1、黄金数学组 专注专业 彰显权威 坚持 执着 高效 调节 反思 总结 - 1 -第三讲 直线与圆的位置关系1、知识扫描（一） 、直线与圆的位置关系设 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ，则直线和圆的位置关系如下表：O rOld（二） 、切线的性质及判定1、切线的性质（1） 定理：圆的切线垂直于过切点的半径推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心（2） 注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：垂直于切线过切点过圆心过圆心，过切点 垂直于切线 过圆心， 过切点 ，ABM则 ABl过圆心，垂直于切线 过切点 过圆心， ，则 过切lAB点 M过切
2、点，垂直于切线 过圆心 ， 过切点 ，则 过圆l心2、切线的判定（1） 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2） 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3） 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线注意：定理的题设是“经过半径外端”，“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：连接半径，证直线与此半径垂直；作垂直，证垂直在圆上OOOAA Al l lMBOlA黄金数学组 专注专业 彰显权威 坚持 执着 高效 调节 反思 总结 - 2 -3、切线长和切线长定理（1） 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这
3、点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长（2） 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角2、考点聚焦考点题型 1、直线与圆位置关系的确定例 1、在 中， ， ， ，以点 为圆心， 为半径的RtABC9012cmAC16cBCr圆和 有怎样的位置关系？为什么？1 ； ； cmrr9.r例 2、如图，已知 是以数轴的原点 为圆心，半径为 1 的圆， ，点 在数OO45AOBP轴上运动，若过点 且与 平行的直线与 有公共点，设 ，则 的取值范围是PAPxA B 0x22xC1 1 D P BOA例 3、如下左图，在直角梯形 中， ， ，且 ，A
4、CDB 90C ABDC是 的直径，则直线 与 的位置关系为( )ABOA相离 B相切 C相交 D无法确定黄金数学组 专注专业 彰显权威 坚持 执着 高效 调节 反思 总结 - 3 -OBCD A巩固练习：如图， 是半圆 的直径，点 是半圆上的一点，过点 作 的切线 ，BCODDOAD， ， ，那么直线 与以点 为圆心， 为半径的圆的位置关系AD104ACE52是 考点题型 2、切线的性质与判断例 4、 （1）如图， 中， ，以 上一点 为圆心作RtABC9043ACB， ， CO与 相切，又 与 的另一交点为 ，则线段 的长为_O 、 O D（2） 是圆的直径， 是它的弦，过 作圆的切线 ，
5、过 作 交 于 ，ABBCCDBECDE求证： EA O BCDE例 5、已知：如图，在 中， ，以 为直径的半圆 与边 相交于点 ，ABCABCOABD黄金数学组 专注专业 彰显权威 坚持 执着 高效 调节 反思 总结 - 4 -切线 ，垂足为点 求证：（1） 是等边三角形；（2） DEACEABC13AECEACOB巩固练习：在 中， ， 是 边上一点，以 为直径的 与边 相切于RtA90BDABBDO AC点 ，连结 并延长，与 的延长线交于点 EDF（1）求证： ；F（2）若 ，求 的面积64C， O OFEDCBA例 6、 （1）如图， 为等腰三角形， ， 是底边 的中点， 与腰 相
6、ABCABCO A切于点 ，求证 与 相切DO（2）已知：如图， 内接于 ， 是过 的一条射线，且 求证：ABCOADBCAD是 的切线ADO（3）如下图所示，以 的直角边 为直径作半圆 ，交斜边于 ， 交RtABCODOEAC于 ，求证： 是 的切线；ABEDO黄金数学组 专注专业 彰显权威 坚持 执着 高效 调节 反思 总结 - 5 -（4）如图，已知 AB 为O 的弦，C 为 O 上一点，C=BAD，且 BDAB 于 B求证： AD 是 O 的切线若O 的半径为 3，AB=4，求 AD 的长ABCDO巩固练习：1、如图所示在 中， ， 的平分线交 于 ， 为 上一点，RtABC90ABC
7、DEB，以 为圆心，以 的长为半径画圆求证：（1） 是 的切线；（2）DEDAB2、如图， 是 的直径， 点在圆上， 于 在 延长线上，且ABO CDABPA求证： 是 的切线PCDP ODC BAP3、如图， 是 的外接圆， ，点 是圆外一点， 切 于点 ，O RtABC90ABC A且 PA（1）求证： 是 的切线（2）已知 ，求 的半径31， O黄金数学组 专注专业 彰显权威 坚持 执着 高效 调节 反思 总结 - 6 -考点题型 3、切线长定理例 7、 （1）如图，已知以直角梯形 的腰 为直径的半圆 与梯形ABCDO上底 、下底 以及腰 均相切，切点分别是 若半圆ADBCCE， ，的半
8、径为 ，梯形的腰 为 ，则该梯形的周长是_ 25（2）如图， 分别切 于 ，若 ， 周长为 ，求PABDE、 、 O ABC、 、 10PODE16的半径O（3）如图， 是 的内切圆， 是切点，O ABCDEF，又直线 切 于 ，交 于 ，则18cm20c12cmAB MNO GABCMN的周长为_MN巩固练习：1、等腰梯形 外切于圆，且中位线 的长为 ，那么这个等腰梯形的周长是ABCDMN10_2、如图， 切 于 ， 切 于 ，交 于 两点，已知PAB， OAB， NOACPAB， MN，求 的周长8MN黄金数学组 专注专业 彰显权威 坚持 执着 高效 调节 反思 总结 - 7 -例 8、
9、（1）如图，以正方形 的 边为直径作半圆 , 过点 作直线切半圆于点 , ABCDODF交 边于点 . 则三角形 和直角梯形 周长之比为_ABEEB（2）梯形 中， 是 上一点，以 为圆心的半圆与 都ABCD/,OABO,ADCB相切。已知 ，求 的长。6,4例 9、 （1）如图, 是 直径, 于 , 交 于 , 切 于 ,交ABOCBAODE于 .求证 E; BC214D黄金数学组 专注专业 彰显权威 坚持 执着 高效 调节 反思 总结 - 8 -（2） （2012 岳阳）如图， 为半圆 的直径， 分别切O 于 两点， 切ABO,ADBC,ABCDO 于点 与 相交于 与 相交于 ，连接 ，
10、对于下列结论：,EDC, , ； ； ；212ABCDS梯 形，其中正确的是_90综合提升例 10、如图， 为 的直径， 是 的中点， 交 的延长线于 ，ABO DABCDEACE的切线 交 的延长线于点 O FF（1）求证： 是 的切线；DE（2）若 ， 的半径为 ，求 的长3 5 OC D FA BE例 11、已知，如图在矩形 中，点 在对角线 上，以 长为半径的圆 与ABCDOACO分别交于点 ， ADC、 EF、 E（1）判断直线 与 的位置关系，并证明你的结论；（2）若 ，求 的半径2tan， 黄金数学组 专注专业 彰显权威 坚持 执着 高效 调节 反思 总结 - 9 -例 12、已
11、知：在 中， 是直径， 是弦， 于点 ，过点 作直线 ，OABACOEACCF使 ，交 的延长线于点 FCED（1）求证： 是 的切线；D（2）设 与 相交于点 ，若 ，求 半径的长；G2（3）在（2）的条件下，当 时，求图中阴影部分的面积3例 13、如图，已知 是 的直径，点 在 上，过点 的直线与 的延长线交于ABO CO CAB点 ， ， PC2P（1）求证： 是 的切线；（2）求证： ；1（3）点 是弧 的中点， 交 于点 ，若 ，求 的值MABCMABN4MC对应练习：1、如图，已知 是正方形 对角线上一点，以 为圆心、 长为半径的 与OABCDOAO相切于 ，与 、 分别相交于 、
12、 BCMEF黄金数学组 专注专业 彰显权威 坚持 执着 高效 调节 反思 总结 - 10 -（1）求证： 与 相切CDO（2）若正方形 的边长为 ，求 的半径AB1O2、如图， 是 的的直径， 于点 ，连接 交 于点 ，弦 ，ABO BCAOC EADOC弦 于点 DFG（1）求证：点 是 的中点；ED（2）求证： 是 的切线；C（3）若 ， 的半径为 ，求 的长4sin5 5DF3、如图， 是 的直径， ， 是 上一点，过 作 的垂线交 于ABO30BACMOAMABC点 ，交 的延长线于点 ，直线 交 于点 ，且 NCEFENECF（1）证明 是 的切线；F（2）设 的半径为 ，且 ，求
13、的长1黄金数学组 专注专业 彰显权威 坚持 执着 高效 调节 反思 总结 - 11 -第四讲 圆幂定理一、知识扫描1、弦切角定理定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。如图，PA 是O 的切线，A 是切点，AB 是弦，则PABACB。证明：2、相交弦定理圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等。 即： PABCD证明：3、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。4、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。如图，PT 是 O 的切
14、线，T 是切点，PAB、PCD 是割线，则PT2PA PB，PAPB PCPD。证明：黄金数学组 专注专业 彰显权威 坚持 执着 高效 调节 反思 总结 - 12 -小结：（圆幂定理）过圆所在平面内任一点作直线，与圆交于两点，则点与圆上两点的距离之乘积等于点心距与半径的平方差的绝对值.即 (因 叫做 点对于O 的幂，所以将上述定理统称为2APBOR2P圆幂定理) 二、方法技能平台例 1、 （1）已知：如图 ， 、 切 于 两点， 为直径，则图中与PAB,AC相等的角的个数为 PAB（2）已知：如图，直线 切 于 点， ， ，那么 BCODBA（3）如图， 为 直径， 切 于点 ， ， 为垂足，
15、ECA，则 _; _.3012cmAB， （4）已知：如图，三角形 的 ，内切圆 与 的三边分别切于 ，AB90OBD， 三点， ，那么 EF56D对应练习：如图， 内接于O，BC是直径，ABC B35 ，MN是过A点的切线，则 C_，CAM 。黄金数学组 专注专业 彰显权威 坚持 执着 高效 调节 反思 总结 - 13 -例2、(1)如图，已知AB是O的直径，直线MN切O 于点C，AD MN于D，AD 交O于E，AB的延长线交 MN于点P，求证： 。2AEP(2)已知： 内接于 O， AE切O 于A，BD平分ABC交O 于D，交AE于E，DF AEABC于F，求证： ; .ED2F(3)如图
16、， 、 切 于 、 ， 为割线。求证：PACOAPDBADBC拔高训习：如图， 为圆的切线， 为切点， 为割线， 的平分线 交 于点 ，PAPBCAPFABE交 于点 CF求证：（1） ；（2） ；（3）若 是 上EAFE:1:2,MC的 点 ， 交 于 ，且 ，试确定 点 在 上的 位置，并证明你的 结MBDMABC论黄金数学组 专注专业 彰显权威 坚持 执着 高效 调节 反思 总结 - 14 -例3、 （1）如图，O的弦AB与CD相交于点P，PA3cm，PB4cm，PC2cm，那么PD_cm 。（2）如图，在O中，弦AB与半径OC相交于点M，且OMMC，若AM1.5，BM4，则OC的长为_
17、。如图，在O中，P为弦AB上一点，POPC，PC 交O于C，那么( )A B C D22PAB2PB2PAC（4）如图，在直径为 的半圆 上有两动点 ，弦 相交于点 ，6AB,MN,ABP则 APMBN例4、如图， 和 是 的半径，并且 是 上任一点， 的延长线OAB,OABPBP黄金数学组 专注专业 彰显权威 坚持 执着 高效 调节 反思 总结 - 15 -交 于点 ，过点 的 的切线交 延长线于点 OAQOAR（）求证： ；RP（）若 ，试求 的长1对应练习：如图， 内接于O， 的延长线与过 点的切线 相交于点 与 相交ABCABCG,DBEAC于点 ，且 FE求证：（1） ； （2） /
18、DG2FBE例 5、 （1）如图，点 是O 的直径 延长线上一点， 与 相切于点 ，PBAPCOAC，垂足为 ，连接 ，那么下列结论中：ABCDC、 ； ； 2P D2正确的有_ （2）已知如图， 的内接四边形 ， 、 的延长线交于 点， 切OAABPT于 点， ，则 _; _.AT946PC， CABD（3）如图，两圆相交于C、 D，AB为公切线，AB12，CD9，则MD_.黄金数学组 专注专业 彰显权威 坚持 执着 高效 调节 反思 总结 - 16 -例 6、如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB，垂足为 E，P 是 BA 延长线上的点，连结 PC交 O 于 F，如果 PF7， FC13，
19、且 PAAEEB24 1，那么 CD 的长是_。例7、如图，AC是O的直径，OBAC ，M 是AO上一点，BM的延长线交O 于N ，过N点的切线交CA得延长线于P，求证： ;2MAPC若O的半径为 ， ,求 的周长.3PN例8、如图，PA是O的切线，从PA的中点B作割线BCD，分别交O于C、D，连结PC、PD，分别交O于E、F，求证：APDEFD。例 9、如图，已知 是O 直 径 延 长 线 上 一 点 ， 割 线 交 O 于 、 两 点 ，PABPCD弦 于 ， 交 于 点 ；ABDFHCFE(1)连 接 ， 求 证 ： D黄金数学组 专注专业 彰显权威 坚持 执着 高效 调节 反思 总结 - 17 -(2)求 证 ： ；PBAOE(3)若 ， O 的 半 径 为 ， 求 的 长 。15,CFDE2CF（备用图）
