1、两弹性体之间的接触压力问题,两球体的接触问题圆球与平面（或凹球面）的接触例题,接 触 问 题,根据半空间体在边界上受法向分布力中有关知识，可导出两弹性体之间的接触压力以及由此所引起的应力和变形，下面我们先对两弹性球体进行讨论。设两个球体半径分别为R1和R2,如图。,一.两球体的接触问题,设开始时两球体不受压力作用，它仅接触于一点O，那么此时，在两球体表面上取距公共法线距离为r的M1和M2两点，与O点的切平面之间的距离z1和z2.,则由几何关系有： (R1z1)2+r2=R12(R2z2)2+r2=R22 得,（a）,当M1,M2离O点很近时，则z1R1, z2R2，上面两式可化为：,而M1、M
2、2两点之间的距离为：,当两球体沿接触点的公共法线用力F 相压时，在接触点的附近，将产生局部变形而形成一个圆形的接触面。由于接触面边界的半径总是远小于R1、R2，所以可以采用关于半无限体的结果来讨论这种局部变形。,现分别用w1和w2表示M1点沿z1方向的位移及M2点沿z2方向的位移（即相外的相对移动）；,(w1+w2)=z1+z2,设为圆心O1、O2因压缩而相互接近的距离，如果M1与O1、M2与O2之间无相对移动则M1与M2、之间接近的距离也为；,于是M1点和M2点之间的距离减少为(w1+w2)，如果点M1、M2由于局部变形而成为接触面内的同一点M，则由几何关系有：,将式（a）代入，得,w1+w
3、2=r2 (b),其中，,（c）,根据对称性接触面一定是以接触点O为中心的圆。现以图中的圆表示接触面，而M点表示下面的球体在接触面上的一点（即变形以前的点M1），则按照弹性半空间受垂直压力q的解答，该点的位移为：,其中1及E1为下面球体的弹性常数，而积分应包括整个接触面。对于上面的球体，也可以写出相似的表达式，于是：,（d）,其中,并由（d）式及(c)式得,（e）,到此，把问题归结为去寻求未知函数q（即要找出压力的分布规律），使式（e）得到满足。,根据Hertz的假设，如果在接触面的边界上作半圆球面，而用它在各个点的高度代表压力q各该点处的大小。,例如弦mn上一点压力的大小，可用过mn所作半圆
4、的高度h来代表。,接触圆内任一点的压力，应等于半球面在该点的高度h和k=q0/a的乘积。由此，不难从图可以看出，,令q0表示接触圆中心O的压力，则根据上述假定，应有 q0=ka由此得： k= q0/a,k这个常数因子表示压力分布的比例尺。,A为弦mn上的半圆（用虚线表示）面的面积，即,由于,代入后再代入式（e）,积分后得：,，,d,有,要使此式对所有的r都成立，等号两边的常数项和r2的系数分别相等，于是有,这样，只要式（g）成立，Hertz所假定的接触面上压力分布是正确的。根据平衡条件，上述半球体的体积与的乘积应等于总压力F，即,(g),由此的最大压力,（h）,它等于平均压力F/a2的一倍半。
5、,将式（c）和式（h）代入式（g），求解a及,即得：,由此并可求得最大接触压力为；,在E1=E2=E及1= 2=0.3时，由上列各式得出工程实践中广泛采用的公式：,在求出接触面间的压力之后，可利用按照弹性半空间受垂直压力q的解答导出的公式计算出两球体中的应力。最大压应力发生在接触面中心，值为q0；最大剪应力发生在公共法线上距接触中心约为0.47a 处，其值为0.31 q0；最大拉应力发生在接触面的边界上，其值为0.133 q0。,二.圆球与平面（或凹球面）的接触,利用上面关于两弹性球体接触时的有关结论，可得如下公式：,当圆球与平面接触时，将以上结果中的R1=R0,R2则得：,F,在E1=E2=
6、E及1= 2=0.3时，,F,当圆球与凹球面接触时，将以R1代替两圆球接触时公式中的R1，则可得：,F,在E1=E2=E及1= 2=0.3时，,F,三 例题,直径为10mm的钢球与a)直径为100mm的钢球；b)钢平面；c)半径为50mm的凹球面相接触， 其间的压紧力P=10N，试球接触圆的半径a,两球中心相对位移和最大接触应力q0 .(E=2.1105 N/mm2, =0.3）,。,解:,a)直径为10mm的钢球与直径为100mm的钢球；,= 0.067 mm,= 9.810-4 mm,= 1080N/ mm,F,= 0.069 mm,= 9.510-4 mm,= 1010N/ mm,(b)直径为10mm的钢球与钢平面；,F,= 9.810-4 mm,= 940N/ mm,= 0.071 mm,(c)直径为10mm的钢球与半径为50mm的凹球面相接触；,F,
