1、黎曼几何和广义相对论1. 既古老又现代的几何学几何是一门古老的学科。恐怕没有哪一门学科，像欧几里德几何学那样，在公元前就已经被创立成形，历经 2000 多年，至今还活跃在许多课堂上和数学竞赛试题中。尽管目前中国的中学教育已经不把平面几何当作必修课，一些学校删减了许多内容或者干脆取消了该门课程，但在上世纪的 60-80 年代，中国学生平面几何的水平肯定是算世界上比较高的。笔者还清楚地记得，解决平面几何难题，是本人中学时代的最爱。我们高中的数学老师兼班主任，是一个刚从师范毕业的年轻人，对数学教学充满热情。印象颇深的是他在黑板上画圆的绝活，他手握粉笔一挥一就，一笔下来，立刻在黑板上出现了一个规整的圆
2、圈，用目测法很难看出这不是圆规画出来的。在他的影响下，我们班一半人都变成了数学迷，几何迷，大家在几何世界中遨游，从中体会到数学的奥妙，也感受到无限的乐趣。那两年，在教室的黑板上、课桌上，室外的石头边、树墩上，操场的篮球架上，随处可见同学们为思考几何题而画出来的三角形、直线、和圆圈。也许总体而言，中国式的教育方法忽略了发展学生改革创新的能力，但我深信，那个时代我们解决思考的无数道数学几何难题，对训练空间想象能力、逻辑推理能力，起了非常重要的作用。纵观科学史，牛顿、爱因斯坦都是伟人，欧拉、高斯伟大的数学家也可以列出不少，但恐怕很难找出像欧几里德这样的科学家，从 2000 多年前一直到现代，人们还经
3、常提到以他命名的”欧几里德空间”、”欧几里德几何”等等名词，真可谓名垂千古而不朽了。阿基米德可能也能算一个，牛顿时代距离现在不过 400 来年，欧几里德和阿基米德却都是公元前古希腊时代的人物。欧几里德的巨著几何原本 【1】 （在 1607 年，有徐光启的中译本 【2】 ），不仅仅被人誉为有史以来最成功的教科书，而且在几何学发展的历史中具有重要意义。其中所阐述的欧式几何是建立在五个公理之上的一套自洽而完整的逻辑理论，简单而容易理解。这点令人惊叹，它标志着在 2000 多年前，几何学就已经成为了一个有严密理论系统和科学方法的学科！ 继欧几里德之后，16 世纪法国哲学家、数学家笛卡儿（1596165
4、0 年），将坐标的概念引入几何，建立了解析几何。就平面几何而言，引入坐标的概念就是使用 x、y 来表示点、线、园等等图形在平面上的相对位置，因而便可以方便地应用解析的方法来处理几何的问题。如此一来，几何问题便成为代数的问题。这种处理方法使几何问题变得简单容易多了。说起来可笑，这种简单容易的方法反而使原来痴迷于求解平面几何难题的中学生们在刚学了解析几何之后，颇有一种失落感。因为解析几何使几何问题有了规范的解法，好像几何不再具有原来的魅力，原来那样有趣的几何学，被“解析”之后，突然间变得黯然失色、索然无味。当然，谁也无法否认解析几何的诞生象征着几何发展的一个重要里程碑。解析几何不但能处理欧氏几何中
5、的平面问题，还能解决三维空间的问题，以至于推广到更高维空间的几何问题。比如就说在二维和三维空间中吧，解析几何可研究的图形范围大大扩大。对平面曲线来说，欧氏几何中一般只能处理直线和圆。而现在有了坐标及函数的概念之后，直线可以用一次函数表示；圆可以用二次函数表示，二次函数不仅能够表示圆，还能表示椭圆、抛物线、双曲线等其它情形。除此之外，解析几何中还可以用一个任意的方程式f(x,y)=0，来表示所有的平面曲线，这些都使欧氏几何学望尘莫及。如果论及三维空间的话，在解析化之后，还能用三维坐标（x,y,z）和它们的代数方程式，表示各种各样的空间曲线和奇形怪状曲面。进一步谈到更高维的空间，欧几里德几何就更无
6、用武之地了。再到后来，数学的各个方面都有了巨大发展，特别是如我们在第一篇中所叙述的，牛顿和莱布尼茨发明了微积分，这是科学上的一件大事，使得那个时代的整个数学和物理都改变了面貌。那么，它对几何学的发展又有何种影响呢？数学家们自然地将微积分这个强有力的工具用来研究几何学。实际上，微积分和几何的联系还更紧密一些，微积分的诞生也是得益于几何研究的，两者相互影响和发展。因此，微积分诞生之后不久，便有了“微分几何”这门新学科的萌芽。法国数学家亚历克西斯克莱洛（Alexis Clairaut ，1713 - 1763)）是微分几何的先行者之一 【3】 。克莱洛是个名副其实的神童，他是母亲生下的 20 个子女
7、中唯一一个长大成人的。在身为数学教授的父亲的严格管教和高标准要求下，克莱洛 9 岁开始读几何原本，13 岁时就在法国科学院宣读他的数学论文。之后几年，克莱洛迷上了空间曲线，他用曲线在两个垂直平面上的投影来研究空间曲线，第一次研究了空间曲线的曲率和挠率（当时被他称之为：双重曲率）。1729 年，16 岁的克莱洛将这个结果提交给法国科学院并以此申请法国科学院院士的资格，但当时未得到国王的立即认可。不过，只在两年之后，克莱洛发表了关于双重曲率曲线的研究一文，文中他公布了对空间曲线的研究成果，除了提出双重曲率之外，还认识到在一个垂直于曲线的切线的平面上可以有无数多条法线，同时给出了空间曲线的弧长公式，
8、以及曲面的几个基本概念：长度、切线和双重曲率。这一年，18 岁的克莱洛成为法国科学院有史以来最年轻的院士。曲率和挠率是什么？我们先从平面曲线来认识曲率。图 2-1-1：克莱洛及双重曲率我们首先需要引进曲线的切线，或称之为“切矢量”的概念，切矢量即为当曲线上两点无限接近时它们的连线的极限位置所决定的那个矢量。图 2-1-1b 中所标示的所有箭头，便是曲线的切矢量在曲线上各个点的直观图像。然后，再从图中切矢量沿着曲线的变化规律，又可以得到曲率的直观概念：曲率表征曲线的弯曲程度。比如说，图 2-1-1b 中最上面一条是直线，直线不会拐弯，其弯曲程度为 0，即曲率等于 0。这个 0 曲率与切矢量的变化
9、是有关系的。看看直线上的箭头就容易明白了：上面所有箭头方向都是同样的。也就是说，曲率就是切矢量方向的变化率，或切矢量的旋转速率。直线上的切矢量方向不变，不旋转，对应于曲率为 0。再看看图 2-1-1b 中下面两条曲线，当弧长增加时，切矢量不断旋转，曲线也随之而弯曲，切矢量旋转得越快，曲线的弯曲程度也越大。所以，曲率的几何意义就是曲线的切矢量对于弧长的旋转速度。刚才在描述切矢量时，我们说它是“连线的极限位置所决定的那个矢量”，这儿我们很轻松地用上了“极限”的概念，诸位也毫不费力地就理解了它，因为大家学过了微积分。但是，在克莱洛的年代，曲率的计算可不是那么轻松容易的，这个十几岁的神童，天才地把微分
10、的思想用于研究曲线，首次得到了这个结果。不仅如此，刚才我们讨论的只是平面曲线，克莱洛将微积分思想用于空间曲线。对一条平面曲线来说，如果每一点的曲率都确定了，这条曲线的形状便确定了。比如说，很容易直观地看出，一个圆上每个点的曲率都是一样的，等于它的半径的倒数。圆的半径越小，倒数则大，因而曲率便也越大；圆的半径越大，曲率则越小。因此，圆是等曲率的曲线，那么，现在我们考虑图 2-1-2a 中所示的平面螺旋线。因为平面螺旋线从内看到外，近似于一个一个从小到大的圆，所以，它的曲率是中心大边沿小。我们可以将这个平面螺旋线想象成一个被压到一个平面上的的锥形弹簧，如果压力撤销之后，锥形弹簧恢复它的三维形状如图
11、2-1-2b 所示，这便得到了一条三维曲线。图 2-1-2：空间曲线的挠率首先让我们研究一下将平面螺旋线放在三维空间中的情形。如图 2-1-2c 所示，这时可以在曲线的每一个点定义一个由 3 个矢量组成的三维标架。令曲线的切线方向为 T，在曲线所在的平面上有一个与 T 垂直的方向 N。如果对于圆周来说，N 的方向沿着半径指向圆心。N 被称之为曲线在该点的主法线。为什么在法线的前面要加上一个“主”字呢，因为与切线 T 垂直的矢量不止一个，它们有无穷多个，都可以称为曲线在该点的法线，这些法线构成一个平面，叫做通过该点的法平面。刚才说过，这个事实是首先被小天才克莱洛认识到的。这所有的法线中，有一个是
12、比较特别的，对平面曲线来说就是在此平面上的那一条法线，被称为主法线。有了切线 T 和主法线 N，使用右手定则可以定义出三维空间中的另一个矢量 B，B 也是法线之一，称之为次法线。从图 c 很容易看出，螺旋线上每个点的切矢量 T 和主法线 N 的方向都逐点变化，唯有次法线 B 的方向不变。对一般的平面曲线也是如此，次法线的方向永远是垂直于曲线所在平面的，因此，一条平面曲线上每个点的次法线都指向同一个方向，即指向与该平面垂直的方向。对一般的空间曲线，情况有所不同。想象一下让平面螺旋线中的每一圈逐渐从原来所在的平面慢慢被拉开，这时候，每一点次法线的方向便会从原来的垂直线逐渐发生偏离。也可以说，次法线
13、的方向代表了与曲线“密切相贴”的那个平面，在一般三维曲线的情形下，这个密切相贴的平面逐点不一样，被称为曲线在这个点的“密切平面”。如图 2-1-2d 所示，对一般的三维曲线而言，在曲线上不同的点，三个标架 T、N、B 的方向都有所不同了。每一点的次法线 B 的方向也会变化，不过它仍然与该点的密切平面垂直。 克莱洛注意到空间曲线与平面曲线的不同，认为需要用另外一个曲率，后人称之为“挠率”的几何量来表征这种差别。换言之，挠率可以表示曲线偏离平面曲线的程度，被定义为次法线 B 随弧长变化的速率。2. 牛顿引力当年，18 岁的克莱洛因为对空间曲线曲率和挠率的研究而被选入了法国科学院，在那儿，他与皮埃尔
14、莫佩尔蒂成为了好朋友。莫佩尔蒂比克莱洛大 15 岁，但在当时也算是一名相当年轻的科学院院士。莫佩尔蒂后来因为研究最小作用量原理而知名，我们曾经在第一篇中提到过他在这方面的贡献。那个时代，欧洲的数学界和物理界，小天才颇多，年轻学子意气风发、英雄辈出。比克莱洛大五岁的欧拉以及比克莱洛小五岁的达朗贝尔，都是在 12、3 岁的小小年纪就进了大学。之后，这三个人在研究牛顿引力定律的过程中还演绎了一些值得回味的故事。 引力是一种颇为神秘的作用力，它存在于任何具有质量的两个物体之间。人类应该很早就认识到地球对他们自身以及他们周围一切物体的吸引作用，但是，能够发现“任何”两个物体之间，都具有万有引力，就不是那
15、么容易了。其原因是因为两个普通物体之间的引力是非常地微弱，使得我们根本不能感知它们的存在。比较起来，电磁力就要大多了，比如我们司空见惯的摩擦生电的现象：一个绝缘玻璃棒被稍微摩擦几下，就能够吸引一些轻小的物品；还有磁铁对铁质物质的吸引和排斥作用，都是很容易观察到的现象。然而，除了巨大质量的星体产生的引力能够被观测到之外，一般物体的引力是很难被探测到的。此外，人类对引力的本质仍然知之甚少，电磁场有电磁波来传递信息，常见的光也是一种电磁波，人类可以产生、接受、控制光波和电磁波，它们已经算是某种抓得住、看得见、用得上的东西。可是引力呢，至今仍未直接探测到引力波，我们对引力的了解还差得太远。牛顿发现的万
16、有引力定律是理解引力的第一个里程碑。里程碑可不是那么容易就被建在某人的名字前面的，其中伴随着许多优先权之争，特别是在科学草创、规范不健全的时代。牛顿能够和常人一样地感觉苹果打到头上，却也和常人一样地无法探测一般物体之间的引力。但他凭着他超强的思维能力以及基于前人成果的基础上，提出了万有引力定律。定律说的是任意两个物体之间都存在相互吸引力，力的大小与它们的质量乘积成正比，与它们距离的平方成反比。而其间的比例系数被称之为引力常数 G。这个常数应该是个很小的数值，但到底等于多大，当时的牛顿自己也搞不清楚，一直到牛顿死后 70 年左右，才被英国物理学家亨利卡文迪什（17311810）用一个很巧妙的扭秤
17、方法测量出来。现在公认的万有引力常数大约为 G=6.67x1011 Nm 2/kg2。从这个数值可以估计出两个 50 公斤成人之间距离 1 米时的万有引力大小只有十万分之一克！这就是为什么我们感觉不到互相之间具有万有引力的原因。当时牛顿还研究了地球的形状，并从理论上推测地球不是一个很圆的球形，而是一个赤道处略为隆起，两极略为扁平的椭球体。由于地球的自转，地球上的所有物质都以地轴为中心做圆周运动，因而都产生惯性离心力。如图 2-2-1a 所示，离心力可分解为两个分力，一是垂直于地球表面的力，一是水平分力，垂直分力不会使物质沿地表移动，而水平分力不一样。地球上所有质点，无论是位于北半球还是南半球，
18、所受的水平分力都指向赤道那一边。因此地球上的物质便会有一种向赤道挤压的趋势，使地球变成一个扁球体之后而平衡。对于这个结论，当时的学界有两派意见。莫佩尔蒂支持牛顿扁球体的结论；卡西尼等则根据其它一些理论，认为地球是个长椭球。为了解决对此问题的争论，莫佩尔蒂带领克莱洛等人以法国科学院测量队的名义进行了 1 年多的远征，对地球进行弧度测量，远征的测量结果证实地球确实为一扁形椭球体，赤道半径要比极半径长出 20 多公里。图 2-2-1：地球自转对地球形状的影响克莱洛从 1745 年开始研究太阳、地球、月亮的三体问题。将牛顿定律用于解决二体问题不难，但三体问题就变得异常地复杂，之后经过庞加莱的研究还知道
19、这个问题实际上与复杂的混沌现象有关。克莱洛当时特别计算了月球的轨道，远地点和近地点等。有趣的是，他的计算导致的第一个结论是认为牛顿重力理论的平方反比定律是错误的，而且还得到了不少同行的支持，其中包括大数学家欧拉。欧拉当时将近 40，右眼失明，却已经成为数学界的大师级人物。同时，比克莱洛小几岁、同为法国人的达朗贝尔也向法国科学院提交了一份文件，宣布与克莱洛的结果一致。于是，克莱洛信心倍增，振振有词地建议在万有引力的平方反比定律后面，再加上与半径4 次方成反比的一项作为修正。然而，到了 1748 年的春天，克莱洛意识到，月球远地点的观察数据与理论计算之间的差异是来自于自己计算时所作的某些不太恰当的
20、近似 【1】 。于是，克莱洛在 1749 年宣布，他现在的理论计算结果是与平方反比定律相符合的。然而，克莱洛没有对此给出详细的解释，反而采取缄口不言的策略，默默笑观欧拉和达朗贝尔两个人为此问题而纠结却又不知如何重复克莱洛的计算。欧拉最后想出一招，利用他在圣彼得堡学院的位置和威望，设立了一个征奖项目，要求在 1752 年之前精确计算出月球的远地点。克莱洛果然上钩，他提交的答案使欧拉完全理解了克莱洛的方法。尽管欧拉为自己没有解决这个问题略感沮丧，但他高度赞赏了克莱洛的工作。两个年轻之辈就不一样了。原本还算友好的克莱洛和达朗贝尔从此结下梁子，后来关系逐渐恶化，继而互相攻击，情势愈演愈烈。两个人本来都
21、是数学家，但达朗贝尔更为重视理论方面，克莱洛便以此攻击达朗贝尔等理论家忽视实验，采用不靠谱的假设和分析方法来避免实验和繁琐的计算。反之，达朗贝尔则嘲笑克莱洛对三体问题的结果都是基于别人的观察资料而非像他那样，是基于自己的理论而得到的。我们如今很难用是非的标准来判定两人的争论。历史地看，重理论的达朗贝尔后来的名声更大一些，但在当年，克莱洛却是份外的风光。因为他继续使用自己计算三体问题的技巧，精确地预测了哈雷彗星的轨道。他在 1758 年 11 月 14 号宣布结果，预测哈雷彗星将于 1759 年 4 月 15 日返回地球，后来，哈雷彗星于 1759 年 3 月 13 日返回了地球，与预测日期只相
22、差一个月，这是由于当时还未被发现的天王星和海王星对哈雷彗星的摄动影响没有被考虑进去的原因，使克莱洛的预言产生了小小的误差。这个预言再次证实了牛顿引力理论的正确，克莱洛也因此而获得了公众的极大好评。克莱洛后来在社会中声名大振，却反而阻碍了他的科学研究工作，他日夜奔波于社交场合，四处赴宴熬夜，身边常有女人陪伴。他因此而失去了休息和健康，在 52 岁时英年早逝。如上所述，克莱洛、欧拉等当初都怀疑过万有引力遵循的平方反比律，其实现在看起来，这平方反比律是大有来头的。静电力和引力相仿，也遵循平方反比律，还有其它一些现象，诸如光线、辐射、声音的传播等，也由平方反比规律决定。为什么刚好是平方反比、是 2 而
23、非其它呢？大自然似乎总是以一种高明而又简略的方式来设置自然规律，在这儿它又是如何呈现它的高明之处的？时间的积累以及科学家们的努力，部分回答了这个问题。人们逐渐认识到，这个平方反比率不是随便任意选定的，它和我们生活在其中的空间维数为 3 有关。图 2-2-2：点信号源的传播服从平方反比律在各向同性的 3 维空间中的任何一种点信号源，其传播都将服从平方反比定律。这是由空间的几何性质决定的。设想在我们生活的 3维欧几里德空间中，有某种球对称的（或者是点）辐射源。如图 2-2-2 所示，其辐射可以用从点 S 发出的射线表示。一个点源在一定的时间间隔内所发射出的能量 S 是一定的。这份能量 S 向各个方
24、向传播，不同时间到达不同大小的球面。当距离 r 呈线性增加时，球面面积r 却是以平方规律增长。因此，同样一份能量，所需要分配到的面积越来越大。比如说，假设距离为 r 时，场强I=S/(r，将这个数值用 1 来表示的话，当距离变成 2r 的时候，同样的能量需要覆盖原来 4 倍的面积，因而使强度变成了 1/4，下降到原来的四分之一。这个结论也就是场强的平方反比定律。从现代的矢量分析及场论的观点，可以对平方反比律解释得更深入一些。简略地说，服从平方反比律的场有一些“优美”的特点：是“无旋”的、是保守力场、是有心力场、无源处的场的散度为 0、场强可以表示为某个标量的梯度、做功与路径无关等等。从场论的观
25、点，在 n 维欧氏空间中，场强的变化与 r(n-1)成反比，当 n=3，便化简到了平方反比定律。追溯万有引力的平方反比定律的发现历史，便扯出了牛顿与胡克间的著名公案。其实胡克对万有引力的发现及物理学的其它方面都做出了不朽的贡献，但现在的一般人除了有可能还记得中学物理中曾经学过一个“胡克定律”之外，恐怕就说不清楚这胡克是谁了。这都无可奈何，成者为王败者寇，学术界也基本如此。对此公案大家可能都有所闻，本人不再赘述，可阅读参考文献 【2】 。3. 曲面的微分几何用微积分的方法对曲线及曲面进行研究，除了欧拉、克莱洛等人的贡献之外，蒙日（GaspardMonge，1746-1818）的工作举足轻重。蒙日
26、是画法几何学的创始人，他也对曲线和曲面在三维空间中的相关性质作了详细研究，并于 1805 年出版了第一本系统的微分几何教材：分析法在几何中的应用。这部教材被数学界用达 40 年之久，蒙日自己培养了一批优秀的数学人才，其中包括刘维尔、傅立叶、柯西等人，形成所谓“蒙日微分几何学派”。他们的特点是将微分几何与微分方程的研究紧密结合起来，因而，在研究曲线和曲面微分几何的同时，也大大促进了微分方程，特别是偏微分方程理论的进展。上一节中叙述了空间曲线的曲率和挠率。曲率和挠率在空间的变化规律完全决定了这条空间曲线。三维空间的曲面又有哪些我们感兴趣的基本性质呢？我们生活的世界就是一个三维空间，人们对三维以下空
27、间中的现象应该是很熟悉的，即使没有受过很多数学专门训练的人，也不难理解三维空间中曲线和曲面的概念。如何得到一条曲线？很简单，用笔尖在纸上一画就有了，那是平面曲线。得到空间曲线也不难，用笔尖在空间中“一画”，就能得到一条任意的空间曲线。比如说，想象一个小蚂蚁在泥土中钻来钻去，它走的路线就是一条空间曲线。换言之，空间曲线能够用一个点在空间移动而得到。那么，我们再想象一下，如果不是一个点，而是将一条曲线在空间移动的话，就应该得到一个嵌在三维空间的曲面了。如果不考虑任意曲线的移动，而只是将我们的想象限制在比较简单的情况：我们用一把“尺”（直线的一段），将它在空间中移动，这样也能得到空间中的一个曲面。数
28、学家们将这种由于“尺子”的移动，或者说，由于“一条直线”的平滑移动，而产生的曲面，叫做“直纹面”。法国数学家蒙日对直纹面进行了许多研究。如图 2-3-1a 所示，想象一根尺子的两端 A 和 B 分别沿着曲线 C1和 C2移动，形成一个直纹面。图 2-3-1：各种直纹面一把尺子在空间移动的方式可以多种多样，这样就形成了各种不同的直纹面，见图 2-3-1。最简单的情形就是这把尺子在空中平行地移动，即尺子两端按照同样的规律移动，比如说，当尺子移动的轨迹也是一条直线的话，那就将形成一个平面。稍微复杂一点，如果尺子移动的轨迹是一条任意曲线，就将形成一个如图 2-3-1b 所示的柱面。又如图（c）显示的情
29、形：尺子下端移动，但上端固定不动，这时则会形成一个锥面。在图（d）中，尺子的 A 端沿着曲线 C1，并且尺子的方向总是保持与 C1 相切，如此而成的曲面叫做切线面。此外，还有很多别的形状的直纹面，如图 2-3-1 中所画出的双曲面、螺旋面、马鞍面等等。柱面、锥面、和切线面这三种直纹面具有一个共同的特性：它们可以被展开成平面。将一个圆柱形的纸筒沿轴向剪开，或者将一个锥形剪开到顶点，都可以将剪开后得到的图形平摊在桌面上而没有任何皱褶，这样的曲面叫做“可展曲面”。切线面也是一种可展曲面，但是，双曲面、螺旋面、马鞍面等都不是可展曲面。数学上可以证明，可展曲面只有刚才提到的三种直纹面。也就是说，可展曲面
30、都是直纹面，但直纹面却不一定可展，比如图 2-3-1 的双曲面、螺旋面、马鞍面等就是不可展曲面的例子。球面不是直纹面，球面也是不可展的。一顶做成近似半个球面的帽子，无论如何你怎么剪裁它，都无法将它摊成一个平面，这是我们日常生活中熟知的常识。一个曲面到底是可展还是不可展？这点对物理学家来说很重要，比一个曲面是否直纹面要重要得多。那么，我们需要知道的是：是什么几何量决定了曲面的可展性？前面在讨论空间曲线时提到过，曲率和挠率这两个几何量，决定了曲线在三维空间中某一点的形态。曲线与曲面的情况有所不同，所有的曲线都是可展的。一根绳子，无论弯曲成什么形状，都可以把它展开伸长成一条直线。然而，我们可以将曲线
31、研究中定义的曲率概念使用到曲面的微分几何研究中。通过曲面上的一个给定点 G，可以画出无限多条曲面上的曲线，因而可以作无限多条切线。可以证明，这些切线都在同一个平面上，这个平面被称为曲面在这点的切平面，通过该点与切平面垂直的直线叫做曲面在这点的法线。现在，我们通过法线可以作出无限多个平面，这每一个平面都与曲面相交于一条平面曲线 C，并且，可以定义平面曲线 C 在 G 点的曲率，如图 2-3-2a 所示，曲线 C1、C 2在 G 点的曲率分别为 Q1、Q 2。图 2-3-2：曲面的两个主曲率在所有的这些曲率（Q 1、Q 2）中，找出最大值和最小值，把它们叫做曲面在点 G 的主曲率。对应于两个主曲率
32、的切线方向（或两个法平面方向）总是互相垂直的。这是大数学家欧拉在 1760 年得到的一个结论，称之为曲面的两个主方向。从图 2-3-2b 和图 2-3-2c 可以看到，两个主曲率可正可负。当曲线转向与平面给定法向量相同方向时，曲率取正值，否则取负值。让我们再重复并加深一点对可展性的理解。首先，对曲线而言，任意一条空间曲线，都是可展的，都可以伸展为一条直线。不同的空间曲线只是由它们“嵌入 3 维空间中时”的弯曲和扭曲程度而区分，如果只从曲线上看，所有的曲线都是一样的，都与直线具有同样的几何性质。换言之，如果有一种极小的蚂蚁生活在一条空间曲线上，它在曲线上不能知道周围空间的任何信息，那么，它感觉不
33、出它的曲线世界与其它的曲线（或直线）有任何的不同。曲面则有可展（成平面）与不可展之分。一个球面是不可展的，因为你不可能将它铺成一个平面，而柱面可展，它具有与平面完全相同的内在几何性质。如果有一种生活在柱面上的生物的话，它会觉得与生活在平面上是一模一样的，但球面生物就能感觉到几何上的差异。比如说，柱面生物在它的柱面世界中画一个三角形，将三角形的三个角加起来，会等于 180 度，这个结论与平面生物得到的一致。而球面生物在它的世界中画一个三角形，它将会发现三角形的三个角加起来，要大于 180 度。这种与曲面嵌入 3 维空间的弯曲方式无关，只研究所谓曲面本身上的几何，叫做内蕴几何。高斯是研究内蕴几何之
34、第一人。他在 1827 年发表了关于曲面的一般研究，研究曲面情形之下能够发展的几何性质。他最初的目的是为了应用，因为当时的德国 Hannover 政府要他主持一个测量工作，为了给这个测量工作一个理论甚础，于是高斯写下了这篇当时在微分几何上最重要的论文，抓住了微分几何中最重要的概念，建立了曲面的内在几何，奠定了近代形式曲面论的基础，使微分几何自此成了一门独立的学科。什么样的几何量才能够代表曲面的内蕴几何性质呢？4. 内蕴几何高斯在 1827 年的著作关于曲面的一般研究中，发展了内蕴几何 【1】 。所谓“内蕴”，是相对于“外嵌”而言。指的是曲面（或曲线）不依赖于它在三维空间中嵌入方式的某些性质。“
35、内蕴”的概念也可以被解释得更为物理一些：一个观察者在自己生活的物理空间中所能够观察和测量到的几何性质就是这个空间的内蕴性质。也有人比喻说：外嵌是机械设计工程师看待曲面的方法，将曲面看成为他的三维机械零件的表面；而内蕴几何则是地球上的测地员测量地球表面测量到的几何性质。比如说，内蕴几何量的最简单例子就是弧长。一条直线可以在 3 维空间中看起来转弯抹角地任意弯曲，即随意改变它的曲率和挠率，但生活在直线上的“点状蚂蚁”观察不到这些“弯来绕去”，只能测量到它爬过的弧长。因此，空间曲线的曲率和挠率，是三维空间的生物观察这条曲线时得到的重要性质，但却并不是内蕴几何量。对曲面来说也是如此，弧长并不因为平面卷
36、成了柱面或锥面而改变。弧长与曲线嵌入空间中的弯曲情况无关，因而是个内蕴几何量。曲线没有内蕴几何，因为所有空间曲线的内在性质都与直线相同。因此，内蕴几何主要用于研究曲面的性质。既然弧长是内蕴的，弧长所导出的其它几何量，诸如面积、夹角等便也是内蕴的。在一个坐标系中如何计算弧长？有了微积分之后这点并不困难，首先要有计算一小段弧长的公式，这个公式可从最古老的欧氏几何中的勾股定理得到，然后进行积分便能求得弧长。弧长是一个任何曲面都有的、最基本最简单的内蕴几何量，由此可定义曲面的等距变换，即保持弧长不变的变换。曲面的内蕴几何量都是等距变换下的不变量。或者说，根据计算弧长的公式（专业术语称之为曲面第一基本公
37、式），可以建立起曲面的内蕴几何。刚才说过，空间曲线的曲率和挠率不是内蕴的。对曲面来说，欧拉定义过曲面上的两个主曲率，将这两个主曲率相加除 2，可定义“平均曲率”。然而人们发现，主曲率和平均曲率都不是内蕴几何量。直观地看，如前讨论过的柱面和锥面等可展曲面，应该与平面有相同的内蕴几何，而球面一类的不可展曲面，代表了另外种类的几何。虽然主曲率和平均曲率不是内蕴的，但高斯从几何直观可以感觉到，应该存在某种“内蕴曲率”，于是，他开始探讨什么才是曲面的“内蕴曲率”？图 2-3-3：高斯映射和高斯曲率高斯通过研究曲面在一个给定点及其附近邻域的法线方向，定义了高斯映射，继而再定义了曲面的内蕴曲率，即高斯曲率。
38、如图 2-3-3a 所示，高斯映射将曲面在一个给定点 P 及其附近邻域（总面积为 A）的法线矢量，保持原来的方向将端点平移到原点，这些法线与单位球面相交于一块面积为 B 的图形。高斯认为，面积 B 与面积 A 的比值可以代表曲面在 P 的内蕴弯曲程度。高斯将其定义为高斯曲率。可以举例说明高斯曲率为什么代表了曲面的内在弯曲度。比如说，如果曲面是一个平面，那么，P 点附近所有法线都指向同一个方向，高斯映射将整个平面映射为单位球上的一个点，因此：面积 B 为 0，因而得到平面的高斯曲率为 0。如果曲面是一个柱面，高斯映射是单位球面上的一个圆，圆的面积也是 0，因而柱面的高斯曲率也为 0。图 2-3-
39、3c 所示的是半径为 r 的球面的情形，根据高斯曲率 K的计算公式：K= B/A = 1/r 2，可见 r 越大，高斯曲率越小，这点符合我们对球面内蕴曲率的直观理解。如上所定义的高斯曲率与欧拉所研究过的主曲率有一个简单的关系：高斯曲率就等于两个主曲率的乘积。重温两个主曲率的意义：分别是过曲面上某一点截线曲率（绝对值）的最大值和最小值，对柱面、锥面、及切线面三种可展曲面，最小值为 0，因此两个主曲率相乘而得到的高斯曲率也为 0。高斯发现了高斯曲率是一个曲面的内在性质时，一定是无比兴奋和激动的，情不自禁地将他的结论命名为“绝妙定理”：三维空间中曲面在每一点的曲率不随曲面的等距变换而变化。意思就是说
40、，高斯曲率是一个内蕴几何量。绝妙定理绝妙之处就是在于它提出并在数学上证明了内蕴几何这个几何史上全新的概念，它说明曲面并不仅仅是嵌入三维欧氏空间中的一个子图形，曲面本身就是一个空间，这个空间有它自身内在的几何学，独立于外界 3 维空间而存在。图 2-3-4：内蕴几何是测地员（或“爬虫”）观察到的几何如图 2-3-4b 所示，内蕴几何是生存在各种类型曲面空间中的“爬虫生物”所观察到的几何。图中所示的曲面空间有三种：平面、球面、及双曲面。平面是一个 2 维的欧氏空间，而球面和双曲面则是非欧氏空间，这使我们联想到也是在那个年代发现的非欧几何，即罗巴切夫斯基几何，或双曲几何。尼古拉罗巴切夫斯基（Niko
41、lai Lobachevsky，1792-1856）是俄罗斯数学家，非欧几何的创始人 【2】 。欧几里德几何是一个基于公理（或共设）的逻辑系统，公理犹如建造房屋时水平放在基底的大砖头，有了牢靠平放的基底，其它的砖块便能够一层一层地叠上去，万丈高楼也就平地而起。基底砖块破缺了，或者置放得不水平，楼房就可能会倒塌。在逻辑系统中的数条公理，应该是公认的、显而易见的、确认无法被证明的一些假设。作为欧氏平面几何大厦的基底有五条公理，其中第五条公理是论及平行线的，也称为平行公设，它说的是：“若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。”人们对前面四条公理
42、都没有什么疑问，唯独对这第五条公理没有好感，总觉得它说起来拗口，听起来不是那么显然和直接。数学家们并不怀疑它的正确性，而是觉得它不像一个不证自明的公理。大家的意思就是说，欧氏平面几何的大厦用前面 4 块大砖头可能也就足以支撑了，这第五块砖头，恐怕本来就是放置在另外四块砖头之上的。因而，欧氏几何创立以来，许多几何学家都曾经尝试用其他 4条公理来证明这条公理，但却都没有成功。这种努力一直延续到 19 世纪初，1815 年左右，年轻的数学家罗巴切夫斯基也开始思考这个问题。在试图证明第五公设而屡次失败之后，罗巴切夫斯基采取了另外一种思路：如果这第五公设的确是条独立的公理的话，将它改变一下会产生什么样的
43、结果呢？第五公设也可以有另外一种表达方式：“通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。”罗巴切夫斯基巧妙地将这一条公理的表述改变如下：“过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线不相交”。然后，将这条新的“第五公设”与其它的公设一起，像欧氏几何那样类似地进行逻辑推理，推出新的几何命题来。罗巴切夫斯基发现，如此建立的一套新几何体系，与欧氏几何不同，但却是一个自身相容的，没有任何逻辑矛盾的体系。因此，罗巴切夫斯基宣称：这个体系代表了一种新几何，只不过其中许多命题有点古怪，似乎与常理不合，但它在逻辑上的完整和严密却完全可以与欧氏几何媲美！可以列举几条罗氏几何中的古怪而不合常理的命
44、题：同一直线的垂线和斜线不一定相交；不存在矩形，因为四边形不可能四个角都是直角；不存在相似三角形；过不在同一直线上的三点，不一定能作一个圆；一个三角形的三个内角之和小于 180 度等等。从这种反证法能得到不同几何体系的事实，说明第五公设是一条不能被证明的公理。从此以后，数学家们不再纠结于第五公设的证明。然而，由于罗氏几何得出的许多结论和我们所习惯的欧式空间的直观图像相违背，罗巴切夫斯基生前并不得意，还遭遇不少的攻击和嘲笑。罗巴切夫斯基在 1830 年发表他的非欧几何论文。无独有偶，匈牙利数学家鲍耶亚诺什（JnosBolyai，1802-1860）在 1832 年也独立地得到非欧几何的结论 【3
45、】 。那段时期也正是高斯发展他的内蕴几何观点之时，同是几何研究，这位号称数学王子的天才，不可能不思考非欧几何的问题，他对罗巴切夫斯基等的工作，又是如何看待的呢？匈牙利数学家鲍耶的父亲，正好是高斯的大学同学。当父亲将鲍耶的文章寄给高斯看后，高斯却在回信中提及自己在三十多年前就已经得到了相同的结果。这给予鲍耶很大的打击和疑惑，甚至怀疑高斯企图盗窃他的研究成果。但实际上，从高斯的文章、笔记、书信等等可以证实，高斯的确早就进行了非欧几何的研究，并在罗巴切夫斯基与鲍耶之前，已经得出了相同的结果，不过没有将它们公开发表而已 【4】 。图 2-3-5：非欧几何鼻祖：（从左到右）高斯、罗巴切夫斯基、鲍耶早在
46、1792 年，15 岁的高斯就开始了关于平行公理独立性的证明。他继而研究曲面（球面或双曲面）上的三角几何学，17 岁时就深刻地认识到：“曲面三角形之外角和不等于 360，而是成比例于曲面的面积”，这可以说是高斯- 博内定理的早期版本。1820 年左右，高斯已经得出了非欧几何的很多结论，但不知何种原因，高斯没有发表他的这些关于非欧几何的思想和结果，只是在 1855 年他去世后才出现在出版的信件和笔记中。有人认为是因为高斯对自己的工作精益求精、宁缺勿滥的严谨态度；有人认为是高斯害怕教会等保守势力的压力；有人认为高斯已经巧妙地将这些思想包含在他 1827 年的著作中 【5】 。意大利数学家贝尔特拉米
47、在 1868 年证明，非欧几何可以在欧几里得空间的曲面上实现。比如罗巴切夫斯基和鲍耶的几何就是双曲面（也叫马鞍面）上的几何，而将第五公设改变成“通过特定的点没有平行线”的话，则能得到球面几何。因此，的确可以说，高斯已经将他的非欧几何思想蕴涵在他的内蕴几何中。5. 相对性原理牛顿和爱因斯坦，这是物理学史上的两个丰碑。物理学终究不同于数学，在数学中，欧几里德可以根据五条公理建立欧几里德几何。数学家们将其中的平行共设作些许改变，又建立了双曲几何或球面几何。物理理论的建立却需要以实验观察为基础。实验观察都是在一定的坐标系，或者说一定的“参考系”下面进行的。参考系变化时，观察到的物理规律会变化吗？哪些会
48、变化？哪些不会变化？牛顿和爱因斯坦都是在这些问题上思考和做文章，才发展出来各种物理理论。回顾物理学史，科学家为了科学而战斗、甚至献身的例子有不少。哥白尼在垂危之际才敢于发表和承认他的日心说理论；伽利略晚年时也因为坚持科学而受到罗马天主教会的迫害，被教会关押过；最为令人惊心动魄的莫过于布鲁诺为了反对地心说而被教会活活烧死的事实。这几个物理学家所坚持和捍卫的是什么？从物理的角度看，实质上也都与物理观察所依赖的参考系有关。人类有了文化，会思考之后，便认定自己所在的世界-地球，应该是宇宙的中心。这似乎是顺理成章、理所当然的，这种以人为本的原始观念，也与当时初略的天文观测结果相符合。太阳、星星和月亮等，
49、每天周而复始的东升西落，很容易使人得出“一切都围着地球这个宇宙中心而旋转”的结论。当然，人们对天象的这点直观认识还建立不了科学，地心说是在公元 2 世纪时被希腊著名天文学家托勒密（ClaudiusPtolemacus）根据观察资料而建立和完善的数学物理模型。换言之，从物理的角度看，地心说认为地球是一个坚实、稳定、绝对静止的参考系。中国古时候对宇宙也有类似的认知，以中国东汉天文学家张衡为代表的“浑天说”所描述的：“浑天如鸡子。天体圆如弹丸地如鸡子中黄孤居于天内”便是一个地球居于世界中心的“鸡蛋宇宙”图景。追溯历史，几乎在每一项科学理论的发展过程中，中国人都能洋洋得意地找出古人的某种说法，这样说过或那样说过，清晰表达或是模模糊糊，总之，往往是在远远早于西方发现的历史时间，中国就有某某古人预测或发现了某个科学理论（之萌芽），正如有些人说的：易经中蕴含了二进制，乌龟背上驮着现代数学；更有甚者要将佛教与现代物理扯上关系，还有人断言：算命卜卦的法则里面，也包涵了很大的科学道理。笔者并不想与持这些观点的人辩论，但实在不希望看到“科学”这个名字被随意沾污。事实上，中国古代也的确有过几位杰出的科学家，但令人深思的是，西方古人的原始想法，往往能发展成某种学说，并由后人继续研究而终成正果，进而使科学成为了西方文化
