1、八年级数学培优因式分解知识介绍：多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法本讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍（补充分组分解法和十字相乘法等）一、提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法：在整式的乘法中，学过几个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，（1）(a+b)(a
2、-b) = a 2-b2 -a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (ab) 2 = a22ab+b2 a22ab+b2=(ab)2；下面再补充三个常用的公式：(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3- a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b2) = a3-b3 -a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)(5) a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；练习：（1） （2）1)()(2xx 6yx三、分组分解法：（一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式： bnma分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提
3、，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式= )()(= 每组之间还有公因式 nba= m例 2、分解因式： xyx5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。 第二、三项为一组。解：原式= 原式=)()(bay )510()2(byabxa= =52x2= =5x练习： （1） （2）cy（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式： ayx2分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，
4、所以只能另外分组。解：原式= )()(2= yxayx= 例 4、分解因式： 22cba解：原式= )(= (练习：（1） （2）yx3922yzx22四、十字相乘法：（一）二次项系数为 1 的二次三项式直接利用公式 进行分解。)()(2 qxpqxpx特点：（1）二次项系数是 1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。例 5、分解因式： 652x分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于 5。由于 6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中发现只有 23 的分解适合，即2+3=5。 1 2解： = 1 3 52x32)(2x= 12+13=5
5、关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的和要等于一次项的系数。练习：（1） 412（2） 5x（3） y（二）二次项系数不为 1 的二次三项式 cbxa2条件：（1） 2a11（2） 21c2a2c（3） 1ab11b分解结果： =x)(2cx例 6、分解因式： 02分析： 1 -23 -5 （-6）+ （-5）= -11解： =32x)5(2x练习：（1） （2）6751062y（三）二次项系数为 1 的齐次多项式例 7、分解因式： 228ba分析：将 看成常数，把原多项式看成关于 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。ba1 8b1 -16b 8b+(-16b)= -8b解： =2
6、28ba)16(8)16(bb=(a练习： (1) (2)3yx 22nm（四）二次项系数不为 1 的齐次多项式例 8、 例 9、2267yx 232xy1 -2y 把 看作一个整体 1 -1 xy2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=)3)(yx )(xy练习：（1） （2）224715862ax五、换元法：例 10、分解因式 05)105(22xx解：设 2005= ，则原式= =aa( )(1ax= )205)(1205(x练习： 22 34)()1(aa精选练习：（1） qpm)(2（2） 323yx（3） 2345（
7、4） 2211yx（5） 0)(3)(2（6） 6ba（7） 34)(2（8） 22 yxxy（9） 222 )()(1)(（10） 2246xx总结归纳：因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，学习本讲知识时，应注意以下几点：1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7. 因式分解的一般步骤是：通常采用一“提” 、二“公” 、三“其他”的步骤。即首先看有无公因式，其次看能否直接利用公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解、十字相乘等其他方法彻底分解；
