1、i目 录1 前言 .12 方程 根的存在性定理及其应用 .2()0fx2.1 方程根的存在性定理 1 及其应用 .22.2 方程根的存在性定理 2 及其应用 .32.3 方程根的存在性定理 3 及其应用 .53 方程 根的唯一性定理及其应用 .6()0fx3.1 方程根的唯一性定理 .63.2 应用举例 .64 方程根的个数讨论 .84.1 方程根的个数 .84.2 应用举例 .115 复合方程根的判别 .136 结论 .19参考文献 .20致谢 .21ii关于方程 的根的研究()0fx数学系本 1103 班 张东指导老师: 殷摘 要：求方程 的根在中学所学代数中占有重要地位，所以从四个()0
2、fx方面研究 的根，分别为：利用高等数学中的介值定理、罗尔定理和费()fx马原理证明根的存在性；闭区间上函数的连续性定理，单调性证明根的唯一性；利用导数来研究方程根的个数；复合方程的根应该遵循的原则。关键词: 方程；根；介值定理；罗尔定理；费马原理Research on equayion rootDepartment of Mathematics, the 1003 class Zhang DongInstructor: Yin Abstract:Resulting equayion root occupies an important position in the high school
3、learning algebra,so from four aspects to study root equayion.Such as,using the intermediate value theorem,roole theorem of higher mathematics and fermats theorem proving the existence of the root;The continuity of function on closed interval theorem,monotonicity to prove the uniqueness of the root;T
4、he number of derivative to study equayion root of;Should follow the principle of the roots of complex equations.Keywords: equayion;the root;intermediate value theorem;Rolles theorem;Fermats theorem;The function extreme value;derivative11 前言求方程 的根是代数中的一个基本的问题，特别是在中学所学代数()0fx中，解方程占有重要地位。有学者在这方面已经作了一定的
5、研究, 如余剑鸣在对方程 根的()0fx题型分析中给出有关方程根的三类题型:方程根的存在性证明,方程根的唯一性证明及方程根的个数讨论,姚兵在关于方程的根的一些讨论一文中也是综合了上述观点；江志杰在例说复合方程根的判别原则中通过例子谈了复合方程根的判别原则。但总的来说,讨论得还不够系统也不够透彻，本课题在原有研究的基础上进行了更多方面的研究，更加系统地对方程 根的解法进()0fx行阐述。本文分为四章，分别为方程 根的存在性定理、证明及其应用，唯()0fx一性定理、证明及其应用，方程根的个数讨论及复合方程根的判别原则。其中我们利用微积分学的知识讨论方程的根或函数的零点。首先根据连续函数的零点定理、
6、罗尔定理等证明根的存在性；再利用函数的单调性、极值、最值等确定方程的根的个数；而罗尔定理常被用于反证法证明根的唯一性。对于复合方程根的判别，我们利用其五个原则来解答。掌握方程 的根的存在性、唯一性、个数及复合方程根的判别, 能()0fx够熟练地求解方程的根、判断方程根的个数,更好地运用数形结合思想、函数与方程思想与方法等解决方程根的问题。22 方程 根的存在性定理及其应用()0fx2.1 方程根的存在性定理 1 及其应用定理 11(零点定理) 如果 在闭区间 上连续,且 ，()0fxab()0fab则至少存在一点 ，使得,abc（ ），(c)f即方程 在 内至少有一个根。()0fx,（ ）这个
7、定理的几何解释如图 2.1.1所示：若点 A（ , ）与 B（ ）a()f,(b)f分别在 轴的两端，则连接 A、B 的连接曲线 与 轴至少有一个交点。x ()yfxBbAaO c(b)f()f图 2.1.1证明：利用构造法的思想,将 的零点范围逐步缩小。先将 二等分)(xf ,ab为 ，如果 ,则定理获证。如果 ，则,2,ba02ba 0)2(f和 中必然有一个与 异号,记这个小区间为 ,它满足()ff )(f 1。又将 二等分，考虑中点的函数-011 aa且 区 间 的 长 度 1,abxy3值,要么为零，要么不为零。如果中点的函数值为零，则定理获证。如果中点的函数值不为零,那么必然可以选
8、出一个小区间,使得 在这个区间的端点值异()fx号,记这个小区间为 ，它满足 ， 且,2ba12,abab22ba。采用这样的方法一直进行下去,或者到有限步时,某个区间的中2()0fba点的函数值为零,这样定理的结论成立。或者所有区间的中点的函数值不为零，那么我们就会得到一个无穷的区间序列 ，它满足:,nab ；12,abab ；nn 。()0f由单调有界定理，可知 ，如果 ，则定理可,limli baann0)(f证。如果 ，因为 在 点连续，故由连续函数的局部保号性：存在)(f()fx一个 ，使得 在 上与 同号。根据构造的区间的0f ,ba)(f性质，有，存在正整数 ，当 时， 。根据N
9、n,),ban区间的性质， ，与定理矛盾。0)(nafb综上所述，只有 ，且 。定理获证。,ba注：上面所采用的证明方法是对大学数学非常有用的二分法，这个思想可以应用于各个领域，实际上 是函数零点的近似值。n,例 1 证明方程 在区间 内存在实根。521x(,2)证：设函数 ， 在区间 内连续，且 ，()ffx(1,)(1)20f。 由定理 1可知，必存在 ，使 ，即(2)70f5(f是方程 的一个实根。1,52x2.2 方程根的存在性定理 2 及其应用定理 21（罗尔(Rolle)中值定理） 若函数 满足如下条件：f4在闭区间 上连续；(i)f,ab在开区间 内可导；()，(i)af则在 内
10、至少存在一点 c，使得,b。(c)0f罗尔定理的几何意义可以理解为：在每一点都存在导数的连续曲线上，如果这段曲线的两个端点的纵坐标相等，那么至少存在一条水平切线。 （如图2.2.1）a bA BcOy x图 2.2.1证：因为 在 上连续，所以有最大值和最小值，分别用 和 表示，f,ab Mm现分两种情况来讨论：（1）若 ，则 在 上必为常数，从而结论显然成立；mMf,（2）若 ，则因 ，使得最大值 M与最小值 m至少有一个在(a)fb内某点 处取得，从而 是 的极值点。由条件 ， 在点 处可导，固(,)abcc(i)fc由费马定理推知 。()0f5例 2 设函数 在 内有二阶导数,且 ,其中
11、()fxab123()()fxffx。证明方程 在 内至少有一个实根。13axb013(,)x证：由题可知，函数 在 ， 上连续，在 , 内()fx12,12()x3)x可导，且 。由罗尔定理,我们可得，至少存在点 ,123()fxf 12(,使得 。又因为 在 上连续,在 内2312()0f()fx12,)可导,由罗尔定理可得，至少存在一点 ,使得 ,即方123,(0f程 在 内至少有一个实根。()0fx13(,)x2.3 方程根的存在性定理 3 及其应用定理 31（函数极值存在的必要条件） 若函数 在 内可导，且有()fx,ab极值 ，则(c)a,b)f。(c)0f这个定理的几何意义为：如
12、果函数 在极值点 可导，则在该点的()fx0x切线就平行于 轴。x例 3 设 在 上连续, 在 可导，并且满足 ,()f0(,)(0)f，则存在 ，使得 。lim()0xf)0f解: 如果 , 那么在 上处处有 ,故不妨设 在()fx(,()0fx ()fx不恒等于零。于是存在一点 ,使得 。 我们又不妨设(0,) 10x1，因为 , 故存在正数 , 当 时 , 恒有 。1fxli()xfNx1()fxf因为 在有界区间 连续,故存在 ，使得 。()0N()f0maxNf可以看出 是 在 上的最大值 , 所以是 的极值,则由费马定f()fx,) ()理知 。()063 方程 根的唯一性定理及其
13、应用()0fx3.1 方程根的唯一性定理定理 2： 设函数 在闭区间 上连续，且 与 异号（即()fxa,b(a)fbf） ，而 在开区间 内单调，则在开区间 内存在唯一的(a)b0f()f, ,点 使。()0f函数 在闭区间 上连续且单调增， ， 则在开区间()fxa,b(a)0f(b)f内存在唯一的点 使(a,b) ()0f这个定理的几何解释如图 3.1：bo a图 3.13.2 应用举例例 4 设 在 上连续，且 ，证明：方程 在()fx0,1()1fx02(t)d1xf内存在唯一的实根。(0,1)y x7证明：令 ，因为 ， 。0()2(t)d1xFf(0)1F10()(t)df则由根
14、的存在定理可知：方程至少有一个根。又因为 ，即函2xf数 单调递增，则方程 在 内只有一个根。0()2(t)d1xf 02(t)d1xf(0,)例 5 证明方程 在区间 内，不可以有两个不相同的实数根。320x(,1)证: 设 在 内有两个不相同的实根 ， （设 ） 。设3(,) 1x212x，则 。显然 在 上连续，在 内()2fx12=0fx） （ ） ()f,(,)可导，且 ，利用罗尔定理可得：存在一点 ，使得()36f 12,x。当 时， ，故矛盾。因此2()0f12(,)x2360在区间 内不能有两个不相同的实数根。3x,84 方程根的个数讨论方程与解方程是中学数学的重要内容,中学数
15、学的各类考试都比较注重对方程思想的考查，而判定方程的根的个数是考查方程思想的一个重要方面。那么，如何判定方程根的个数呢？4.1 方程根的个数我们都很清楚，一次方程 与二次方程0()axb的根的个数和系数之间的关系。对于次数大于二次的高次2+b0()axca方程，它的根的个数的讨论，我们并没有现成的公式。但我们知道，方程的根也就是对应函数图象与 轴的交点的横坐标，而利用导数则可以研究函数所具x有的一些性质，那么我们就来利用导数来探讨高次方程根的个数。下面以三次方程为例：设 ，则 ，导函数为二次函数。32()+bfxaxc2()3+fxaxb(1) 若 ，即 时， ，函数 在定义域上是4102a()0f()fx单调递增的，与 轴有且只有一个交点，对应方程 有一个实根，如图x4.1.1：
