1、参赛密码 （由组委会填写）全全第十届华为杯全国研究生数学建模第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛竞赛学 校 南京邮电大学参赛队号 102930151.仲伟奇2.卢诗尧队员姓名3.江爱珍参赛密码 （由组委会填写）第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛题 目 功率放大器非线性特性及预失真建模摘 要：本文根据函数逼近 Weierstrass 定理对功放的非线性特性建立多项式数学模型。对于无记忆功放，直接用 matlab 中 polyfit 函数或矩阵运算求解，用值来评价不同阶数所得的多项式模型，最终将多项式模型的阶数定为NMSE4，此时 ，系数详见 4.1.3；根据线性原
2、则和两个约束条件建47.13dB立预失真的多项式模型，采用查表法求得预失真器的输入和输出，建立目标误差函数 ，用 polyfit 函数或矩阵运算求解，最终根据 值21min|()|NGzGE最小确定多项式阶数为 12, 此时 ，系数详见 4.2.3。-50.87BNMSEd对于有记忆功放，在无记忆的基础上建立模型，增加延迟项来表征记忆效应，通过矩阵运算求解，然后用 值评估确定记忆效应多项式阶数为 4，记忆深度为 3，此时 ，系数详见 4.3.3；根据功放的非线性4.39模型， ，建立预失真器的有记忆效应多项式模型，利用功放的输入输出数据间接得到预失真器的输入输出，再用矩阵运算，用 值来评估确定
3、阶数为 4，S记忆深度为 3，系数详见 4.4.3，此时 。1.058NEdB运用自相关函数和功率谱密度是一对傅里叶变换对的性质，对自相关函数作傅里叶变换求得功率谱密度，分析得出传输信道范围，最终得出输入信号、有无预失真补偿三类信号的 值分别为 ， ，ACPR47.237.6d，得出预失真补偿后的 值要比补偿前要小。8.75dB关键词：数据拟合 查表法 NMSE/EVM 评价 矩阵运算 多项式模型功率放大器非线性特性及预失真建模一 问题重述1.1 问题引入信号的功率放大是电子通信系统的关键功能之一，其实现模块称为功率放大器（PA，Power Amplifier） ，简称功放。功放的输出信号相对
4、于输入信号可能产生非线性变形，这将带来无益的干扰信号，影响信信息的正确传递和接收，此现象称为非线性失真。传统电路设计上，可通过降低输出功率的方式减轻非线性失真效应。功放非线性属于有源电子器件的固有特性，研究其机理并采取措施改善，具有重要意义。目前已提出了各种技术来克服改善功放的非线性失真，其中预失真技术是被研究和应用较多的一项新技术，其最新的研究成果已经被用于实际的产品（如无线通信系统等） ，但在新算法、实现复杂度、计算速度、效果精度等方面仍有相当的研究价值。本题从数学建模的角度进行探索。若记输入信号 ，输出信号为 ， )(tx)(tz为时间变量，则功放非线性在数学上可表示为 ，其中 为非线t
5、 GzG性函数。预失真的基本原理是：在功放前设置一个预失真处理模块，这两个模块的合成总效果使整体输入-输出特性线性化，输出功率得到充分利用。原理框图如图 1-1 所示。图 1-1 预失真技术的原理框图示意1.2 问题研究在上述提供的背景材料以及自行查阅相关文献资料的基础上，请你们的团队研究下列问题。要求写出计算的过程、注明所用的优化方法、解释选择中间参数的理由、并附上所用的程序（C/C+/Java/Matlab 等） 。为保证所用模型的工程可实现性，请考虑选用适当复杂度的模型和算法。以下各题中的数学建模鼓励创新，不局限于背景介绍的模型方法。1. 无记忆功放数据文件 1 给出了某功放无记忆效应的
6、复输入-输出测试数据，其输入-输出幅度图为：图 1-2 功放输入/输出幅度散点图请根据提供的数据，完成以下任务。A建立此功放的非线性特性的数学模型，然后用 NMSE 评价所建模型的准确度。B根据线性化原则以及“输出幅度限制”和“功率最大化”约束，建立预失真模型。写出目标误差函数，计算线性化后最大可能的幅度放大倍数，运用评价指标参数 NMSE/EVM 评价预失真补偿的结果。2. 有记忆功放数据文件 2 给出了某功放的有记忆效应的复输入-输出数据，请完成以下任务。A建立此功放的非线性特性的数学模型，然后用 NMSE 评价所建模型的准确度。B根据线性化原则以及“输出幅度限制”和“功率最大化”约束，以
7、框图的方式建立预失真处理的模型实现示意图（提示：可定义基本实现单元模块和确定其之间关系，组成整体图） ，然后计算预失真模型相关参数。运用评价指标参数 NMSE/EVM 评价预失真补偿的计算结果。3 拓展研究相邻信道功率比（Adjacent Channel Power Ratio，ACPR）是表示信道的带外失真的参数，衡量由于非线性效应所产生的新频率分量对邻道信号的影响程度。其定义为3210()logffsdfACPR（1-1）其中 为信号的功率谱密度函数， 为传输信道， 为相邻信道。)(fs ,2,32f功率谱密度的计算可通过对信号的自相关函数进行 Fourier 变换计算，也可以通过直接法等
8、计算（假定本题涉及的信号为时间平稳信号） 。如果题 2 所附的数据采样频率 MHz，传输信道按照 20MHz 来算，17.30sF邻信道也是 20MHz。根据给出的数据，请计算功放预失真补偿前后的功率谱密度，并用图形的方式表示三类信号的功率谱密度（输入信号、无预失真补偿的功率放大器输出信号、采用预失真补偿的功率放大器输出信号） ，最后用 ACPR对结果进行分析评价。二 模型假设1. 假设题目所给的数据真实可靠；2. 假设功放在无输入时仍有很小的输出值；3. 假设功放的输入数据不会导致饱和溢出；三 符号说明：输入信号；()xt：离散采样后输入信号；n：功率放大器的输出信号；()zt：离散采样后功
9、率放大器的输出信号；：预失真器的输出信号；()ft：离散采样后预失真器的输出信号；n：功放非线性模型的各次幂系数组成的矩阵；H：预失真器非线性模型的各次幂系数组成的矩阵；A：功率放大器的理想“幅度放大系数” ， ；g 1g：功放的输入-输出传输特性；G：预失真器的特性；F：有记忆功放的记忆深度；M：离散采样值的个数；N：归一化均方误差值；SE四 模型的建立和求解4.1 无记忆功放模型的建立和求解4.1.1 问题分析该问题是建立无记忆功放的非线性数学模型，从而根据该模型来建立预失真模型，使输出与输入呈线性。 该问题的某一时刻的输出仅与此时刻的输入有关，因此无延迟项，根据题中的背景介绍，可以根据函
10、数逼近的 Weierstrass 定理，建立简单的多项式来表示非线性函数模型，最终应用 matlab 的数据拟合即可得出无记忆功放的非线性特性的数学模型非线性失真主要有幅度失真和相位失真，但是根据问题一所给的数据分析得到输入与输出不存在相位上的失真，每组数据只是幅度放大的倍数是不一致的。因此在该问题中数据拟合时无需针对相位信息进行数据拟合，只需要针对幅度来拟合出适合的非线性模型，即多项式模型。最后通过 值的优劣来NMSE选择适合的非线性的阶数。4.1.2 模型建立根据题目所给的背景资料，无记忆功放的非线性模型可以采用简单的多项式来表示。在该题中，无记忆功放在某一时刻的输出仅与此时刻的输入有关，
11、因此，可以将此功放的非线性特性模型表示为（4-1 ）0()()Kkzthxt0,T其中： 为功放的输出值；()zt为功放的输入值；x为非线性的阶数（即多项式的次数） ；K为第 阶的系数。kh在所给的题目中，所给的数据都是经过离散采样后的值，因此，对于式（4-1）可用离散多项式来建立非线性数学模型：（4-2）210()()()()Kk Kznhxnhxhxn 0,12,N其中： 为离散采样后功率放大器的输出信号；为离散采样后功率放大器的输入信号；()xn为非线性的阶数（即多项式的次数） ；K为第 阶的系数；kh为离散采样值的个数。N为了计算各次幂系数 ，对于共有 个时刻的输入输出关系，也可以将式
12、khN（4-2）改写成矩阵的形式（4-3）12()TNZXHX其中： 表示用于第 个时刻的建模输入向量， ；iXi 02()iiiiKiXxx是（ ）个系数构成的纵向量， ；H1K01TkHh共有 个时刻的输出，即ZN(1)2()ZzzN这时，通过 评价，得到系数矩阵 的最优值MSE（4-1()HX4）其中， 是矩阵的共轭转置；HX是矩阵的逆。1()4.1.3 模型求解非线性失真主要分为幅度失真和相位失真，在该题中所给出的数据经过分析后得出不存在相位上失真，每组输入输出数据的角度都是不变的，因此在求解该非线性模型时，无需对相位再进行分析，只需要针对幅度来求解各次幂的阶数以及非线性的阶数。对于求
13、解该非线性模型，其实就是数据拟合的过程。这里可以直接用matlab 中的 ployfit 函数或者用式（ 4-4）的方法，即可得到各次幂的系数。对于模型的阶数，可以用 的值来评判，即不同阶数 的模型的 值越小，NMSEKNMSE该阶数就是越优的。具体求解步骤：Step1：设定不同的阶数，用 polyfit 函数或式（4-4）求解出各次幂的系数；Step2：求出不同阶数时的 值；SStep3：比较 值，得出最优的阶数。NSE根据以上的算法思路，可以得到不同阶数 的 值，如图 4-1。KNMSE0 5 10 15 20 25 30 35 40-250-200-150-100-500X: 36Y:
14、-210.7kNNSE图 4-1 阶数 与 的关系图KNMSE如图 4-1 所示，在 =36 时，所得的 值最小，也就是最优的阶数是36。但是考虑到在 =4 时， =-47.13dB，拟合程度已经相当好，再增加KS阶数，只会增加计算的复杂度，但效果不能再得到很明显的改善。因此将阶数定为 4，此时系数矩阵 。K1.759,4.2,1.57,2.846,0.1H此时，所得到的此功放的数学模型为：432()1.759().2().().().znxnxnxnxn（4-0,12,N5）在此模型下，功放的输入输出的幅度图如 4-2 所示，包含所得的 与()zn原数据 。()zn0 0.2 0.4 0.6
15、 0.8 1 1.2 1.400.20.40.60.811.21.41.61.82|x(n)|z(n)|信信信信信信信图 4-2 功放的输入输出幅度图由图 4-2 可以看出，拟合的数据与原数据的吻合程度很好， 表示归NMSE一化均方误差，表征所计算的精度。 越小，吻合程度越好，即计算精度NMSE越高。在 时，即可表明此时的计算精度已经相当高。当阶数30NMSEdB时， 值为-47.13dB（ ） ，符合要求，因此所得到的非线性模4K30dB型准确度很高。4.2 无记忆功放预失真模型的建立和求解4.2.1 问题分析该问题是在线性化原则（即保证功放不失真）的基础上，以“输出幅度限制”和“功率最大化
16、”为约束条件，建立预失真模型，并构造出评价预失真模型的目标误差函数。对于“输出幅度限制”就是限定预失真处理的输出幅度不大于所给出的功放输入的幅度最大值 1.0553。对于“功率最大化” ，需要满足预失真处理后的输出幅度尽可能的高。在该问题中，首先根据已建立好的无记忆功放模型，以及需要满足的线性化原则，得到 （ 是功放的输入-输出传输特性，()()GFxtgxtA)G是预失真器的特性， 是整个系统最后理想的放大倍数） 。然后通过估计()F出 的值（查表法） ，最后再通过数据拟合的方法得到预失真的模型。xt对于目标误差函数，因为题目中没有给出无失真的数据，因此在本文中，可以通过比较 和 ，从而得到
17、最优的预失真模型。即()()ztGFxt()ztgxtA设定目标误差函数 。21min|NEt最后将得到的预失真和功放的联合模型用 NMSE 评价预失真补偿的结果。4.2.2 模型建立在该问题中，最重要的就是要使得整个系统呈线性，保证输入与输出数据呈线性关系，也就是要保证（4-()()GFxtgxtA6）其中： 是功放的输入-输出传输特性；()是预失真器的特性；F是整个系统理想的放大倍数；g为功放的输入值。()xt由式（4-6 ） ，可以看出预失真器也是非线性的，因此同样可以将预失真器的线性模型设为（4-7 ）0()()Kkftaxt0,T根据（4-7 ） ，预失真器模型的离散多项式为（4-8
18、）210()()()()Kk Kfnaxnxxn ,12,N其中： 为预失真器的输出；()fn为预失真器的输入；x为第 阶的系数；ka为非线性的阶数（即多项式的次数） ；K为离散采样值的个数。N式（4-8 ）写成矩阵的形式为（4-12()TNFXAX9）其中： 表示用于第 个时刻的建模输入向量， ；iXi 02()iiiiKixx是（ ）个系数构成的纵向量， ；A1K01)TkAa共有 个时刻的输出，即ZN()2(ZzzN除此之外，要有“输出幅度限制” ，即 。 “功率最大化”约束.53fn就是要使得预失真之后的输出要尽可能的大，即 尽可能大。()由上述两个约束条件，可以知道在预失真最大输入为
19、 1.0553 情况下，此时为了保证预失真输出尽可能大，此刻的输出为 1.0553，经过 PA 放大最多为1.9275，此时的放大倍数 ，因此，在保证线性化原则以及两个约束条1.8265g件的前提下，最大可能的放大倍数 。.对于目标误差函数的选择可以采用最小差平方来评判，即（4-21min|()|NGEzn10）其中， 为整个系统的理想输出， ；()zn()()zgxA为所建模型的输出，即 。 nGF目标误差函数 值越小，吻合程度越好。GE4.2.3 模型求解在该题中，题目没有直接给出预失真器的输出值，首先需要计算出对应于输入 的预失真输出值 ，然后再通过数据拟合的方法计算出预失真器的()xn()fn
