1、汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！12017 届学科网高三数学 33 个黄金考点总动员考点 17 平面向量的应用【考点剖析】1.最新考试说明：会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.2.命题方向预测：预计 2017 年高考仍将对向量的长度和角度进行重点考查，题型延续选择题或填空题形式，分值为 4 到 5分，运用向量的数量积处理其他数学问题是一种新的趋势，复习时需加以关注.3.课本结论总结：解决向量的长度与夹角问题时要借助于公式 ， ，对于2|acos,|ab这个公式的变形应用要做到熟练，求向量的夹角时要注意角的取值范围.|cos,a
2、bab4.名师二级结论：向量知识拓展了解析几何的命题空间，更新了解决解析几何问题的方法，在处理直线与圆锥曲线相交的问题时，在解题过程中要注意将向量给出的条件转化为向量的坐标运算，从而与两交点的坐标联系起来，由韦达定理建立起关系式，.5.课本经典习题：(1)新课标 A 版必修 4 第 109 页，例 1 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，如图， ，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？CBDBA【解析】不妨设 ， ，则 ， ，ABaDbACabDBab ，同理 ，2 22| ()|C 22|ab+得， ，即平行四边形两条对角线的平方和等于两条2| )(|)邻边平方和的
3、两倍.【经典理由】通过例题，给出了利用平面向量的数量积处理平面几何问题的一般技巧.汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！2(2)新课标 A 版必修 4 第 5 页，思考 余弦定理的证明.【解析】如图，设 ， ， ，那么 ，CBaAbBcab，所以 ，22 2|() coscbaC 22coscabC同理可以证明： ， ，得证2cosCc【经典理由】给出了向量的运用，利用平面向量的数量积证明余弦定理，以此发散，可引申处理向量模长的常见方法就是利用平面向量的数量积.6.考点交汇展示：(1)向量与平面几何最值相结合【2016 高考四川文科】已知正三角形 ABC 的边长为 32，平面 ABC
4、内的动点 P，M 满足 1Aur，PMCur，则2Bur的最大值是( )(A) 43 (B) 9 (C) 4367 (D) 4327【答案】B【解析】甴已知易得 1220,DAADCBCBC.以 D为原点，直线DA为 x轴建立平面直角坐标系，则 ,31,设 ,Pxy由已知 1AP，得 21y，又 3,22xyPMM22234xB，它表示圆 21xy上点 .xy与点 1,距离平方的14，222max1491，故选 B.汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！3(2)向量与三角恒等变形相结合设向量 ak ，则 (ak ak+1)的值为 .(cos,incos)(0,12,)66kk 10kA
5、【答案】 93【解析】 ak ak+1A(1)()()(cos,incos),sincos6666kk k()cosi(ico)6 k1)(1(1)(1)(sinsinsincos6666k kk22(323cosincoicoin6k k331i(1s)in44k1()sins66k因为 的周期皆为 ，一个周期的和皆为零，22snco66k， 6因此 (ak ak+1) .10kA3934【考点分类】热点 1 向量与三角形相联系1.【百强校】2016 届辽宁省大连市八中高三 12 月月考】已知点 P为 ABC所在平面内一点，边 AB的中点为 D，若 2(1)PACB，其中 R，则 点一定在（
6、 ）A B边所在的直线上 B 边所在的直线上C 边所在的直线上 D 的内部 【答案】C【解析】由 2(1)PAC得 2()PBAPDCBAPCBP，所以 ,共线故选 C汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！42.在直角坐标系 中，已知点 ，点 在 三边围成的 区域（含边界）xOy)2,3(,)1,(CBA),(yxPABC上.（1）若 ，求 ；0PABCP（2）设 ，用 表示 ，并求 的最大值.),(Rnmyx,nm【答案】（1） ；（2） ， .1【解析】（1） ，0PABC()()()0OAPBOCP即得 ， .(),23O |2（2） ， ，即 ，mn(,)xymn2xmny两式
7、相减得： ，y令 ，由图可知，当直线 过点 时， 取得最大值 1，故 的最大值为 .yxt xt(2,3)Btn1xy1 2 3 4 512345 123123O【解题技巧】向量的坐标表示与运算可以大大简化向量数量积的运算：由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此我们可以利用向量的直角坐标求出向量的长度、平面内的两点距离、两个向量的夹角、判断两向量是否垂直.【方法规律】向量的应用是向量的概念和运算的归宿，是学习向量的最终目的，因此领悟向量方法，熟练掌握向量方法，主动利用向量方法求解数学问题十分必要.1.用向量方法解决平面几何问题的技巧建立恰当的坐标系，把几何图形的有关点、
8、线与向量联系起来，将几何问题转化为代数运算和向量运算，从而使问题得到解决，恰当建立坐标系是关键，它关系到运算是否简捷.汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！52.如何求解向量与函数的综合问题借助向量的坐标表示，将已知条件代数化，并转化为函数问题，在某种意义上向量在这类问题中起装饰作用，求解过程中能用函数的性质的要尽可能地利用函数的性质.例如第 2 题，选择以 所在直线为 轴， 中垂线所在直线为 轴建立坐标系，从而可将问题等价于ABxABy一个不等式恒成立的问题，运用二次函数与二次方程的相关性质即可求解.热点 2 向量与解析几何相联系1.已知 M（ ）是双曲线 C： 上的一点， 是 C
9、上的两个焦点，若 ，0,xy21xy12,F120MF则 的取值范围是( )0（A）（- ， ） （B）（- ， ）336（C）（ ， ） （D）（ ， ）22【答案】A【解析】由题知 ， ，所以 = 12(3,0)(,)F201xy12MF= ，解得 ，故选 A.00(3,),xyxy2200303y2.【百强校】2017 届湖南长沙长郡中学高三入学考试】已知点 (1,)， ,AB是椭圆214xy上的动点，且 0MAB，则 A的取值范围是（ ）A 2,13 B ,9 C 2,93 D 6,3【答案】C【解析】设 12(,)(,)xy，则 1212(,)(1,)(,)MAxyBxyAxy，由题
10、意有10MABy，所以 2122111()()()()xxxy22 21 1 4yxy211334(),4x汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！6所以，当 2x时， MAB有最大值 9，当 43x时， MAB有最小值 23，故选 C.【方法规律】如何利用向量的几何表示三角形的各种心向量的几何表示是高考的热点问题，特别是用三角形的各种心的向量表示经常是命题的素材，常见的结论如下： 为 的重心，特别地 为 的重心；1()3PGABPCGAB0PABCPABC是 BC 边上的中线 AD 上的任意向量，过重心； ，等于已知),0,12DAD 是 中 BC 边的中线. 为 的垂心； 是PABC
11、PABC()|cos|cosABC0,)ABC 的边 BC 的高 AD 上的任意向量，过垂心. 为 的内心；向量 所在直线过|0P ()(0|ABC的内心(是 的角平分线所在直线 ).ABCA )()()0OBOCAC为 的外心.22OB【解题技巧】平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点.向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的 的许多主干知识综合，形成知识交汇点.在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会
12、大大简化过程，向量运算包括几何运算和坐标运算.利用几何运算就是充分利用加法和减法的几何含义，以及一些具有几何含义的式子，进行化简、转化向量的计算.利用坐标运算，实际上就是转化为代数问题，即向量问题坐标化.树汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！7立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数 ，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系时，要正确运用共线向量和平面向量的基本定理，去计算向量的模、两点的距离等.由于向量作为工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解析几何等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点，例如第 10 题，利用 结合平面向量垂直的坐标表示可得， 来处理 这一几
13、何0OAB 020ytxOAB关系，从而将几何中的垂直关系，转化为了代数的问题，实现了用代数的运算来处理集几何问题的思路.【热点预测】1.设 ， 是非零向量，“ ”是“ ”的（ ）abab/abA充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 ，由已知得 ，即 ， .而当 时，|cos,ababcos,1ab,0ab/ab还可能是 ，此时 ，故“ ”是“ ”的充分而不必要条件，故选,|/A.2.【百强校】2017 届广西陆川县中学高三 8 月月考】若 O是 ABC所在平面内一点，且满足|2|OBCOA，则 BC一定是（ ）A等边三角形 B直角三角形
14、 C等腰三角形 D等腰直角三角形【答案】B【解析】由题意得 |OCBA， |2| |OBCABOCAAB，即 ，所以 2，2 2C，所以 0，即 ，所以三角形一定是直角三角形，故选 B.3. 【百强校】2016 届河南新乡名校学术联盟高三高考押题四】若等边三角形 CA的边长为 2， 为A的中点，且 上一点 满足 CxyA，则当 14xy取最小值时， （ ）A 6 B 5 C D 3【答案】D汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！8【解析】设 tA（ 0t），则 CCtA， 1CttA，所以 1xy（ ， y）， 1444529xyxyxyxy ，当且仅当 3， 2时，等号成立所以 22
15、211CCC36C6A4.【2016 年高考四川理数】在平面内，定点 A， B， C， D 满足 A= B=,DAB= =D=-2，动点 P， M 满足=1， P=M，则2的最大值是( )（A） 43 （B） 49 （C） 3764 （D） 374【答案】B【解析】甴已知易得 1220,AADBBC.以 D为原点，直线DA为 x轴建立平面直角坐标系，则 ,31,设 ,Pxy由已知 1AP，得 21y，又 3,22xyPMCM 22234xB，它表示圆 21xy上点 ,xy与点 1,距离平方的14，222max1491，故选 B5.已知点 是 的重心，若 ， ，则 的最小值是（ ）GABC0A2
16、C|AGA B C D3234【答案】C【解析】在 中，延长 交 于 ，点 是 的重心， 是 边上的中线，且AGBGABCADBC， ， ， ，23AGD0|cos12|423GA， ， ，BC1()3C2221()39 汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！9， ， ， 的最小值是 .142|2()99ABC249AG2|3|AG236.已知 的重心为 G，内角 A，B，C 的对边分别为 ， ， ，若 ，则角abc0abBcCA 为（ ）A B C D6432【答案】A【解析】 ， ，0aGbc330acGAbcB ， ， ，30,cc,3cb222139coscab .6A7.已知
17、向量 ，满足 =1， 与 的夹角为 ，若对一切实数 x , 恒成立，则,ab|ab3|2|xab的取值范围是( ).|bA. B. C. D.0,1(0,1)1,)(1,)【答案】C.【解析】对式子 两边平方得，|2|xab，又 与 的夹角为 ，且 =1，则有222()()4xabaxbaba3|a，有1|cos|3，此式对一切实数 恒成立，222224|3|1|0xbbxbbx所以有 ，即有： ，取 .|4(|1|)0 1|-2b或 |8. 在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 ABCD/,2,6CABABCEFBC和 上,且, 则 的最小值为 .9EFEF【答案】 2918汇聚名校
18、名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！10【解析】因为 ，1,9DFC12AB，918CDAB ， ，AEBA 1981FCFABBC 22199818FCB 1942cos081717299298当且仅当 即 时 的最小值为 .23AEF18BADCEF9.已知 是边长为 4 的正三角形， D、P 是 内部两点，且满足BCABC，则 的面积为 11(),48DAP【答案】 .3【解析】取 的 中 点 ， 连 结 ， 根 据 是 边 长 为 的 正 三 角 形 ，BCEABC4 ， ， 而 ， 则 点 为 的 中 点 ， 则 ，AE1()2AC1()4DDAE3AD取 ， 以 ， 为 边 作 平 行 四 边 形 ， 可 知8FDF18PBCF而 为 直 角 三 角 形 ， 且 ， 的 面 积 为 .P12A43210.在平面直角坐标系 中，已知圆 C： ，点 A，B 在圆 C 上，且 ，则xOy2650xy23AB
