1、 是无理数的证明 大家都知道是 无理数，但是它是如何证明的呢？我们下面就给出一个证明。首先给出 一个定义。 定义 0c o s,0m in 2 ，即 是使 0cos 的最小正数的两倍。 按这个定义，利用定积分容易得到半径为 r 的圆的面积为 2r ，因此这样的定义是合理的。下面证明 是无理数。 利用反证法。设 是有理数，则 2 也是有理数，于是存在正整数 p ， q ，使得qp2。由于 0! npn （ n ），因此存在正整数 N ，使得 1! NpN 。 设 f 是如下定义的 N2 次多项式 ! )1()( N xxxf NN ， 则 f 满足 )1()( xfxf ， )1()1()( )
2、()( xfxf kkk （ ,2,1k ）。 展开 f 的表达式得 NNn nn xcNxf 2!1)( 。 对其求导 k 次（ Nk 20 ）得 N kNn knnk xcknnnNxf 2 ,m a x )( )1()1(!1)( 。 若 Nk0 ，显然 Z)0()(kf ，因此由 )1()1()( )()( xfxf kkk ，知 Z)1()( kf ；若 NkN 2 ，显然 Zkk cNkf !)0()(，因此 Z)1()(kf 。 令 )()1()( )2(0 xfqpxFjNjjjNj ，则利用 Z)0()(kf ， Z)1()(kf 得到Z)0(F ， Z)1(F 。进一步计算
3、得 ),()()()1()()1()()1()()1()()1()()(211)22()2(011)2(11111)2(02)22(02xfpxfqpxfqxfqpxfqpxfqpxfqpxFxFNNNNNjNjjjNjjNjjjNjjNjjjNjjNjjjNj其中利用了 f 是 N2 次多项式，因此 0)()22( xf N 。 再令 xxFxxFxg co s)(s in)()( ，则 xxfpxxFxFxg N s in)(s in)()()( 22 。 且 )0()1(1)0()1( ggFF 。利用 Lagrange 中值定理得，存在 )1,0( ，使得 s in)()(1)0()1( fpgFF N 。 由 f 的定义可知 !1)(0 Nf ，于是 !1s in)(0 Nf ，因此 1!s in)()0()1(0 NpfpFF NN 。 但已经知道 Z)0(F ， Z)1(F ，因此 Z )0()1( FF ，与上式矛盾。这就证明了 是无理数。
