1、1第五章 相交线与平行线【知识要点】1.两直线相交2.邻补角：有一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角。3.对顶角定义：有一个公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角 (或两条直线相交形成的四个角中，不相邻的两个角叫对顶角) 。（1） 对顶角的性质：对顶角相等。4垂直定义：当 两 条 直 线 相 交 所 形 成 的 四 个 角 中 ， 有 一 个 角 是 90那 么 这 两 条 线 互 相 垂 直 。5.垂线性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线段最短。6平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线， “平行”用符号“”表
2、示，如直线 a，b 是平行线，可记作“ab”7平行公理及推论（1）平行公理：过 已 知 直 线 外 一 点 有 且 只 有 一 条 直 线 与 已 知 直 线 平 行 。（2）推论：如 果 两 条 直 线 都 与 第 三 条 直 线 平 行 ， 那 么 这 两 条 直 线 也 互 相 平 行 。注：（1）平行公理中的“有且只有”包含两层意思：一是存在性；二是唯一性。（2）平行具有传递性，即如果 ab，bc，则 ac。8两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行。9平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等（在同一平面内）（2）两直线平行，内错角相等（在同一平面内）（3）两
3、直线平行，同旁内角互补（在同一平面内）10平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行；（在同一平面内）（2）内错角相等，两直线平行；（在同一平面内）（3）同旁内角互补，两直线平行；（在同一平面内）（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； 补充：（5）平行的定义；（在同一平面内）（6）在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行。考点一：对相关概念的理解对顶角的性质，垂直的定义，垂线的性质，点到直线的距离，垂线性质与平行公理的区别等例 1：判断下列说法的正误。（1） 对顶角相等； （2） 相等的角是对顶角；（3） 邻补角互补；（4） 互补的角是邻补角；（5） 同位角相等；（6）
4、 内错角相等；（7） 同旁内角互补；（8） 直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；（9） 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（10） 过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（11） 两直线不相交就平行；（12） 互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。练习：下列说法正确的是（ ）A、相等的角是对顶角 B、直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离C、两条直线相交，有一对对顶角互补，则两条直线互相垂直。D、过一点有且只有一条直线与已知直线平行考点二：相关推理（识记）（1）ac，bc （已知） _ _（ ）（2）1=2，2= 3（已知） _ =_ （ ）2（3）1+ 2=180， 2=3
5、0（已知） 1=_（ ）（4）1+ 2=90，2=22（已知） 1=_（ ）（5）如图（1） ，AOC=55 （已知） BOD=_（ ）（6）如图（1） ，AOC=55 （已知） BOC=_（ ）（7）如图（1） ，AOC= AOD，AOC+ AOD=180 （已知） 21BOC=_（ ） （1） （2） （3） （4）（8）如图（2） ，ab（已知） 1=_（ ）（9）如图（2） ，1=_（已知） ab（ ）（10）如图（3） ，点 C 为线段 AB 的中点 AC=_（ ）(11) 如图（3） ， AC=BC点 C 为线段 AB 的中点（ ）（12）如图（4） ，ab（已知） 1=2（ ）（
6、13）如图（4） ，ab（已知） 1=3（ ）（14）如图（4） ，ab（已知） 1+4= （ ）（15）如图（4） ，1=2（已知） ab（ ）（16）如图（4） ，1=3（已知） ab（ ）（17）如图（4） ，1+4= （已知） ab（ ）考点三：对顶角、邻补角的判断、相关计算例题 1：如图 51，直线 AB、CD 相交于点 O，对顶角有_对，它们分别是_，AOD 的邻补角是_。例题 2：如 图 52，直线 l1，l 2 和 l3 相交构成 8 个角，已知1=5，那么，5 是_的对顶角，与5 相等的角有1、_，与5 互补的角有_。例题 3：如图 53，直线 AB、CD 相交于点 O，射线
7、 OE 为BOD 的平分线，BOE=30，则AOE 为_。图 51 图 52 图 53考点四：同位角、内错角、同旁内角的识别例题 1：如图 2-44，1 和4 是 AB、 被 所截得的 角，3 和5 是 、 被 所截得的 角，2 和5 是 、 被 所截得的 角，AC、BC 被 AB 所截得的同旁内角是 .例题 2：如图 2-45，AB、DC 被 BD 所截得的内错角是 ，AB、CD 被 AC 所截是的内错角是 ，AD、BC 被 BD 所截得的内错角是 ，AD、BC 被 AC 所截得的内错角是 。ab1 1234ab. AC B3例题 3：如图 126 所示AEBD，1=32，2=25，求C考点
8、五：平行线的判定、性质的 综合应用（逻辑推理训练）例题 1：如图 9,已知 DFAC,C=D,要证AMB=2,请完善证明过程,并在括号内填上相应依据:DFAC(已知),D=1( )C=D(已知),1=C( )DBEC( )AMB=2( )例题 2：如图，直线 AB、CD 被直线 EF 所截，AEF+CFE=180，1=2，则图中的H 与G 相等吗？说明你的理由.考点六：特殊平行线相关结论例题 1：已知，如图：AB/CD,试探究下列各图形中 .的 关 系BPD,考点七：探究、操作题例题：（阅读理解题）直线 ACBD，连结 AB，直线 AC,BD 及线段 AB 把平面分成、四个部分，规定：21(9
9、)DCFMAEBNA BC DP(1)A BC DP(2)A BC D P(3)A BCP(4)A 1 BC DEFGH4线上各点不属于任何部分当动点 P 落在某个部分时，连结 PA,PB，构成PAC，APB，PBD 三个角（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是 0角）（1）当动点 P 落在第部分时，求证：APB =PAC +PBD；（2）当动点 P 落在第部分时，APB =PAC +PBD 是否成立（直接回答成立或不成立）？（3）当动点 P 在第部分时，全面探究PAC，APB，PBD 之间的关系，并写出动点 P 的具体位置和相应的结论选择其中一种结论加以证明 练习：1.（动手操作实验
10、题）如图所示是小明自制对顶角的“小仪器”示意图：（1）将直角三角板 ABC 的 AC 边延长且使 AC 固定；（2）另一个三角板 CDE 的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合；（3）延长 DC，PCD 与ACF 就是一组对顶角，已知1=30，ACF 为多少？【配套练习】1、如图，要把角钢（1）弯成 120的钢架（2） ，则在角钢（1）上截去的缺口是_度。第 1 题 第 2 题 第 3 题 第 4 题2如图，把矩形 沿 对折后使两部分重合，若 ，则 =（ ） ABCDEF150AEF3如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上， ，则 的度数等于（ ）2， 34. 如图，把一块直角三角板的直角顶点
11、放在直尺的一边上，如果1=32 o，那么2 的度数是（ ）5. 如图，将直尺与三角尺叠放在一起，在图中标记的所有角中，与2 互余的角是 第 5 题 第 6 题6光线 a 照射到平面镜 CD 上，然后在平面镜 AB 和 CD 之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角，即16，53，24。若已知1=55，3=75，那么2 等于（ ）1A E DCB F211231 23456123456aABC D58.把一块直尺与一块三角板如图放置，若1=45，则2 的度数为（ ）A、115 B、120 C、145 D、1359、如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线 a、b 中的直线 b 上，如果1=40，则
12、2 的度数是（ ）A、30 B、45 C、40 D、50第 8 题 第 9 题 第 10 题 第 11 题10、如图，lm，等腰直角三角形 ABC 的直角顶点 C 在直线 m 上，若=20，则 的度数为（ ）A、25 B、30 C、20 D、3511、如图，ABEFCD ，ABC=46，CEF=154 ，则BCE 等于（ ）A、23 B、16 C、20 D、2612、将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果=43，则 的度数是（ ）A、43 B、47 C、30 D、60 13、如图，已知 L1L2，MN 分别和直线 l1、l2 交于点 A、B，ME 分别和直线 l1、l2 交于点 C、D，点
13、P 在 MN上（P 点与 A、 B、M 三点不重合） （1）如果点 P 在 A、B 两点之间运动时，、 之间有何数量关系请说明理由；（2）如果点 P 在 A、B 两点外侧运动时，、 有何数量关系（只须写出结论） 17.如图（6） ，DEAB，EFAC，A=35，求DEF 的度数。一、填空题1. 如图，直线 AB、CD 相交于点 O，若1=28 ,则2_第 2 题PBM AN第 1 题 第 3 题 第 4 题62. 已知直线 ， ， ，则 度ABCD 60E 20CD BED3. 如图，已知 ABCD，EF 分别交 AB、CD 于点 E、F，160，则2_度.4. 如图，直线 MANB，A70，
14、B40，则P.5. 设 、b、 c 为平面上三条不同直线，a（1） 若 ，则 a 与 c 的位置关系是_；/,（2） 若 ，则 a 与 c 的位置关系是_；（3） 若 ， ，则 a 与 c 的位置关系是_6. 如图，填空： （已知） （ ）A （已知） （ ）B （已知） （ ）1D二、解答题7. 如图， 与 是邻补角，OD、OE 分别是 与 的平分线，试判断 OD 与 OE 的位置OCAOCB关系，并说明理由8. 如图，已知直线 AB 与 CD 交于点 O，OE AB，垂足为 O，若DOE3COE，求BOC 的度数9. 如图，ABDE ，那么B、BCD、D 有什么关系？1. 如图， 那么点
15、A 到 BC 的距离是_，点 B 到 AC 的距离是,8,6,10,BCAcmCABcm_，点 A、B 两点的距离是_，点 C 到 AB 的距离是_2. 设 、b、 c 为平面上三条不同直线，aa) 若 ，则 a 与 c 的位置关系是_；/,b) 若 ，则 a 与 c 的位置关系是_；c) 若 ， ，则 a 与 c 的位置关系是_/ab3. 如图，已知 AB、CD、EF 相交于点 O，ABCD，OG 平分AOE，FOD28，求第 6 题7COE、AOE、AOG 的度数4. 如图， 与 是邻补角，OD、OE 分别是 与 的平分线，试判断 OD 与 OE 的位置AOCBAOCB关系，并说明理由5.
16、 如图，已知12 求证：ab直线 ，求证： /ab126. 阅读理解并在括号内填注理由：如图，已知 ABCD，12，试说明 EPFQ证明：ABCD，MEBMFD（ ）又12，MEB1MFD2，即 MEP_EP_ （ ）7. 已知 DBFGEC，A 是 FG 上一点，ABD 60，ACE36，AP 平分BAC，求：BAC 的大小；PAG 的大小.88. 如图，已知 ， 于 D， 为 上一点， 于 F， 交 CA 于 G.求证ABCEABEBC/DBA.121. 如图，B=C，ABEF 求证：BGF=C3.已知：如图，交B 于 G，交 CD 于 F，FH 平分EFD，交 AB 于 H ，AGE=5
17、00 ，求：BHF 的度数。4.已知：如图1=2，C=D，那么A= F 吗？试说明理由5.已知：如图，AB/CD，试解决下列问题：（1）12_ _； （2）123_ _；（3）1234_ _ _；（4）试探究1234n ；HGFEDCBAHG 21FEDCBAGFEDCBA96如图 11， 、 分别在 、 上， ， 与 互余且 ，EFABCD12CEAF垂足为 ，求证： O/7如图 12， ， ， ， ， 交 于点 ，/ACBD/E1F2AECO试说明： .FE8如图 13， ， ，判断 与 的大小关系，说明理由.AEBNFPMCAP9如图 14， 是 的角平分线， ， ， 交 于点 请问：（
18、1） 是ADCB/DEAB/FCEADOD的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由EF（2）若将结论与 是 的角平分线、 、 中的任一条件/交换， 所得命题正确吗？FEM PA CNB图 11图 12OA BC DFE10A DB C EF123410.如图，AD 是EAC 的平分线，ADBC，B = 30，你能算出EAD、DAC、C 的度数吗？11. 如图, 1=2 , 3=105 度， 求 4 的度数。13已知，如图，BCE、AFE 是直线，ABCD，1=2，3=4。AD 与 BE 平行吗？为什么？。解：ADBE，理由如下：ABCD （已知）4= （ ）3=4（已知）3= （
19、 ）1=2（已知）1+CAF=2+ CAF（ ）即 = 3= （ ）ADBE（ ）14.如图1+2=180,DAE=BCF,DA 平分BDF.(1)AE 与 FC 会平行吗?说明理由.(2)AD 与 BC 的位置关系如何?为什么?(3)BC 平分DBE 吗?为什么. ?15如图 10，已知：直线 AB，CD 被直线 EF，GH 所截，且1=2，求证：3+4=180证明：1=2 又2=5 （ ）1=5 ABCD （ ）d c31ab 2 4FE21DCBA113+4=180（ ）17已知：如图，1+2=180，3=100，OK 平分 DOH，求KOH 的度数19、如图，已知1 =2，B =C，试
20、说明 ABCD。解：1 =2（已知） ，又1 =4（ ）2 = （等量代换） BF （ ） =3（ ）又B =C（已知） =B （等量代换）ABCD （ ）20、如图，ABDF ，DE BC，165求2、3 的度数21、已知：如图， ，DE 平分 ，BF 平分 ，且 。 试说明CDABCDABADEADEFB/22、已知：如图， 。求证：BAPD1802， EF（图10）A B 1 E F 2 C P D D F C A E B ADF BEC1231223、推理填空：如图，DFAB，DE AC，试说明FDE=A解：DEACA+ AED=180 （ ）DFABAED+FDE=180 （ ）A=
21、 FDE （ ）25、如图，ABCD，垂足为 O，EF 经过点 O，求，的度数26、如图，度，度，求的度数30、如图，ABDE，1 ACB ，CAB BAD，试说明 ADBC2131、如图，ABCD，1= 2，3= 4。试说明：ADBE。FED CBAFEODCBA 3 2 1EDCBAA DB C EF12341332、如图，EFAD，1 = 2，BAC = 70。将求AGD 的过程填写完整。EFAD， （ ） 2 = 。 （ ）又 1 = 2， （ ） 1 = 3。 （ ） AB 。 （ ）BAC + = 180。 （ ）又BAC = 70， （ ）AGD = 。 （ ）33、如图所示，已
22、知B=C ，ADBC，试说明：AD 平分CAE34、如图所示,已知直线 EF 和 AB,CD 分别相交于 K,H,且 EGAB,CHF=600,E= 30,试说明 ABCD.36、如图所示，已知B=C ，ADBC，试说明：AD 平分CAE37、如图所示,已知直线 EF 和 AB,CD 分别相交于 K,H,且 EGAB,CHF=600,E= 30,试说明 ABCD.GHKFEDCBADEAB C21GHKFEDCBADEAB C211438已知：如图，ABCD，垂足为 O ，EF 经过点 O，125，求，的度数。 （7 分）39.如图：AE 平分DAC，DAC=120，C=60 ，AE 与 BC
23、 平行吗？为什么？（6 分）41.填空完成推理过程：（每空 1 分，共 7 分）如图，E 点为 DF 上的点，B 为 AC 上的点，12，CD。试说明：ACDF。解： 12（已知）13（ ）23（等量代换） （ ） CABD （ ）又 CD（已知）D= ABD（ ） ACDF（ ）43(10 分) 如图，ABCD，AE 交 CD 于点 C，DEAE，垂足为 E，A=37，求D 的度数FEODCBA 3 2 1ACBDE1545 （11 分）如图，BD 是ABC 的平分线，ED BC ，FEDBDE,则 EF 也是AED 的平分线。完成下列推理过程：证明： BD 是ABC 的平分线 （ 已 知
24、） ABD=DBC ( ) EDBC ( 已 知 ) BDE=DBC ( ) ( 等 量 代 换 )又FED= BDE （ 已 知 ） ( ) AEF=ABD ( ) AEF=DEF ( 等 量 代 换 )EF 是AED 的平分线（ ）46、 如图，ABEF（ 已知 ）A + =180（ ）DEBC（ 已知 ）DEF= （ ）ADE= （ ）52 （本题 10 分）如图，130，AB CD ，垂足为 O，EF 经过点 O.求2、3 的度数. 53 （本题 24 分，每空 3 分）如图 16，点 D、E、F 分别在 AB、BC、AC 上，且 DEAC，EFAB，下面写出了说明“A+B+ C 18
25、0”的过程，请填空：因为 DEAC，所以1 .（ ）因为 ABEF, 所以3 （ ）因为 ABEF ，所以 2 _ （ ）AEB CDFA C D E F B AB CED F1234图 16A BCDO1 23EF161ABOFDEC(第 8题 )ABCDEF1423第 19题 )E NM C DBA因为 DEAC，所以4 _ （ ）所以2A（等量代换） 因为1+2+3180，所以A+B+C180 （等量代换） 54 （本题 12 分）已知，如图，CDAB，GFAB，B ADE ，试说明1256、如图，直线 AB 、CD 相交于 O，OD 平分AOF，OECD 于点 O，150 ，求COB 、BOF 的度数。57、如图，NCM90，NCB30，CM 平分BCE求B 的大小。59、如图，E 点为 DF 上的点， B 为 AC 上的点，12，CD，那么 DFAC，请完成它成立的理由12，23 ，14（ ）34（ ）_ （ ）CABD （ ）CD（ ）DABD（ ）DFAC（ ）F21GEDCBA
