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课 题:8.1椭圆及其标准方程(三).doc

1、高中数学教案 第 8 章圆锥曲线方程(第 3 课时) 王新敞新疆奎屯市第一高级中学 第 1 页(共 6 页)PF2F1课 题:81 椭圆及其标准方程(三)教学目的:1.使学生理解轨迹与轨迹方程的区别与联系 奎 屯王 新 敞新 疆 2.使学生掌握转移法(也称代换法,中间变量法,相关点法)求动点轨迹方程的方法与椭圆有关问题的解决 奎 屯王 新 敞新 疆教学重点:运用中间变量法求动点的轨迹 奎 屯王 新 敞新 疆教学难点:运用中间变量法求动点的轨迹 奎 屯王 新 敞新 疆授课类型:新授课 奎 屯王 新 敞新 疆课时安排:1 课时 奎 屯王 新 敞新 疆教 具:多媒体、实物投影仪 奎 屯王 新 敞新

2、疆教学过程:一、复习引入:1 奎 屯王 新 敞新 疆 椭圆定义:平面内与两个定点 的距离之和等于常数(大于 )的点的轨21,F|21F迹叫作椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 奎 屯王 新 敞新 疆 注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方:(1)两个定点-两点间距离确定 奎 屯王 新 敞新 疆(2)绳长-轨迹上任意点到两定点距离和确定 奎 屯王 新 敞新 疆在同样的绳长下,两定点间距离较长,则所画出的椭圆较扁( 线段) 奎 屯王 新 敞新 疆 两定点间距离较短,则所画出的椭圆较圆( 圆) 奎 屯王 新 敞新 疆 椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫)

3、 奎 屯王 新 敞新 疆2.椭圆标准方程:(1) 奎 屯王 新 敞新 疆12byax它所表示的椭圆的焦点在 轴上,焦点是x,中心在坐标原点的椭圆方程 奎 屯王 新 敞新 疆 其中)0,(,21cF 奎 屯王 新 敞新 疆2ba(2) 奎 屯王 新 敞新 疆12xy它所表示的椭圆的焦点在 轴上,焦点是y,中心在坐标原点的椭圆方程 奎 屯王 新 敞新 疆 其)0(,(21cF PF2F1 xOy PF2F1 xOy高中数学教案 第 8 章圆锥曲线方程(第 3 课时) 王新敞新疆奎屯市第一高级中学 第 2 页(共 6 页)中 奎 屯王 新 敞新 疆22bca在 与 这两个标准方程中,都有 的要求,1

4、2yx12bxa 0ba如方程 就不能肯定焦点在哪个轴上;分清两),0(nmnm种形式的标准方程,可与直线截距式 类比,如 中,由1byax12byax于 ,所以在 轴上的“截距”更大,因而焦点在 轴上(即看 分母bax ,的大小) 奎 屯王 新 敞新 疆二、讲解范例:例 1 如图,已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为 2,从这个圆上任意一点P 向 轴作垂线段 PP,求线段 PP的中点 M 的轨迹(若 M 分 PP之比为 ,x 21求点 M 的轨迹) 奎 屯王 新 敞新 疆解:(1)当 M 是线段 PP的中点时,设动点 的坐标为 ,则 的坐标为 奎 屯王 新 敞新 疆 ),(yx)2,(yx因为

5、点 在圆心为坐标原点半径为 2 的圆上,P所以有 ,即 4)(221所以点 的轨迹是椭圆,方程是 奎 屯王 新 敞新 疆M2yx(2)当 M 分 PP之比为 时,设动点 的坐标为 ,则 的坐标为1M),(yxP 奎 屯王 新 敞新 疆)3,(yx因为点 在圆心为坐标原点半径为 2 的圆上,P所以有 ,即 4)2(169yx MPP2-2 xOy MPP2-2 xO高中数学教案 第 8 章圆锥曲线方程(第 3 课时) 王新敞新疆奎屯市第一高级中学 第 3 页(共 6 页)所以点 的轨迹是椭圆,方程是 奎 屯王 新 敞新 疆M16942yx例 2 已知 轴上的一定点 A(1,0) ,Q 为椭圆 上

6、的动点,求 AQx 142yx中点 M 的轨迹方程 奎 屯王 新 敞新 疆解:设动点 的坐标为 ,则 的坐标为 奎 屯王 新 敞新 疆 ),(y),(x因为点 为椭圆 上的点,Q142x所以有 ,即)(22y14)2(2yx所以点 的轨迹方程是 奎 屯王 新 敞新 疆M12例 3 长度为 2 的线段 AB 的两个端点 A、B 分别在 轴、 轴上滑动,点 M 分xyAB 的比为 ,求点 M 的轨迹方程 奎 屯王 新 敞新 疆解:设动点 的坐标为 ,则 的坐标为 奎 屯王 新 敞新 疆 的坐标为 奎 屯王 新 敞新 疆 ),(yx)0,35()25,0(因为 ,2|AB所以有 ,即4)5(32yx

7、 429yx所以点 的轨迹方程是 奎 屯王 新 敞新 疆M5例 4 已知定圆 ,动圆 M 和062xy已知圆内切且过点 P(-3,0),求圆心 M 的轨迹及其方程 奎 屯王 新 敞新 疆 分析:由两圆内切,圆心距等于半径之差的绝对值 奎 屯王 新 敞新 疆 根据图形,用数学符号表示此结论: 奎 屯王 新 敞新 疆 PQ8上式可以变形为 ,又因为,所以圆心 M 的轨迹是以 P,Q 为焦6PMAQ 2-2 xOyMAB xOyr 8MP QxOy高中数学教案 第 8 章圆锥曲线方程(第 3 课时) 王新敞新疆奎屯市第一高级中学 第 4 页(共 6 页)点的椭圆 奎 屯王 新 敞新 疆 解 已知圆可

8、化为: 6432yx圆心 Q(3,0), ,所以 P 在定圆内 奎 屯王 新 敞新 疆 设动圆圆心为 ,则 为8r ),(yxMP半径 奎 屯王 新 敞新 疆 又圆 M 和圆 Q 内切,所以 ,8即 ,故 M 的轨迹是以 P,Q 为焦点的椭圆,且 PQ 中点为原点,所以 , ,故动圆圆心 M 的轨迹方程是: 奎 屯王 新 敞新 疆 82a72b 1762yx三、课堂练习:(1)已知椭圆 上一点 P 到椭圆的一个焦点的距离为 3,则 P 到另1625yx一个焦点的距离是 ( )A.2 B.3 C.5 D.7 答案:D 奎 屯王 新 敞新 疆 (2)已知椭圆方程为 ,那么它的焦距是 ( )120y

9、xA.6 B.3 C.3 D. 答案:A 奎 屯王 新 敞新 疆 31(3)如果方程 表示焦点在 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范2kyxy围是 A.(0,+) B.(0,2)C.(1,+) D.(0,1) 答案:D 奎 屯王 新 敞新 疆 (4)已知椭圆的两个焦点坐标是 F1(-2,0) , F2(2,0) ,并且经过点 P() ,则椭圆标准方程是_ 奎 屯王 新 敞新 疆 答案: 奎 屯王 新 敞新 疆23,5 16yx(5)过点 A(-1,-2)且与椭圆 的两个焦点相同的椭圆标准方程962yx是_ 奎 屯王 新 敞新 疆 答案: 奎 屯王 新 敞新 疆132yx(6)过点 P( ,-2

10、) , Q(-2 ,1)两点的椭圆标准方程是_ 奎 屯王 新 敞新 疆高中数学教案 第 8 章圆锥曲线方程(第 3 课时) 王新敞新疆奎屯市第一高级中学 第 5 页(共 6 页)答案: 奎 屯王 新 敞新 疆152yx四、小结 :用转移法求轨迹方程的方法 奎 屯王 新 敞新 疆 转移法是在动点的运动随着另一个点的运动而运动,而另一个点又在有规律的曲线上运动,这种情况下才能应用的,运用这种方法解题的关键是寻求两动点的坐标间的关系 奎 屯王 新 敞新 疆 五、课后作业:1已知圆 ,从这个圆上任意一点 P 向 轴作垂线段 ,求2yxy线段 的中点 M 的轨迹.选题意图:训练相关点法求轨迹方程的方法,

11、考查“通过方程,研究平面曲线的性质”这一解析几何基本思想.解:设点 M 的坐标为 ,则点 P 的坐标为 .),(yx),2(yx P 在圆 上, ,即 .12x12y142点 M 的轨迹是一个椭圆 42x2 ABC 的两个顶点坐标分别是 B(0,6)和 C(0,-6),另两边 AB、 AC 的斜率的乘积是- ,求顶点 A 的轨迹方程.94选题意图:巩固求曲线方程的一般方法,建立借助方程对应曲线后舍点的解题意思,训练根据条件对一些点进行取舍.解:设顶点 A 的坐标为 .),(yx依题意得 ,946yx顶点 A 的轨迹方程为 .)6(1382yx说明:方程 对应的椭圆与 轴有两个交点,而此两交点为

12、612y(,)与(0,6)应舍去.3已知椭圆的焦点是 , 为椭圆上一点,且 是)0,1(,(21F21F和 的等差中项.1PF2高中数学教案 第 8 章圆锥曲线方程(第 3 课时) 王新敞新疆奎屯市第一高级中学 第 6 页(共 6 页)(1)求椭圆的方程;(2)若点 P 在第三象限,且 120,求 .21FP21tanPF选题意图:综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识,灵活运用等比定理进行解题.解:(1)由题设 41221 , 2 c=2, 4a3椭圆的方程为 .12yx()设 ,则 60 21PF12F由正弦定理得: )60sin(siin1P由等比定理得: )i(12ii 221)60sin(234sin整理得: 故)cos1(i553cos1in23tan.3521tanta21PF说明:曲线上的点与焦点连线构成的三角形称曲线三角形,与曲线三角形有关的问题常常借助正(余)弦定理,借助比例性质进行处理.对于第二问还可用后面的几何性质,借助焦半径公式余弦定理把 P 点横坐标先求出来,再去解三角形作答 奎 屯王 新 敞新 疆六、板书设计(略) 奎 屯王 新 敞新 疆七、课后记: 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆 P F2F1xOy

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