1、 1黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系 数学系 1302 班第五组07 樊萌12 韩鸿林19 兰星21 李鸿燕45 王堃51 武相伶54 许小亭57 杨莉69 赵志阳2黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系 黎曼积分和勒贝格积分定义的比较1、黎曼积分定义：设 在 上有界,对 做分割,xfbaba,其中令 , ,bxaTn10 ii xfMsupii xfm,n,iiix111iiixms,若有 11iinixMS dxsSbaba则称 在 上黎曼可积 .xfba,2、勒贝格积分定义：,作 ,其中 , , 分别为 在 上的上界0Myymn10, 1iiyMmxfE和下界,令 , 若 存在,则 勒贝格可积
2、. iii xfE1, ,21iniE10l f3、一般的可测函数的积分定义为:设在可测集 E 上可测,若记 ，0,axff,则有 ,若 , 不同时为 ,则0minxfxf xffxdxfE_在 上的积分确定且E.xfxfdxfEEE 4、 简单函数的勒贝格积分定义:设 是可测集 上的非负简单函数,于是有对 的f E划分 , , 在 上的取值为 ,则 ,定义 的勒贝格积分为iEn21xfi iciEnicxf1xf,若 ,则称 在 上勒贝格可积.iiEmcdxf1dfEf35、非负可测函数的勒贝格积分定义:取 上的非负简单函数列 ,对任意的 ,ExfnEx都收敛于 ,则 在 上勒贝格可积其积分
3、为xfnxff.dmxffEEnlim对一般的函数由于 ,则fxf.dxffdf EEE若左端的两个积分值都有限时,称 在 上勒贝格可积.xf勒贝格积分是对黎曼积分的推广,所以黎曼可积的函数一定勒贝格可积,但勒贝格可积的函数不一定黎曼可积.黎曼积分与勒贝格积分存在条件的比较黎曼可积的条件黎曼可积的条件必要条件定义在 上的 黎曼可积的必要条件是 在 上有界.ba,xf xfba,注 任何黎曼可积的函数必有界,但有界函数不一定黎曼可积. 黎曼可积的充分必要条件1、设 是定义在 上的有界函数,则 黎曼可积的充分必要条件为 在xfbaxf xf上的黎曼上积分等于黎曼下积分.即ba,设 在 上有界, 为
4、对 的任一分割,其中令xfbxxTn10 a, , , ,iifM,supiifm,niii111iinixms, 有11iinixS,2.dxsSbaba2、设 是定义在 上的有界函数,则 黎曼可积的充分必要条件为 ,xfaf 04总存在某一分割 ,使得 T.iiiini mMwx13、设 是定义在 上的有界函数,则 黎曼可积的充分必要条件为 ,xfbaxf 0总存在某一分割 ,使得T成立.TsS4、定义在 上的函数 黎曼可积的充分必要条件为 在 上的一切间断ba,xf xfba,点构成一个零测度集.注 这说明黎曼可积的函数时几乎处处连续的.勒贝格可积条件1、设 是定义在可测集 上的有界函数
5、,则 在 上勒贝格可积的充要条件xfExfE为 ,总存在 的某一分割 ,使得0ED. iimw2、设 是定义在可测集 上的有界函数,则 在 上勒贝格可积的充要条件xfExfE为 在 上勒贝格可测.fE3、设 在 上的黎曼反常积分存在 ,则 在 上勒贝格可积的充要条件xfba, xfba,为 在 上的黎曼反常积分存在 ,且有f,.babadxfmxf,4、设 为 上的可测函数列, 在 上的极限函数几乎处处存在,且xfnEfnE,则 在 上勒贝格可积.MdfEn5、设 是是定义在可测集 上的连续函数,则 在 上勒贝格可积的充要条xf xfE件为 在 上勒贝格可测 .f黎曼积分与勒贝格积分的性质比较
6、5黎曼积分的性质1、 （线性性）若 , 是定义在 上黎曼可积函数 ,则xfgba, , 也在 上黎曼可积.xfgfba注 ,但 .dxfdgxf bababa dxgfdxfbaaba2、 （区域可加性）设有界函数 在 , 上都黎曼可积,则 在 上也fcf,黎曼可积,且有 .dxfxfdfbccaba3、 （单调性）若 , 是定义在 上黎曼可积 ,且 ,则xfg, xgf.dxgxfbaba4、 （可积必绝对可积）若 在 上黎曼可积 ,则 在 上也黎曼可积,且f, fba有 .dxfxfbaba注 其逆命题不成立.5、若 在 上黎曼可积 ,则在 的任意内闭子区间 上也黎曼可xfba, b, b
7、a,积.且其积分值不会超过在 上的积分值.,6、若 是 上非负且连续的函数 ,若有 ,则 在 上恒等于零.xfba, 010dxffba,7、若 , 是 上的黎曼可积函数 ,则 , fg, xgfM,ma在 上也黎曼可积.xminba8、若 在 上黎曼可积 , 在 上有定义且有界,则 也在 上黎f,xf1baxf1ba,曼可积.勒贝格积分的性质61、 （有限可加性）设 是有界可测集 上的可积函数, , 等均可测且xfEKnkE1两两互不相交,则有.dxfdxfdnEEEE 212、对于给定的可测函数 , 与 的可积性相同且xff.dxEE3、(单调性 )若 , 在 上勒贝格可积,且 几乎处处成
8、立,则xfggf.dxxfEE4、 是 上的非负可积函数 ,则 在 上是几乎处处有限的 .xfEf5、 是 上的非负可测函数,若 在 上几乎处处等于 0,则 .x0xdfE6、(零测集上的积分) 若 ,则 .0m0dE7、 是 上的勒贝格可积函数 , 在 上几乎处处成立,则 .xfExf E8、设 在 上可测,若存在非负函数 在可测集 上勒贝格可积,f g几乎处处成立,则 在可测集 上勒贝格可积.xgxfE9、 在可测集 上勒贝格可积, 是 的可测子集,则 在 上也勒贝格可积. fEAxfA且其积分值不会超过在 上的积分值.10、设 在 上可测,则 的充要条件是 在 上几乎处处成立.xf 0x
9、dfE 0fE11、设 , 均在 上勒贝格可积 ,则 , 也fg xgfMmaxgf,min在 上勒贝格可积.E12、若 与 在 上几乎处处相等 ,则 也可积,且xf xg.dfEE13、设 在可测集 上勒贝格可积函数,则其不定积分是绝对连续函数xf14、设 为可测集 上勒贝格可积函数,则存在绝对连续的函数 ,使得 导xg7函数在 上几乎处处等于 .Exf黎曼积分与勒贝格积分相关定理的比较与黎曼积分相关的定理若函数列 在区间 上一致收敛,且每一项都连续,则其极限函数 也在 上xfnI xfI连续.（可积性）若函数列 在区间 上一致收敛,且每一项都连续,xfnI.dxfdfbannbalimli
10、（可微性）设 为定义在 上的函数列,若 为 的收敛点,且xfnb,0xfn的每一项在 上都有连续的导数, 在 上一致收敛,则xfnbaxfn.fddxnnlimli有界收敛定理设 是定义在 上的黎曼可积函数.fnba, .Mxfn ,2,1 是定义在 上的黎曼可积函数 .且 .则有baxffnli.dxffbabanlim与勒贝格积分相关的定理（勒维定理）设可测集 上的可测函数列 满足如下条件:Exfn, ,则 的积分序列收敛于 的积分xff210xffnlifn xf.ddEnElim（勒贝格控制收敛定理）设可测集 上的可测函数列 满足如下条件:xfn 的极限存在, .xfn xffnli存在可积函数 使得 那么 可积,有xgNEg, xf8.dxfdxfEnElim设 , 上的可测函数列 满足如下条件:mEfn , 可积.Nxgfn,xg 依测度收敛于 ,那么 可积,有ff.dxdEnElim设 是 上的增函数列,且有 在 上收敛,则xfnbafn1ba.xfdxfdnn11
