1、悠悠球的简单力学分析及讨论假设悠悠球的质量为 m，对质心的转动惯量为 。细绳长为 ，不计形变及质量。轴承 摩擦系数为 ，内外半径分别为 ，细绳全部缠绕在轴承上时半径为 R，忽略轴承的质0、 量及转动惯量。假设悠悠球进行一个简单运动：以一定初速度被甩出，方向竖直向下，到达底端经过一段时间的睡眠后收回。下面分五个过程进行定量计算。 （图均为过质心的截面图）过程分析1. 设出手的过程人做功 W，该功量全部转化为悠悠球的动能，使其绕瞬心 O 点定轴转动，角速度 。由动能定理： 0=0=12 02=12（ +2） 02得： 0= 2+2后面的计算并不用到这个角速度，这里只是定量分析一下能量转换的关系。2
2、. 此后悠悠球在重力的作用下加速下落，运动方式类似纯滚动。随着细绳逐渐被抽出，缠绕的细绳越来越接近球的中心，其角速度迅速增大。忽略空气阻力及一切能量耗R 0O散，设在细绳完全抽出的瞬时角速度为 。由动能定理： 1=10=12（ +2） 12得： 1=2（ +）+2其质心速度1= 1=2（ +）+23. 此时细绳会突然急剧张紧，在极短时间内产生一个竖直方向的冲量，使得悠悠球质心速度变为零，平动动能耗散为其他形式的能量，这就是物理中所学过的“范性过程”。规定向下为正，其冲量为：=01=1=2（ +）+2同时，由于轴承不完全光滑，该过程轴承对悠悠球的冲量矩为（类比小球与粗糙平面的斜碰撞，平面对其的切
3、向冲量为法向冲量的 ）：倍=0=0=02（ +）+2设范性过程结束时悠悠球角速度为 动量矩定理： 2，由r 1O=02（ +）+2 =（ 2 1）得： 2=（ 10 ） 2（ +）+24. 此后由于悠悠球离合器中的钢珠受很大的离心力的作用，压缩弹簧使离合器打开，悠悠球绕质心作定轴转动，并且角速度在摩擦力矩的作用下逐渐变小。由动量矩定理有微分关系式： =即=0积分，初始条件 = 2， =0。 =（ 10 ） 2（ +）+2 0可见 随时间线性减小。当其减小到离合器的临界角速度时，钢珠的离心力和弹簧 作用的压力相互平衡。只要 继续减小，离合器就会卡住轴承从而使悠悠球沿细绳 向上运动，达到“收球”的
4、目的。设经过时间 T 达到离合器临界角速度 ，代入 3上式有= 0（ 2（ +）+2 3） 2（ +）+2 ()T 即为悠悠球的空转时间，称为睡眠时间。r5. 这是悠悠球整个运动的最后一个过程，可以认为是第一个过程的逆过程。设悠悠球收回前一瞬间角速度为 不计能量损耗，由动能定理： 4，=12（ +2） 4212 32得 4= 322+2至此，悠悠球的运动全过程分析结束。下面以推导出的（*）式简要讨论影响睡眠时间的因素。结果讨论= 0（ 2（ +）+2 3） 2（ +）+21. 的影响 3（离合器 临 界角速度）从表达式易知 T 随 减小而增大。故为了尽可能延长睡眠时间，应使 尽可能小。 3的
5、3但为了最后能将其收回，应有 。综上得 时，T 最大。 40 3=22. W（初始做功）的影响将式子略微变形，写作=（ 0） 2（ +）+2 30显然括号里为正，故 T 随 W 的增大而增大。但 W 不可过大，否则容易造成绳断等安全隐患。3. （轴承内径）及 的影响0 (轴 承摩擦系数 )显然，T 随 的缩小而增大。这直观上很好理解： 越小，范性过程以及空转0和 0和 过程中轴承对悠悠球的摩擦冲量矩就越小，从而角速度衰越慢，睡眠时间越长。4. 其余变量由于和 T 的函数关系较为复杂，求导繁杂，限于篇幅不再一一分析。实例计算下面以一种悠悠球的实际参数带入公式进行数值运算，对比睡眠时间的理论计算值
6、与实际值。产品名称： 火力战士 s 产品编号： 671513 规格： 567*457*458 备注： 轴承系统:尼龙轴承规格：4x6x4回收系统:十字离合器外环材质：有色透明 PC重量：68g球体:材质： PC上线有效宽度:13.5mm球绳:专用纯棉球绳最大空转时间:1 分 35 秒最大直径:62mm由参数表知 m=68g， 。查表知滑动轴承的 为 0.01-0.02，取=12， 0=6 ；绳长 取 1m；作为简化，将悠悠球视作匀质圆盘，得 ，D 为悠悠=0.015 =12（ 2） 2球直径；W 较难确定，暂时估算为使悠悠球获得 5m/s 的质心速度及相应角速度所做的功，即 ，根据经验 R 约
7、为 3r； 则取使 T 最大的W=12（ +2） （ 5） 2 为 使睡眠 时间 最 长 , 3值，即 ，此时悠悠球收回手中时动能正好为 0。将以上参数带入（*）式，得：2=91.73这与参数表中的 95s 较为接近，说明利用该公式可以粗略计算悠悠球的最大睡眠时间。此外在计算中发现两点：1. 在 3 过程中 ，即范性过程中由轴承摩擦力矩造 2和 1相差很小成的悠悠球角速度损失很小，几乎可以忽略不计，这是因为力臂 短和摩擦系数 2.0 较 小；相当大，即为了悠悠球能回到手中，离合器在其角速度还比较大时就卡住了轴承使其 3结束睡眠开始上升。为了进一步提高睡眠时间，就得拆掉离合器系统，从而悠悠球可以继续睡眠直到角速度为零，这就是我们常听到的“死睡眠” 。将 带入式中可算出 3=0，可见死睡眠能成倍增大睡眠时间。=257.03
