1、高中数学教案 第 8 章圆锥曲线方程（第 3 课时） 王新敞新疆奎屯市第一高级中学 第 1 页（共 6 页）PF2F1课 题：81 椭圆及其标准方程（三）教学目的：1.使学生理解轨迹与轨迹方程的区别与联系 奎 屯王 新 敞新 疆 2.使学生掌握转移法（也称代换法，中间变量法，相关点法）求动点轨迹方程的方法与椭圆有关问题的解决 奎 屯王 新 敞新 疆教学重点：运用中间变量法求动点的轨迹 奎 屯王 新 敞新 疆教学难点：运用中间变量法求动点的轨迹 奎 屯王 新 敞新 疆授课类型：新授课 奎 屯王 新 敞新 疆课时安排：1 课时 奎 屯王 新 敞新 疆教 具：多媒体、实物投影仪 奎 屯王 新 敞新
2、疆教学过程：一、复习引入：1 奎 屯王 新 敞新 疆 椭圆定义：平面内与两个定点 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨21,F|21F迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 奎 屯王 新 敞新 疆 注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：（1）两个定点-两点间距离确定 奎 屯王 新 敞新 疆（2）绳长-轨迹上任意点到两定点距离和确定 奎 屯王 新 敞新 疆在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（ 线段） 奎 屯王 新 敞新 疆 两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（ 圆） 奎 屯王 新 敞新 疆 椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫)
3、 奎 屯王 新 敞新 疆2.椭圆标准方程：（1） 奎 屯王 新 敞新 疆12byax它所表示的椭圆的焦点在 轴上，焦点是x，中心在坐标原点的椭圆方程 奎 屯王 新 敞新 疆 其中)0,(,21cF 奎 屯王 新 敞新 疆2ba（2） 奎 屯王 新 敞新 疆12xy它所表示的椭圆的焦点在 轴上，焦点是y,中心在坐标原点的椭圆方程 奎 屯王 新 敞新 疆 其)0(,(21cF PF2F1 xOy PF2F1 xOy高中数学教案 第 8 章圆锥曲线方程（第 3 课时） 王新敞新疆奎屯市第一高级中学 第 2 页（共 6 页）中 奎 屯王 新 敞新 疆22bca在 与 这两个标准方程中，都有 的要求，1
4、2yx12bxa 0ba如方程 就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两),0(nmnm种形式的标准方程，可与直线截距式 类比，如 中，由1byax12byax于 ，所以在 轴上的“截距”更大，因而焦点在 轴上(即看 分母bax ,的大小) 奎 屯王 新 敞新 疆二、讲解范例：例 1 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为 2，从这个圆上任意一点P 向 轴作垂线段 PP，求线段 PP的中点 M 的轨迹（若 M 分 PP之比为 ，x 21求点 M 的轨迹） 奎 屯王 新 敞新 疆解：（1）当 M 是线段 PP的中点时，设动点 的坐标为 ，则 的坐标为 奎 屯王 新 敞新 疆 ),(yx)2,(yx因为
5、点 在圆心为坐标原点半径为 2 的圆上，P所以有 ，即 4)(221所以点 的轨迹是椭圆，方程是 奎 屯王 新 敞新 疆M2yx（2）当 M 分 PP之比为 时，设动点 的坐标为 ，则 的坐标为1M),(yxP 奎 屯王 新 敞新 疆)3,(yx因为点 在圆心为坐标原点半径为 2 的圆上，P所以有 ，即 4)2(169yx MPP2-2 xOy MPP2-2 xO高中数学教案 第 8 章圆锥曲线方程（第 3 课时） 王新敞新疆奎屯市第一高级中学 第 3 页（共 6 页）所以点 的轨迹是椭圆，方程是 奎 屯王 新 敞新 疆M16942yx例 2 已知 轴上的一定点 A（1,0） ，Q 为椭圆 上
6、的动点，求 AQx 142yx中点 M 的轨迹方程 奎 屯王 新 敞新 疆解：设动点 的坐标为 ，则 的坐标为 奎 屯王 新 敞新 疆 ),(y),(x因为点 为椭圆 上的点，Q142x所以有 ，即)(22y14)2(2yx所以点 的轨迹方程是 奎 屯王 新 敞新 疆M12例 3 长度为 2 的线段 AB 的两个端点 A、B 分别在 轴、 轴上滑动，点 M 分xyAB 的比为 ，求点 M 的轨迹方程 奎 屯王 新 敞新 疆解：设动点 的坐标为 ，则 的坐标为 奎 屯王 新 敞新 疆 的坐标为 奎 屯王 新 敞新 疆 ),(yx)0,35()25,0(因为 ，2|AB所以有 ，即4)5(32yx
7、 429yx所以点 的轨迹方程是 奎 屯王 新 敞新 疆M5例 4 已知定圆 ，动圆 M 和062xy已知圆内切且过点 P(-3，0)，求圆心 M 的轨迹及其方程 奎 屯王 新 敞新 疆 分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值 奎 屯王 新 敞新 疆 根据图形，用数学符号表示此结论： 奎 屯王 新 敞新 疆 PQ8上式可以变形为 ，又因为，所以圆心 M 的轨迹是以 P，Q 为焦6PMAQ 2-2 xOyMAB xOyr 8MP QxOy高中数学教案 第 8 章圆锥曲线方程（第 3 课时） 王新敞新疆奎屯市第一高级中学 第 4 页（共 6 页）点的椭圆 奎 屯王 新 敞新 疆 解 已知圆可
8、化为： 6432yx圆心 Q(3，0)， ，所以 P 在定圆内 奎 屯王 新 敞新 疆 设动圆圆心为 ，则 为8r ),(yxMP半径 奎 屯王 新 敞新 疆 又圆 M 和圆 Q 内切，所以 ，8即 ，故 M 的轨迹是以 P，Q 为焦点的椭圆，且 PQ 中点为原点，所以 ， ，故动圆圆心 M 的轨迹方程是： 奎 屯王 新 敞新 疆 82a72b 1762yx三、课堂练习：（1）已知椭圆 上一点 P 到椭圆的一个焦点的距离为 3，则 P 到另1625yx一个焦点的距离是 （ ）A.2 B.3 C.5 D.7 答案：D 奎 屯王 新 敞新 疆 （2）已知椭圆方程为 ,那么它的焦距是 （ ）120y
9、xA.6 B.3 C.3 D. 答案：A 奎 屯王 新 敞新 疆 31（3）如果方程 表示焦点在 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范2kyxy围是 A.（0，+） B.(0,2)C.(1,+) D.(0,1) 答案：D 奎 屯王 新 敞新 疆 (4)已知椭圆的两个焦点坐标是 F1（-2，0） ， F2（2，0） ，并且经过点 P（） ，则椭圆标准方程是_ 奎 屯王 新 敞新 疆 答案： 奎 屯王 新 敞新 疆23,5 16yx（5）过点 A（-1，-2）且与椭圆 的两个焦点相同的椭圆标准方程962yx是_ 奎 屯王 新 敞新 疆 答案： 奎 屯王 新 敞新 疆132yx（6）过点 P（ ，-2
10、） ， Q（-2 ，1）两点的椭圆标准方程是_ 奎 屯王 新 敞新 疆高中数学教案 第 8 章圆锥曲线方程（第 3 课时） 王新敞新疆奎屯市第一高级中学 第 5 页（共 6 页）答案： 奎 屯王 新 敞新 疆152yx四、小结 ：用转移法求轨迹方程的方法 奎 屯王 新 敞新 疆 转移法是在动点的运动随着另一个点的运动而运动，而另一个点又在有规律的曲线上运动，这种情况下才能应用的，运用这种方法解题的关键是寻求两动点的坐标间的关系 奎 屯王 新 敞新 疆 五、课后作业：1已知圆 ，从这个圆上任意一点 P 向 轴作垂线段 ，求2yxy线段 的中点 M 的轨迹.选题意图：训练相关点法求轨迹方程的方法，
11、考查“通过方程，研究平面曲线的性质”这一解析几何基本思想.解：设点 M 的坐标为 ，则点 P 的坐标为 .),(yx),2(yx P 在圆 上， ，即 .12x12y142点 M 的轨迹是一个椭圆 42x2 ABC 的两个顶点坐标分别是 B(0，6)和 C(0，-6)，另两边 AB、 AC 的斜率的乘积是- ，求顶点 A 的轨迹方程.94选题意图：巩固求曲线方程的一般方法，建立借助方程对应曲线后舍点的解题意思，训练根据条件对一些点进行取舍.解：设顶点 A 的坐标为 .),(yx依题意得 ，946yx顶点 A 的轨迹方程为 .)6(1382yx说明：方程 对应的椭圆与 轴有两个交点，而此两交点为
12、612y（，）与(0，6)应舍去.3已知椭圆的焦点是 ， 为椭圆上一点，且 是)0,1(,(21F21F和 的等差中项.1PF2高中数学教案 第 8 章圆锥曲线方程（第 3 课时） 王新敞新疆奎屯市第一高级中学 第 6 页（共 6 页）(1)求椭圆的方程；(2)若点 P 在第三象限，且 120，求 .21FP21tanPF选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题.解：(1)由题设 41221 ， 2 c=2， 4a3椭圆的方程为 .12yx（）设 ，则 60 21PF12F由正弦定理得： )60sin(siin1P由等比定理得： )i(12ii 221)60sin(234sin整理得： 故)cos1(i553cos1in23tan.3521tanta21PF说明：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称曲线三角形，与曲线三角形有关的问题常常借助正(余)弦定理，借助比例性质进行处理.对于第二问还可用后面的几何性质，借助焦半径公式余弦定理把 P 点横坐标先求出来，再去解三角形作答 奎 屯王 新 敞新 疆六、板书设计（略） 奎 屯王 新 敞新 疆七、课后记： 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆 P F2F1xOy
