1、 (一)椭圆及其标准方程1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点 、 的距离的和大于| |这个条件不可忽视.若1F21F2这个距离之和小于| |，则这样的点不存在；若距离之和等于| |，则动点的轨迹是线段 .1F2 12 12F2.椭圆的标准方程： （ 0） ， （ 0）.byaxab2bxyab3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果 项的分母大于 项的分母，则椭2x2y圆的焦点在 x 轴上，反之，焦点在 y 轴上.4.求椭圆的标准方程的方法： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解.(二)椭圆的简单几何性质1. 椭圆的几何性质：设椭圆方
2、程为 （ 0）.12baxab 范围： -axa，-bxb，所以椭圆位于直线 x= 和 y= 所围成的矩形里. 对称性：分别关于 x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 顶点：有四个 （-a，0） 、 （a，0） （0，-b） 、 （0，b）.线段 、 分别叫做椭圆的长1A21B21A21B2轴和短轴.它们的长分别等于 2a 和 2b，a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点. 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0e1.e 越接近c于 1 时，椭圆越扁；反之，e 越
3、接近于 0 时，椭圆就越接近于圆.2.椭圆的第二定义 定义：平面内动点 M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 （e1时，这个动点的ac轨迹是椭圆. 准线：根据椭圆的对称性， （ 0）的准线有两条，它们的方程为 .对于椭圆12byaxab cx2（ 0）的准线方程，只要把 x 换成 y 就可以了，即 .12bxayab cy23.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.设 （-c，0） ， （c，0）分别为椭圆 （ 0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上1F2 12baab任一点，则两条焦半径长分别为 ， .exMF1 eF椭圆中涉及焦半径时运用焦半径
4、知识解题往往比较简便.椭圆的四个主要元素 a、b、c、e 中有 = + 、2ab2c两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.ace4.椭圆的参数方程椭圆 （ 0）的参数方程为 （ 为参数）.12byxabcosinxayb说明: 这里参数 叫做椭圆的离心角.椭圆上点 P 的离心角 与直线 OP 的倾斜角 不同：；tant 椭圆的参数方程可以由方程 与三角恒等式 相比较而得到，所以椭圆的参数12byax 1sinco22方程的实质是三角代换. 椭圆 的参数方程是 .2(0)coixayb5.椭圆的的内外部（1）点 在椭圆 的内部 .0(,)Pxy21(0)xyab201xyab（2）点
5、 在椭圆 的外部 .,2 26. 椭圆的切线方程 (1)椭圆 上一点 处的切线方程是 .21(0)xyab0(,)Pxy021xyab（2）过椭圆 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 .2 0, 021xyab（3）椭圆 与直线 相切的条件是1()xyabAxByC2ABc(三)双曲线及其标准方程1.双曲线的定义：平面内与两个定点 、 的距离的差的绝对值等于常数 2a（小于| |）的动点1F2 1F2的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件 2a| |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第M12F三边”加以理解.若 2a=| |，则动点的轨迹是两条射线；若 2a| |，则无轨迹.12 12
6、若 时，动点 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若 时，轨迹为双曲线的另一1F2MM2支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.2. 双曲线的标准方程： 和 （a0，b0）.这里 ，其中12byax12x 2acb| |=2c.要注意这里的 a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.123.双曲线的标准方程判别方法是：如果 项的系数是正数，则焦点在 x 轴上；如果 项的系数是正数，2y则焦点在 y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程
7、后，运用待定系数法求解.(四)双曲线的简单几何性质1.双曲线 的实轴长为 2a，虚轴长为 2b，离心率 1，离心率 e 越大，双曲线的开口越大.12byax ace2. 双曲线 的渐近线方程为 或表示为 .若已知双曲线的渐近线方程是2 xby02by，即 ，那么双曲线的方程具有以下形式： ，其中 k 是一个不为零的常xnmy0ny nxm数.3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于 1 的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线 ，它的焦点坐标是（-c，0）和（c，0） ，与它们对应的准线方程12byax分别是 和 .双曲线 的焦半径公式 ，cax2
8、2(,)ab21|()|aPFexc.2|()|PFe4.双曲线的内外部(1)点 在双曲线 的内部 .0(,)xy21(0,)xyab201xyab(2)点 在双曲线 的外部 .,P2,25.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为 渐近线方程： .12byax20xyabxab(2)若渐近线方程为 双曲线可设为 .02(3)若双曲线与 有公共渐近线，可设为 （ ，焦点在 x 轴上， ，焦点在 y12byax 2byax00轴上）.6. 双曲线的切线方程(1)双曲线 上一点 处的切线方程是 .2(0,)xy0(,)Pxy021xyab（2）过双曲线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是
9、 .21,ab, 021xyab（3）双曲线 与直线 相切的条件是 .2(0,)xyabAxByC2ABc(五)抛物线的标准方程和几何性质1抛物线的定义：平面内到一定点（ F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点 F 叫抛物线的焦点，这条定直线 l 叫抛物线的准线。需强调的是，点 F 不在直线 l 上，否则轨迹是过点 F 且与 l 垂直的直线，而不是抛物线。2抛物线的方程有四种类型： 、 、 、 .pxy2pxy2y2pyx2对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的正方向；一
10、次项前面是负号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的负方向。3抛物线的几何性质，以标准方程 y2=2px 为例（1 ）范围：x 0；（2 ）对称轴：对称轴为 y=0，由方程和图像均可以看出；（3 ）顶点：O（0，0） ，注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心） ；（4 ）离心率：e=1，由于 e 是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的 p 决定的；（5 ）准线方程 ；2px（6 ）焦半径公式：抛物线上一点 P（x1，y1 ） ，F 为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p0）：2 21 1:;:2pyxPFypxy（7 ）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导
11、出弦长公式。设过抛物线y2=2px（ pO ）的焦点 F 的弦为 AB，A（x1，y1 ） ，B（x2 ，y2 ） ，AB 的倾斜角为 ，则有|AB|=x +x +p12以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。（8 ）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x +bx+c=0，当 a0 时，两者的位2置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果 a=0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。4.抛物线 上的动点可设为 P 或 P ，其中 .pxy2),2(yp或)2,(pt(,)
12、xy2px5.二次函数 的图象是抛物线：（1）顶点坐标为2224()bacyaxbcx(0)；（2）焦点的坐标为 ；（3 ）准线方程是 .4(,)2bc(,b241acby6.抛物线的内外部(1)点 在抛物线 的内部 .点 在抛物线0,Pxy20)ypx2(0)ypx0(,)Px的外部 .2()p(2)点 在抛物线 的内部 .点 在抛物线0,220,y的外部 .2yx)yx(3)点 在抛物线 的内部 .点 在抛物线0(,)P2(0xp2()xpy0(,)Px的外部 .2p(4) 点 在抛物线 的内部 .点 在抛物线0,)Py202()py0(,)Pxy的外部 .2()xy2()x7. 抛物线的
13、切线方程(1)抛物线 上一点 处的切线方程是 .p20(,)00()ypx（2 ）过抛物线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 .0y 0()ypx（3 ）抛物线 与直线 相切的条件是 .2()yxAxBC2BAC(六).两个常见的曲线系方程(1)过曲线 , 的交点的曲线系方程是1(,)0f2f( 为参数 ).12,)fx(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程 ,其中 .当 时,表示椭圆; 当221xyakb2max,kb2inkab时,表示双曲线.22min,abk(七)直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或2211()()ABxy（弦端点 A ，由方22212)(|tan|tABxxco ),(),(
14、21yxB程 消去 y 得到 ， , 为直线 的倾斜角， 为直线的斜率）. 0,(Fbky0cbaABk(八).圆锥曲线的两类对称问题（1 ）曲线 关于点 成中心对称的曲线是 .,)x0(,)Pxy0(2-,)0Fxy（2 ）曲线 关于直线 成轴对称的曲线是(ABC.22(, )0AByCF四基本方法和数学思想1.椭圆焦半径公式：设 P（x0,y0）为椭圆 （ab0）上任一点，焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),则12byax（e 为离心率） ；0201,aFexaP2.双曲线焦半径公式：设 P（x0,y0 ）为双曲线 （a0,b0 ）上任一点，焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),
15、则:2（1 ）当 P 点在右支上时， ；0201,exaPFexa（2 ）当 P 点在左支上时， ；（e 为离心率） ；另：双曲线 （a0,b0）的渐进线方程为 ；2byax 2by3.抛物线焦半径公式：设 P（x 0,y0 为抛物线 y2=2px(p0)上任意一点，F 为焦点，则 ；y2=2px(p0) 上20pxPF任意一点，F 为焦点， ；2pF4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题；5.共渐进线 的双曲线标准方程为 为参数， 0） ；xaby(2byax6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式，一般地，若斜率为 k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为 AB， A、B 两点分别为 A(x1，y 1
16、)、B(x 2,y2)，则弦长 4)(11212122 xxxAB,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；)(2yykyk7.椭圆、双曲线的通径（最短弦）为 ，焦准距为 p= ，抛物线的通径为 2p，焦准距为 p; 双曲线abcb2（a0，b0）的焦点到渐进线的距离为 b;12byax8.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为 Ax2+Bx21 ；9.抛物线 y2=2px(p0)的焦点弦（过焦点的弦）为 AB，A （x 1,y1） 、B(x 2,y2),则有如下结论：（1）x 1+x2+p;（2 ）y 1y2=p 2，x 1x2= ;AB410.过椭圆 （ab0）左焦点的焦点弦
17、为 AB，则 ，过右焦点的弦ba )(21xeaB；)(21xe11.对于 y2=2px(p0)抛物线上的点的坐标可设为（ ，y 0）, 以简化计算;p212.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设 A(x1，y 1)、B(x 2,y2)为椭圆（ab0）上不同的两点，M(x 0,y0)是 AB 的中点，则 KABKOM= ；对于双曲线12bax ab（a0，b0） ，类似可得：K AB.KOM= ；对于 y2=2px(p0) 抛物线有 KAB2y 2ab 21yp13.求轨迹的常用方法：（1 ）直接法：直接通过建立 x、y 之间的关系，构成 F(x,y)0 ，是求轨迹的最基本的
18、方法；（2 ）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；（3 ）代入法（相关点法或转移法）：若动点 P(x,y)依赖于另一动点 Q(x1,y1)的变化而变化，并且 Q(x1,y1)又在某已知曲线上，则可先用 x、y 的代数式表示 x1、y 1，再将 x1、y 1 带入已知曲线得要求的轨迹方程；（4 ）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程；（5 ）参数法：当动点 P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将 x、y 均用一中间变量（参数）
19、表示，得参数方程，再消去参数得普通方程有关解析几何的经典结论一、椭 圆1. 点 P 处的切线 PT 平分PF 1F2在点 P 处的外角.2. PT 平分PF 1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若 在椭圆 上，则过 的椭圆的切线方程是 .0(,)Pxy21xyab0P021xyab6. 若 在椭圆 外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2 的直线方0(,)2程是 .21xya
20、b7. 椭圆 (ab0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 ，则椭圆的2 12FP焦点角形的面积为 .12tanFPS8. 椭圆 （ab0）的焦半径公式：2xy9. , ( , ).1|MFe20|ex1)Fc2(,0)0,)Mxy10. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MFNF.11. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.12.
21、AB 是椭圆 的不平行于对称轴的弦，M 为 AB 的中点，则 ，21xyab),(0yx 2OMABbka13. 即 。02yKAB14. 若 在椭圆 内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 .0(,)Px21xab 2002xyxyab15. 若 在椭圆 内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 .0(,)Pxy21xyab202xyab二、双曲线1. 点 P 处的切线 PT 平分PF1F2 在点 P 处的内角.2. PT 平分PF1F2 在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4.
22、以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若 在双曲线 （a0,b0）上，则过 的双曲线的切线方程是 .0(,)xy21xyb0 021xyab6. 若 在双曲线 （a0,b0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2，则切0(,)P2点弦 P1P2 的直线方程是 .021xyab7. 双曲线 （a0,bo）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任意一点 ，则21xyb 12FP双曲线的焦点角形的面积为 .12tFPSbc8. 双曲线 （a0,bo）的焦半径公式：( , 2xyb1(0)Fc2(,)9. 当 在
23、右支上时， , .0(,)M10|MFexa2|exa10. 当 在左支上时， ,xy|0|11. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MFNF.12. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.13. AB 是双曲线 （a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M 为 AB 的中点，则21xyb ),(0yx，即 。02yaKABOM 02yxAB14.
24、若 在双曲线 （a0,b0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是0(,)Px21b.2002xyxyab15. 若 在双曲线 （a0,b0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是0(,)Pxy21xyb.202ab椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）椭 圆1. 椭圆 （abo）的两个顶点为 , ，与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、 P2时 A1P121xy1(0)Aa2()与 A2P2交点的轨迹方程是 .2xy2. 过椭圆 (a0, b0)上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则21xyab0(,)xy直线 BC 有定向且 （常数）.02BCxk3. 若 P 为
25、椭圆 （ab0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点, , 21y 12PF，则 .21Ftnt2co4. 设椭圆 （ab0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF1F221xy中，记 , , ，则有 .12P12F12Psincea5. 若椭圆 （ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 0e 时，可在椭xy 21圆上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.6. P 为椭圆 （ab0）上任一点,F1,F2 为二焦点，A 为椭圆内一定点，则21,当且仅当 三点共线时，等号成立.2 1|aAFAF2,
26、P7. 椭圆 与直线 有公共点的充要条件是2200()()xy0xByC.2BbC8. 已知椭圆 （ab0） ，O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且 .（1）21 OPQ;（2）|OP|2+|OQ|2 的最大值为 ;（3） 的最小值是 .221|OPQ24abS2ab9. 过椭圆 （ab0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于1xyP，则 .|2FeMN10. 已知椭圆 （ ab0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点1xy, 则 .0()2211. 设 P 点是椭圆 （ ab0）上异于长轴端点的任一点,F
27、1、F2 为其焦点记 ，则(1)21xya 12FP.(2) .12|cosbF12tnPFS12. 设 A、B 是椭圆 （ ab0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点， , ,2xya AB，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1) .(2) .(3) P2|cos|abPA2tan1e.2otABbSa13. 已知椭圆 （ ab0）的右准线 与 x 轴相交于点 ，过椭圆右焦点 的直线与椭圆相交于21xylEFA、B 两点,点 在右准线 上，且 轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.ClBCx14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与
28、切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). 17. （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）18. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.19. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.双曲线1. 双曲线 （a0,b0）的两个顶点为 , ，与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、 P221xyb1(0)Aa2()时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 .2xyb2. 过双
29、曲线 （a0,bo）上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点，21xyb0(,)xy则直线 BC 有定向且 （常数）.20BCxk3. 若 P 为双曲线 （a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2 是焦点, 21yb, ，则 （或 ）.12F21Ftnt2ccotant2co4. 设双曲线 （a0,b0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在xybPF1F2 中，记 , , ，则有 .12P1212FPsi(n)cea5. 若双曲线 （a0,b0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 1e 时，可21xyb 2在双
30、曲线上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.6. P 为双曲线 （a0,b0）上任一点,F1,F2 为二焦点，A 为双曲线内一定点，则2,当且仅当 三点共线且 和 在 y 轴同侧时，等号成立.21|AFaF2,AP2,F7. 双曲线 （a0,b0）与直线 有公共点的充要条件是 .2xyb0xByC22AaBbC8. 已知双曲线 （ba 0） ，O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点，且 .2 OPQ9. （1） ;（2）|OP|2+|OQ|2 的最小值为 ;（3） 的最小值是 .221|OPQ24abS2ab10. 过双曲线 （a0,b0）的右焦点 F
31、 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线xyb交 x 轴于 P，则 .|2FeMN11. 已知双曲线 （a0,b0）,A、B 是双曲线上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点1xyb, 则 或 .0()x202bx12. 设 P 点是双曲线 （a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记 ，则21yb 12FP(1) .(2) .12|cosF12cotPFSb13. 设 A、B 是双曲线 （a0,b0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点， , 2xyb AB, ，c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1) .P2|cos|abP14. (
32、2) .(3) .2tan12cotPABbSa15. 已知双曲线 （a0,b0）的右准线 与 x 轴相交于点 ，过双曲线右焦点 的直线与双曲线2xyblEF相交于 A、B 两点,点 在右准线 上，且 轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.ClC16. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.17. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.18. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).19. (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外
33、角平分线与长轴交点分别称为内、外点).20. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.21. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.其他常用公式：1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式： 21122ABkxyk2、直线的一般式方程：任何直线均可写成 (A,B 不同时为 0)的形式。3、知直线横截距 ，常设其方程为 (它不适用于斜率为 0 的直线)与直线 垂直的直线可表示为 。4、两平行线 间的距离为 。5、若直线 与直线 平行则 （斜率）且 （在 轴上截距） （充要条件）6、圆的一般方
34、程： ，特别提醒：只有当 时，方程 才表示圆心为 ，半径为 的圆。二元二次方程表示圆的充要条件是 且 且 。7、圆的参数方程： （ 为参数） ，其中圆心为 ，半径为 。圆的参数方程的主要应用是三角换元： ；8、 为直径端点的圆方程切线长：过圆 （ ）外一点 所引圆的切线的长为（ ）9、弦长问题：圆的弦长的计算：常用弦心距 ，弦长一半 及圆的半径 所构成的直角三角形来解：；过两圆 、 交点的圆(公共弦)系为 ，当时，方程 为两圆公共弦所在直线方程 .习题部分例题 1 求过点（2，1 ）且与两坐标所围成的三角形面积为 4 的直线方程。错解：设所求直线方程为 。1byax（2，1 ）在直线上， ，
35、又 ，即 ab = 8 ， 24ab21由、得 a = 4，b = 2。故所求直线方程为 x + 2 y = 4 。剖析：本题的“陷阱”是直线与两坐标轴所围成的三角形面积的表示。上述解法中，由于对截距概念模糊不清，误将直线在 x 轴和 y 轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱” 。事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 ，而不是 ab。1ba21故所求直线方程应为：x + 2 y = 4，或（ +1）x - 2（ -1）y 4 = 0，或（ - 1）x - 2（ +1）y +4 = 0。例题 2 已知三角形的三个顶点为 A（6 ，3） ，B（9，3 ） ，C（3，6 ） ，求 A。错解： kA
36、B = 0 ，k AC = = -1， tan A= = =1.又 0 A180 0， A=450。3ABk1)1( 剖析：本题的“陷阱”是公式的选取，上述解法中把“到角”与“夹角”的概念混为一谈，错误地选用了夹角公式。事实上，所求角应是直线 AB 到 AC（注意 ：不是 AC 到 AB）的角。 tan A= = - ABCk11， A=1350。例题 3 求过点 A（-4 ，2）且与 x 轴的交点到（1，0）的距离是 5 的直线方程。错解：设直线斜率为 k，其方程为 y 2 = k（x + 4） ，则与 x 轴的交点为（-4- ，0） ，k2 ，解得 k = - 。故所求直线的方程为 x +
37、 5y 6 = 0 。514剖析：题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过 A 且垂直于 x 轴的直线，落入“陷阱” 。其实 x = - 4 也符合题意。例题 4 求过点（1，1 ）且横、纵截距相等的直线方程。错解：设所求方程为 ，将（1，1 ）代入得 a = 2，从而得所求直线方程为 x + y 2 = 0。ay剖析：上述错解所设方程为 ，其中不含横、纵截距为 0 的特殊情形，事实上，横、纵截距为 0 且过x点（1 ， 1）的直线 y = x 也符合条件。例题 5 已知圆的方程为 x2 + y2 + ax + 2y + a2 = 0 ，一定点为 A（1，2 ） ，要使过 A
38、 点作圆的切线有两条，求 a 的取值范围。错解：将圆的方程配方得： ( x + )2 + ( y + 1 )2 = 。43其圆心坐标为 C（ ，1） ，半径 r 。a2a当点 A 在圆外时，过点 A 可作圆的两条切线，则 r 。AC即 。即 a2 + a + 9 0，解得 aR 。22)1()1(a432剖析：本题的“陷阱”是方程 x2 + y2 + ax + 2y + a 2= 0 表示圆的充要条件，上述解法仅由条件得出 r ，AC即 a2 + a + 9 0，却忽视了 a 的另一制约条件 4 3 a2 0。事实上，由 a2 + a + 9 0 及 4 3 a2 0 可得 a 的取值范围是（
39、 ） 。32,例题 6 已知直线 L：y = x + b 与曲线 C：y = 有两个公共点，求实线 b 的取值范围。21x错解：由 消去 x 得：2y 2 - 2by + b2 1 = 0。 （ * ）21,y L 与曲线 C 有两个公共点， = 4b2 8 ( b2 1 ) 0，解得 b2剖析：上述解法忽视了方程 y = 中 y 0 ， 1 x 1 这一限制条件，得出了错误的结论。x事实上，曲线 C 和直线 L 有两个公共点等价于方程（*）有两个不等的非负实根。解得 1 b 。021b-y )8(4 121 2例题 7 等腰三角形顶点是 A（4 ，2） ，底边的一个端点是 B（3，5） ，求
40、另一个端点 C 的轨迹方程。错解：设另一个端点的坐标为（ x ，y ） ，依题意有： = ，即： =AB22)()4(yx22)5()34( （x - 4） 2 + (y - 2) 2 = 10 即为 C 点的轨迹方程。这是以 A（4 ，2）为圆心、以为半径的圆。剖析：因为 A、B 、C 三点为三角形三个顶点，所以 A、B 、C 三点不共线，即 B、C 不能重合，且不能为圆 A 一直径的两个端点，这正是解题后没有对轨迹进行检验，出现增解，造成的解题错误。事实上，C 点的坐标须满足 ，且 ，53yx2yx故端点 C 的轨迹方程应为（x - 4） 2 + ( y-2 )2 = 10 ( x 3,y
41、 5；x 5,y 1)。它表示以（4，2）为圆心，以 为半径的圆，除去（3，5） （5，-1）两点。10例题 8 求 z = 3 x + 5 y 的最大值和最小值，使式中的 x ， y 满足约束条件： 351yx 错解：作出可行域如图 1 所示，过原点作直线 L0：3 x + 5 y = 0 。由于经过 B 点且与 L0 平行的直线与原点的距离最近，故 z = 3 x + 5 y 在 B 点取得最小值。解方程组 ，得 B 点坐标为（3，0 ） ， z 最小 3 35153yx 0=9。由于经过 A 点且与 L0 平行的直线与原点的距离最大，故 z = 3x + 5y 在 A 点取得最大值。 解
42、方程组 ，得 A 点坐标为（ ， ） 。 z 最大 3 5 = 17 。153yx22剖析：上述解法中，受课本例题的影响，误认为在对过原点的直线 L0 的平行移动中，与原点距离最大的直线所经过的可行域上的点，即为目标函数 Z 取得最大值的点。反之，即为 Z 取得最小值的点，并把这一认识移到不同情况中加以应用，由此造成了解题失误。事实上，过原点作直线 L0：3x + 5y = 0，由于使 z = 3x + 5y 0 的区域为直线 L0 的右上方，而使 z = 3x + 5y 0 的区域为 L0 的左下方。由图知：z = 3x + 5y 应在 A 点取得最大值，在 C 点取得最小值。解方程组 ，得
43、 C（2，1 ） 。35yx z 最小 3 （2）5 （1 ）= 11。例题 9 已知正方形 ABCD 对角线 AC 所在直线方程为 .抛物线 过 B，D 两点 xycbxf2)(（1）若正方形中心 M 为（2 ，2）时，求点 N(b,c)的轨迹方程。（2）求证方程 的两实根 ， 满足xf)(12x2|1解答：（1）设 ,(,)0BsDs因为 B,D 在抛物线上 所以 两式相减得2()2)Sbc则 代入（1） 得 28ssb524105ssc28s故点 的方程 是一条射线。(,)Nc(8)xy（2）设 同上,0BtsDts2()()(1)2tstbtsc （1）-（2）得 12bt(3) （1
44、）+（2）得 (0(4)stc （3）代入（4）消去 得t221()04bsc得 又 即 的两根 满足 2(1)4bc()fx2()x12,x12xb12xc故 。2211|(xbc|易错原因：审题不清，忽略所求轨迹方程的范围。例题 10 已知双曲线两焦点 ，其中 为 的焦点，两点 A (-3,2) B (1,2)都在双曲线上，12,F12(1)4yx（1 ）求点 的坐标；（2）求点 的轨迹方程，并画出轨迹的草图；（3）若直线 与 的轨迹方程有1F yxt2F且只有一个公共点，求实数 t 的取值范围。解答：（1）由 得： ，故2(1)4yx2(1)4()xy1(,0)F（2 ）设点 ，则又双曲
45、线的定义得2, 122|AB又 1|AF或22|B211|4AFBF点 的轨迹是以 为焦点的椭圆,除去点 或 除去点10x(1,0),422()()184xy图略。(,),4（3 ）联列： 消去 得2(1)()184yxty整理得：22(1)()xt223(46)810xtt当 时 得 从图可知： ，0A3,3(,)又因为轨迹除去点 所以当直线过点 时也只有一个交点，即 或 5(1,0),4(),41t(,2,)1,5t易错原因：（1）非标准方程求焦点坐标时计算易错；（2 ）求点 的轨迹时易少一种情况；（3）对有且仅有2F一个交点误认为方程只有一解。例题 11 已知圆 1:21yxO，圆 :2
46、O0912xyx都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程。错解：圆 O2： 0912xyx， 即为 16)5(2yx 所以圆 O2 的圆心为 )0,5(2,半径 42r,而圆 :1的圆心为 ),(O,半径 1r,设所求动圆圆心 M 的坐标为 (x,y),半径为 r则 |1r且 4|2r， 所以 3|21MO即 3)5(2yxyx， 化简得 0649806yx即 149)(为所求动圆圆心的轨迹方程。剖析：上述解法将 |21MO=3 看成 3|21MO,误认为动圆圆心的轨迹为双曲线，这是双曲线的概念不清所致。事实上，| 3|21表示动点 M 到定点 1及 2的距离差为一常数 3。且 5|21O,点 M 的轨迹为双曲线右支，方程为 )4(149)5(2xyx例题 12 点 P 与定点 F（2， 0）的距离和它到直线 x=8 的距离比是 1：3,求动点 P 与定点 )3,5(1距离的最值。错解：设动点 P(x,y)到直线 x=8 的距离为 d，则 ,3|PF 即 |8|)2(xy两边平方、整理得 29)4(52yx=1 （
