理及其一些应用，由于压缩映射原理是属于不动点理论中的一类原理，所以有许多不同的形式，本文主要利用在常规度量空间中讨论压缩映射原理的方法，在概率度量空间中讨论压缩映射原理。主要内容如下：第一章，是绪论部分，首先讲了我之所以写这篇文章的原因，然后是本文所研究问题的历史背景和发展情况。第二章，介绍压缩映射原理的最基本的形式，即 压缩映射原理，通Banch过对其定理内容和证明方法的分析，深刻认识了 迭代方法在证明中起到Pird的重要作用，总结出了一套通用的方法证明这类定理，还找了一个例子，用总结出的方法进行了证明。第三章，用第一章总结出的
2、方法研究了压缩映射原理更复杂的形式，随着研究问题的复杂，也使第一章总结出的方法变得更加完善。第四章，把前几章得到的结论和方法应用到了微分方程和微分方程组的解的存在唯一性上。虽然只有两个例子，但是获得方法和思想可以用到许多其他的例子上。第五章，引入概率度量空间的概念，和其中一系列与压缩映射原理有关的概念，结合概率度量空间的一些特殊性质，用前几章的讨论方法，在概率度量空间上讨论压缩映射原理，依次讨论了含随机数的压缩映射原理，在概率度量空间上添加一些条件后的基本压缩映射原理，非线性的压缩映射原理及应用等。关键词：压缩映射；不动点；概率度量空间；非线性微分方程IIABSTRACTIn this pap
3、er, a systematic study of the compression mapping principle and some applications, because of the contraction mapping theory is one of the principle in belong to the theory of fixed point, so there are many different forms, this paper mainly discussed used in conventional metric space compression ma
4、pping principle, the method of contractive mapping principle in probabilistic metric space. The main contents are as follows:The first chapter is the introduction part, first of all tell the reason why I write this article, and then this paper studies the historical background and development of the
5、 problem.The second chapter, this paper introduces the basic form of compression mapping principle, namely the contraction mapping theory, through the analysis of its proof content and methods, understanding the iteration method plays an important role in proof, summarizes a set of generic methods t
6、o prove this theorem, still looking for an example, summarizes the way has carried on the proof.The third chapter, in the first chapter summarizes the method of compression mapping principle is studied in the form of more complex, as the research problem of complex, also made the first chapter summa
7、rizes the methods become more perfect.The fourth chapter, in the previous chapter conclusion and method is applied to the existence and uniqueness of solution of differential equation and differential equations. Although only two examples, methods and thoughts can be used on many other examples.The
8、fifth chapter, the introduction of the concept of probabilistic metric Spaces, and a series of concepts related to the contraction mapping theory, combined with some special properties of the probabilistic metric Spaces, the use of the previous chapters discuss method, compression mappings in probab
9、ilistic metric space principle, in order to discuss the compression mapping principle, containing the random number after adding some conditions in probabilistic metric space basic compression mapping principle, the principle and application of the compression of nonlinear mapping, etc.Key words: co
10、mpression mapping; The fixed point. Probabilistic metric space; The nonlinear differential equationIII目录摘要 .IABSTRACT.II第一章绪论 .11.1 写作动机 .11.2 不动点理论背景知识，历史渊源 .21.3 压缩映射原理的简介 .3第二章 压缩映射定理的证明思路探究 .5Banch2.1 定理内容和证明 .62.2 一个例子 .62.3 本章总结 .8第三章 压缩映射原理的推广 .10Banch3.1 推广的背景： .103.2 压缩映射原理的一种推广形式及其证明 .10本章
11、总结 .123.第四章压缩映射原理的应用举例 .134.1 一类简单积分方程的解的存在与唯一性的证明 .134.2 积分方程组的解的存在与唯一性证明 .144.3 本章总结 .16第五章概率度量空间中的压缩映射原理 .175.1 基本概念的构造 .175.2 随机压缩映射原理的构造 .175.3 概率度量空间的背景知识 .195.4 概率度量空间中的基本概念 .195.5： 范数的概念及其性质 .21t5.6 概率度量空间上的压缩映射原理 .215.7 概率度量空间上非线性的压缩映射原理 .245.8 概率度量空间上的压缩映射原理的应用 .265.9 本章总结 .26结论 .28IV参考文献
12、.291第一章 绪 论1.1 写作动机我第一次接触压缩映射原理是在张庆恭和林渠源老师所编写的泛函分析的书上，当时书中应用压缩映射原理瞬间证明出了常微分方程中当时分五步证明的解的存在唯一性定理和数学分析中的隐函数存在定理，这使当时的我感到非常吃惊，在常微分方程和数学分析书中对这两个定理的证明中似乎看不到这两个定理有什么联系，但是一旦应用上了压缩映射原理，就找到了它们的共同点。另外我在考研究生参加复试的时候，当时一位老师问我一个问题，问题是这样的：在旅游景点甚至在学校内的大门口经常会见到有平面的小地图，由此请问说明在小地图上的一点适合大地图上的一点是重合的。由此我觉得我和压缩映射原理十分有缘，也对
13、这个定理产生了浓厚的兴趣。要讨论这个定理首先要从它的证明说起，第一次见到压缩映射原理的证明也是在泛函分析的书上，但是书上并没有严格的证明，至少我是接受不了，其中有一个关键步骤是极限要和映射交换顺序，在数学分析中，极限和函数交换顺序是要有条件限制的，比如函数是连续的，当然现在我已经用其他的方法证明出极限与压缩映射是可以交换的了，由此得到了一个完善的证明压缩映射原理的方法。事实上，这个证明方法中涉及到的迭代法在数值分析课程中也有提到，可以构造一系列迭代关系，从而去求得方程的近似解等数值分析的问题，这也算是由压缩映射原理得到的一个非常重要的应用吧。证明了压缩映射原理后，下面的问题自然是推广压缩映射原
14、理，也可以说是压缩映射原理推论吧，就像数学分析中将洛尔定理推广到拉格朗日定理，再将拉格朗日定理推广到柯西定理那样，在证明推广的定理时，证明的方法和最开始的压缩映射原理非常相似，至少在大的方向上是一样的，根据具体的条件会有所差异。后来进行深入的了解我发现之前的压缩映射原理另一个名称是 不动Banch点原理，也就是说不动点定理有很多很多，应用也更是千变万化，压缩映射原2理只是其中的一种类型，也就是压缩型的不动点原理， ，即使是压缩型的不动点原理也有很多很多中，形式由线性的可以推广到非线性的，然后再到抽象型的，但基本都是在最初的压缩映射原理的基础上，将一些定义在新的形式下重新定义，同样的大思路进行新
15、的压缩映射原理的证明。根据我的深入了解压缩映射原理在概率方向也有着非常大的应用，例如利用概率的知识模仿度量空间定义概率度量空间，定义概率中的范数 范数，由t此得到概率空间上的不动点原理。另一个比较有用的应用是在随机泛函分析中，结合随机变量的相关性质给出随机算子，随机不动点的定义，从而建立随机压缩映射原理。传统的研究方向是将压缩映射原理应用在求数列极限，微分方程，积分方程，或者方程组解的存在唯一性等问题上，数列，微分方程，积分方程也是千变万化，但只要可以根据具体条件构造出压缩映射，就可以应用压缩映射原理说明问题。我的论文这次就是要写这些问题，首先将 压缩映射原理完整的证明一下，Banch之后利用
16、这个证明方法去推广压缩映射定理，从而可以得到一些其他条件下的压缩映射原理，接下来如常微分方程中所要做的一样，将方程推广到方程组， ，从而可以解决更多的实际问题，再之后，我将用我所学到的实变函数与概率论知识，在概率空间中讨论压缩映射原理及其应用，由于时间紧迫，加上我本人现阶段知识也是十分贫乏，暂时决定就先做出这些方面的研究，随着不断的学习我相信今后我会得出更多的成果。1.2 不动点理论背景知识，历史渊源随着对压缩映射原理的深入了解，我知道了泛函书中的压缩映射原理只是在 年提出的第一个代数型的压缩映射原理，压缩映射原理还有其他各种各192样条件下的各种各样的形式。法国数学家 在 年至 年，在“庞加
17、莱的最后定理”中，.HPoincare18950把限制性三体问题的周期解的存在问题，归结为满足某种条件的平面连续变换不动点的存在问题，首先使用了不动点的概念。1910 年， 证明.LEJBrouwe了有限维空间中多面体上的连续映射至少有一个不动点，从而开启了不动点理论研究的先河。特别是波兰数学家 在 年使用 迭代方法证实Banch192Picad了 压缩映射原理之后，由于其结果的优美性和成功的解决了像隐函数存Banch在定理，微分方程解的存在唯一性等一系列重大的应用问题，使得不动点理论3成为数学宝库中的一朵奇葩，促使数学家们对其进行了深入和广泛的研究。特别是近几十年来，随着计算机的发展，人们使
18、用各种各样的迭代方法去逼近非线性映射的不动点并应用其解决了某些是问题。不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，因为它.LEJBrouwe可以应用到有限维拓扑空间，所以成为一般不动点定理的基石。不动点定理说明：在一个拓扑空间中，满足一定条件的连续函数.，存在一个点 ，使得 ， 不动点定理的一个简单的f0x0fx.LEJBrouwe函数形式是对一个从某个圆盘 映射到它自身的函数 。推广的Df定理则对任意从某个 空间的凸紧子集映射到它自身的函数.LEJBrouweclid都能成立。建立 不动点定理是一项突出的贡献这个定理表明：在二维.r球面上，任意一个映到自身的一一连续映射，存在至少有一个点是
19、固定不变的。这一结果推广到高维球面就是在 维球内任意映到自身的连续映射至少存在一n个不动点。在这个定理的证明中， 引进了从一个复形到另一个复.LEJBrouwe形的映射类，以及一个映射的映射度等概念。有了这些概念，我们就可以解决一个流形上的向量场的奇点等问题。随后， 揭示了不同的 与空间 的一一对应关系。 研究出CantornnR.GPeano了把单位线段连续映入正方形的方法这两个成果不禁使人们猜想：在拓扑映射中，维数可能是不变的。 年，布劳威尔对于任意的证明了这个猜想：维190数的拓扑不变性在证明过程中， 构造了连续拓扑映射下的单纯.LEJBrouwe逼近的概念，主要是一系列线性映射的逼近的
20、概念，他还构造了映射的拓扑度的概念，即一个取决于拓扑映射连续变换的同伦类的数。这些概念在解决一些有关不变性的问题时变得非常有用。例如， 就借助它界定了 维.Jren区域，科学家 则用它证明了 数的不变性，而压缩映射原理.JWAlexandrBety则是不动点理论中非常重要的一类定理。1.3 压缩映射原理的简介根据参考文献1，4，7中记载，按照压缩条件的不同，压缩映射原理可以进行如下分类：设 为度量空间，映射 ，称为满足下列第 个条件的映射,Xd:TXi为第 类压缩映射，记为i i年， ，对于任意的 有 。192Banch,xy,0,1dTxykx4年， ，存在单调函数 使得2196Rakotc
21、h:0,1t。,dTxydxyxy年， ，对于任意的 ， ，有3.MEelstinX 。,年， ，4196.RKa102hxy。,dTxydT年， ， 对于任意 有572.BincX。,ma,xy年， ， 有619eih0,1bc。,dTxy,Tdx年， ， 单调减少，7Ric,:0tt有,atbtX。,dTxy,axyxbyTcdxy年， ， ，对于任意 ，有8192ouScrdixX， 。, m,hT01h年， ，对于任意的 ， ，有7.VMeglyy。,Txya,xdx年， ， ，有1092.SKCtrj102hX。,d,Ty， ， ，存在 ，对于任意的73.GEHy.DRogesia有
22、,xyX+ + + + 。,dT1a,x2,x3,dy4,xTy5a,dx年， ， ， 对于任意 有29.SMsZamflrescu01hX。,xy1,2hdyT 年， ， 对于任意 有37Circ0hxyX。,dTax,ddTyx年， ，存在 ，其中 单调149.BERoes1ia:01iat减少，对于任意 有,yXx12,xyxyx。345,adTdTdT年， ， 对于任意 有15974.LBCirc0,h,X。,Txyma, ,xyxyxyx年， ，对于任意的 ， 有6.ERoes,5 。,dTxyma,dxyTxdyxTydx在这些压缩映射中，若改为存在某个自然数 ，使 满足相应条件，
23、则又pp可得到 个压缩映射定理，如果改为存在某两个自然数 ，使得16 ,q满足不等式条件，又可得到 个压缩映射定理，如果存在某个函数,pxy16，使得 满足压缩映射条件，又可得到 个压缩映射定理，,pxqdTy16若存在函数 ，使得 满足压缩映射条件，又可得,pxyqxydT到 个压缩映射定理，现在已经有 种压缩映射定理了，如果将映射改为映射1680对，又可得到 个压缩映射定理，若改为映射序列，又有无数个压缩映射定理80了，度量空间 满足什么性质，映射 满足什么条件，这些压缩映射定理会成X立呢？它们又会有哪些应用呢？这些都是在论文中我要讨论的问题。6第二章 压缩映射定理的证明思路探究Banch2.1 定理内容和证明参考文献2中记载有 压缩映射定理:设 为完备的度量空间，BanchX且满足 ，则 在 内有唯一的不动点。:TX,dTxykx0,1T证明定义 为 中任意取定的一点，则根据压缩映射条件得0,nxX，10,nndxkdx所以得,，00, ,1nnpnp kxkTdx所以 为 列。nCauchy因为 为完备的度量空间，所以存在 满足 ，Xxlimnx所以 。1nTxx唯一性，略。注释:之所以把这个定理证明一遍是因为定理的证明方法同样适用于其他类型的压缩映射原理下面的例子就要说明这个问题。
