1、中考压轴题中代数和函数综合问题，主要有方程和不等式的图象解问题，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系在二次函数问题中的应用问题，方程（组）、不等式（组）和函数的综合应用问题。一. 方程和不等式的图象解问题原创模拟预测题 1.函数 的图象如图，那么关于 x 的分式方程ay1x二次函数 y= 的图象与 x 轴交点的坐标为（1，0）和（2，0）。3x2其中，正确结论的个数是【 】A0 B1 C2 D3 【答案】C。【考点】抛物线与 x 轴的交点，一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式。 ，2x3k故选 C。原创模拟预测题 4. 已知 ，则反比例函数且反比例函数22(x4)(b)0的图象在每个象限
2、内 y 随 x 的增大而增大，那么反比例函数的关系式为【 】1byxA. B. C. D. 12yx2yx【答案】A。【考点】偶次幂的非负数性质，解一元二次方程，反比例函数的性质。原创模拟预测题 5. 已知二次函数 图象的顶点横坐标是 4，与 x 轴交2yaxbc于 A（x 1，0）、B（x 2，0），x 10x 2，与 y 轴交于点 C，O 为坐标原点，。tantaCO（1）求证： ；b8（2）求 a、b 的值；（3）若二次函数图象与直线 仅有一个交点时，求二次函数的最值。y2x3【答案】（1） 图象的顶点横坐标是 4，abc抛物线的对称轴为 x=4，即 ，化简得： 。b2ab8a0（2）二
3、次函数 与 x 轴交于 A（x 1，0）、 B（x 2，0），2yaxcx10x 2，OA=x 1，OB=x 2； 。1212bc aa，令 x=0，得 y=c，C（0，c），OC=|c|。由三角函数定义得： 。1 2cc OCOCtanA tanBxx，tanCAOtanCBO=2，即 ，化简得：12=。12xc将 代入得： ，化简得：1212bcxxaa，b2ac 。cb2由（1）知 ，b8a0当 时， ；当 时， 。214b21a4a、b 的值为： ， 或 ， 。ab2（3）由（2）知，当 ， 时，抛物线解析式为：14。21yxc4联立抛物线 与直线 解析式得到：21yxc4y2x3，2
4、1xcx34化简得： 。216xc20二次函数图象与直线 仅有一个交点，y3一元二次方程根的判别式等于 0，即 ，解得2564c120=19。c抛物线解析式为： 。2211yx9x44当 x=4 时，二次函数有最小值，最小值为 15。由（2）知，当 ， 时，抛物线解析式为：ab2。1yxc4联立抛物线 与直线 解析式得到：21yxc4y2x3，21xcx34化简得： 。21c0二次函数图象与直线 仅有一个交点，y2x3一元二次方程根的判别式等于 0，即 ，解得241c0=3。c抛物线解析式为： 。221yx3=x744当 x=4 时，二次函数有最大值，最大值为 7。综上所述，若 ， ， =19
5、，二次函数图象与直线ab2c仅有一个交点时，二次函数的最小值为 15；若 ， ， =3，二次函y2x3 1a4b2c数图象与直线 仅有一个交点时，二次函数的最大值为 7。y2x3【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，锐角三角函数定义，二次函数的性质，分类思想的应用。原创模拟预测题 6.已知：y 关于 x 的函数 的图象与 x 轴有交2ykx1k3点。（1）求 k 的取值范围；（2）若 x1，x 2 是函数图象与 x 轴两个交点的横坐标，且满足1 1234求 k 的值；当 时，请结合函数图象确定 y 的最大值和最小值。k3【答案】 （1）当
6、k=0 时，函数为一次函数 y=2x+3 ，其图象与 x 轴有一个交点。当 k0时，函数为二次函数，其图象与 x 轴有一个或两个交点，令 y=0 得 2kx1k30，解得 。40 k10综上所述，k 的取值范围是 k1。（2）x 1x2，由（1）知 k1 且 k0。由题意得 ，即 （*） ，x30211kx3kx将（*）代入 中得：2122x4。12122kx4x又x 1+x2= ，x 1x2= ，kk3，32k14解得：k 1=2，k 2=1（不合题意，舍去） 。所求 k 值为2。如图，k=2， ，且1x1，213yxx由图象知：当 x=1 时，y 最小 =3；当 x= 时，y 最大 = 。
7、22y 的最大值为 ，最小值为 3。32【考点】抛物线与 x 轴的交点，一次函数的定义，一元二次方程根的判别式和根与系数物关系，二次函数的最值，分类思想和数形结合思想的应用。三. 方程（组）、不等式（组）和函数的综合应用问题原创模拟预测题 7. 某商家经销一种商品，用于装修门面已投资 3000 元。已知该商品每千克成本 50 元，在第一个月的试销时间内发现项，当销售单价为 70 元/ kg 时，销售量为 100 kg，销量 w（kg）随销售单价 x（元/ kg）的变化而变化，销售单价每提高 5 元/ kg，销售量减少 10 kg。设该商品的月销售利润为 y（元）（销售利润=单价销售量成本投资）
8、。（1）请根据上表，写出 w 与 x 之间的函数关系式（不必写出自变量 x 的取值范围）；（2）求 y 与 x 之间的函数关系式（不必写出自变量 x 的取值范围），并求出 x 为何值时，y 的值最大？（3）若在第一个月里，按使 y 获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于 90 元，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到 1700，那么第二个月时里应该确定销售单价为多少元？【答案】（1）w=2x240。（2）y 与 x 的关系式为： 2yx50w50240x3401（ ，2318540（当 x=85 时，y 的值最大为 2450 元。（3）在第一个月
9、里，按使 y 获得最大值的销售单价进行销售所获利润为2450 元，第 1 个月还有 30002450=550 元的投资成本没有收回。则要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到 1700 元，即y=2250 才可以，可得方程 ，解得 x1=75，x 2=95。2x85405（根据题意，x 2=95 不合题意应舍去。答：当销售单价为 75 元时，可获得销售利润 2250 元，即在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到 1700 元。【考点】一、二次函数和一元二次方程的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。原创模拟预测题 8. 如图表示一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地
10、行驶过程的函数图象（分别为正比例函数和一次函数）.两地间的距离是 80 千米.请你根据图象回答或解决下面的问题：（1）谁出发的较早？早多长时间？谁到达乙地较早？早到多长时间？（2）两人在途中行驶的速度分别是多少？（3）请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（4）指出在什么时间段内两车均行驶在途中（不包括端点）；在这一时间段内，请你分别按下列条件列出关于时间 x 的方程或不等式（不要化简，也不要求解）：自行车行驶在摩托车前面；自行车与摩托车相遇；自行车行驶在摩托车后面.【答案】（1）自行车出发早 3 个小时，摩托车到达乙地早 3 个小时 （2）10 千
11、米/时，40 千米/时（3）自行车：y=10x，摩托车：y=40x120（4）在 3x5 时间段内两车均都行驶在途中，自行车在摩托车前面：10x40x120，相遇：10x=40x120，自行车在摩托车后：10x40x120【解析】（3）设表示自行车行驶过程的函数解析式为 y=kxx=8 时，y=80因此 k=10表示自行车行驶过程的函数式是 y=10x设表示摩托车行驶过程的函数解析式是 y=ax+b由题意可知： ，解得8053ba1204ba表示摩托车行驶过程的函数解析式为 y=40x-120考点：本题考查的是一次函数的应用点评：本题是利用一次函数的有关知识解答实际应用题，借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键
