1、渤海大学本科毕业论文渤海大学本科毕业论文题目关于均值不等式的探讨The Subject of Undergraduate Graduation Project ofDUTDISCUSSION ON INEQUALITY学院（系）： 数 理 学 院 数 学 系 专业班级： 数学与应用数学 10-1 学号：10020018入学年制：2010 年 9 月学生姓名： 李雪琴 指导教师： 宋燕 完成日期：2014 年五月2014 年 3 月 10 日渤海大学Bohai university毕业论文摘要不等式主要研究数的不等关系,是进一步学习数学的基础,是掌握现代科学技术的重要工具。均值不等式是不等式内容
2、的重要组成部分,世界上的很多国家,对均值不等式的教学都有其具体要求,在高中课程标准里面都对这部分内容的教学做了明确的规定.其内容在中学数学课程中也占有十分重要的地位,而国内外专门针对该知识点的研究比较少。本文通过实例讲解均值不等式,并延伸扩展相关问题，综合运用并进一步探讨，将研究均值不等式所得相关结果,用以解决最值问题、不等式证明以及实际生活中的数学应用的实际问题。 关键词 均值不等式，最值问题，数学应用毕业论文The subject of Undergraduate Graduation Project (Thesis) BHUDISCUSSION ON INEQUALITYAbstract
3、Inequality mainly studies several relations, is the foundation of further study mathematics, is an important tool to master modern science and technology.Average inequality is the inequality content is an important part of many countries in the world, the average inequality has its specific requirem
4、ents, the teaching in senior high school “curriculum standard“ for this part of contents of teaching made clear rules. The content in the high school mathematics curriculum also occupies an important position, and the special study of the knowledge is less at inland and abroad.In this paper, through
5、 the example explains the mean inequality, and extending related issues, the integrated use of and further discussion, will study the related results of mean inequality, to solve the problem of the most value, an inequation, and the actual problems of the application of mathematics in actual life.Ke
6、ywords：inequality ，the most value issue，the value of mathematics application毕业论文目录 引言1 均值不等式及有关结论 1.1 均值不等式定义1.1.1 解决最值问题的有效方法均值不等式1.2 均值不等式结论1.1.2 拓展均值不等式及其相关结论1.3 均值不等式的推广1.1 3 均值不等式的推广2 均值不等式的应用2.1 应用均值不等式的思想方法：待定系数法2.2 应用均值不等式的主要解题技巧2.3 应用均值不等式求最值问题2.4 应用均值不等式证明不等式问题2.5 应用均值不等式讨论数列极限问题2.5.1 均值不等
7、式在极限中的应用2.2.2 均值不等式在数列收敛中的应用参考文献毕业论文引言均值不等式是数学中一个重要的不等式，它的许多性质对解决数学问题都有很大帮助，在现实生活中也有着广泛的应用。可以说均值不等式的发现，验证和应用也是数学文化的精髓所在。这对于我们来说是一项巨大的财富。但是我们要注意，求解最值时请一定要注意相等条件，若多次利用均值不等式求解最值，则必须注意这些不等式等号成立的条件是否一致，只有在一致的条件下才有可能达到最值。均值不等式在不等式理论中处于核心地位,是现代分析数学中应用最广泛的不等式之一.巧妙地应用此不等式在求最值,比较大小,证明不等式等各方面都可得到较为理想的解法.均值不等式的
8、推广是均值不等式的延伸,也是解题的重要依据之一.本人在这个内容的实习教学中 ,引导学生思维 ,让学生自我发现并相互探讨 ,寻求到例题的解法 ,直接或变形后运用均值不等式及其相关结果 ,学生感到很轻松 ,非常感兴趣 ,并能自觉或不自觉地用联系和理解的方法学习数学 ,对完成学习任务有一种愉快的感觉 ,学生在领会知识方面具有一定的独立性 ,能够举一反三 ,触类旁通 ,调动了学生在数学学习中的热情 ,对今后的学习 ,对素质的培养 ,将具有重要的启迪作用。总之 ,对均值不等式的学习研究 ,理解掌握和运用 ,对数学问题的解答 ,对实际生活和生产实际中应用数学问题的处理 ,对学生学习的能力和素质的培养 ,都
9、具有极为重要的意义。毕业论文1、 均值不等式及有关结论1.1 均值不等式定义如果 是正数 ,那么 ,当且仅当 时取“ = ”号。即两个正ba、 a+b2ba数的算术平均数不小于它们的几何平均数。这个不等式 ,我们通常把它称为均值不等式，是高中新教材第六章教学的重点,也是难点。对均值不等式的深刻理解和掌握 ,弄清楚其运用条件 ,便能在解题中快速找到突破口 ,进而找到正确解决问题的方法。1.1.1 解决最值问题的有效方法均值不等式对均值不等式认真观察分析知道,若两个正数的积为常数,当且仅当它们相等时,它们的和有最小值;若两个正数的和为常数,当且仅当它们相等时,它们的积有最大值。最值问题在此便略有体
10、现。经研究后,归纳出3个用均值不等式求最值问题的适用条件。条件1:在所求最值的代数式中,各变数都是正数,否则变号转换;条件2:各变数的和或积要为常数,以确保不等式的一端为定值,否则执行拆项或添项变形;条件3:各变数必须有相等的可能。一个题目同时满足上述三个条件,或者可以变形成适合以上条件的,便可用均值不等式求,这就帮助学生在解题时迅速找到了突破口,从而找到正确方法,快速简易地求最值。下面举出一些实例：例1 :已知 ,求代数式 的最小值1,0ba1()ab解 ：()()()(2)52()529baabab故满足条件的代数式的最小值是9。例2 :若 ,则函数 = 的最大值是 .20x)(xf3(8
11、)x毕业论文解 : = = ，故 的最大值是4)(xf3(8)x3(8)2x)(xf例3 :代数式 的最小值是 _241解 : = = 1=32x22x4故 的最小值是3。241例4 :求函数 = 的值域)(xf27解 : ，故函数的值域为 。222434yxx,4例5 :过点 作直线 L交 X , Y轴正向于 A, B 两点 , 求 L的方程 ,使三角形)1,(pAOB 的面积最小。解 :设直线 L的方程为 , 与 轴交点为 , 与 轴交)2(xkyLx)0(ay点为 ,其中 .则 ， , 于是 )0(b0,ba1akkb211 1(2)4()2442ABCSk k当且仅当 = - ,即 =
12、 - 时 ,三角形 AOB 的面积的最小值为4 .k故 L的方程为 21y)(x1.2 均值不等式结论1.2.1 拓展均值不等式及其相关结论1.1.3. 1 均值不等式的拓展以上所谈均值不等式 ,都是针对两个正数而言 ,推广到任意的 n个正数 ai 也有均值不等式 当且仅当2,()n11nnaa 时取等号 ,在中学教材中 ,大都是用两个正数的均值不等式 ,有时1aa也用三个正数的均值不等式 ,其不等式形式为 :已知 为正数 ,则cb,毕业论文,该式的证明在高二教材第24页有说明 ,其应用条件仍与两个正3abc数的均值不等式的三个条件相同。有些问题 ,表面只给出两个正数 ,需要巧妙地拆开部分项
13、,形成三个或者三个以上的正数 ,才能凑成这些正数的“和”或“积”为定值 ,再用多个正数的均值不等式求解。下面举两个例子说明.例8 :若 ,求 的最小值.xR24x解： 所以 最小值为6。22236x24x例9 :已知 = 2,求 的最小值 ,并求 的值。0xy2yy,解：22 233xx当且仅当 ,即 时 ,上式取等号。故 取最小值是3。2xy 2y由 解得 即当 时 , 取得最小值32xy12xy2,y2x1.1.3. 2 研究均值不等式所得结果对 a 0, b 0, 作进一步研究 ,显然有 ,又由于2ab2ab等价的均值不等式 22 ab因此 ,对于 a 0, b 0,有22abab三个重
14、要结论 : ; 22a2当且仅当 a = b时 ,上面三式取等号 ,这三个式子虽然是由均值不等式推广而得 ,但掌握并应用于解题之中 ,有时候比均值不等式更有效 ,起到事半功倍的效果。下面举几个例子予以说明 :例10 :已知 a0 , b0 , a + b = 1,求代数式 的最大值21ab解 :由得。212144a故 满足条件的最大值是 。b2毕业论文例11 :已知 a b 0,求 的最小值。216()ab解 :由式得 , 222164() ()aba所以 ,故 的最小值是16。2216461()aab2()例12 :若 a + b + c = 1,且 a, b, c ,求R的最小值。222解
15、 :由式得 2ab2cbc所以 2cac222a=ba例13 :一段长为 L的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园 ,问这个矩形的长、各为多少时 ,菜园的面积最大 ,最大的面积是多少 ?解 :设矩形的长为 x,则宽为 ，于是 ,菜园面积为 :2x2112xLSL当且仅当 x =L - x,即 时取等号。这时宽为 故这个菜园2x124L的长为 ,宽为 时 ,菜园面积最大 ,最大面积是12481.3 均值不等式的推广1.3.1 引言均值不等式在不等式理论中处于核心地位,是现代分析数学中应用最广泛的不等式之一.巧妙地应用此不等式在求最值,比较大小,证明不等式等各方面都可得到较为理想的解法.均值不等式的推广
16、是均值不等式的延伸,也是解题的重要依据之一.定理A(均值不等式) 设 为n 个正数,则其算术平均,几何平均与调12,a毕业论文和平均有: 121212. nnnaa引理(Jensen 不等式）若函数f在区间I上存在二阶导数,且 xI有f“(x)0,则有 其中xiI,qi 0,i=1,2,n,且11nniiiqxfx=1,当且仅当x1 q1=x2 q2=xnqn时等号成立;若f“(x)0,不等式反号.1niq1.3.2 主要结论定理1 设 0， 0，i1，2，n,则ia(1)12.12. nn naaa 当且仅当 时等号成立；12.n(2)1212 .12. nn naaa 当且仅当 时等号成立。12.n证明 设f（x）lnx，x（0，+）,则f“（x）= 0,i 0,i=1,2,n,且1ia(3)122112.nnn 由Jensen 不等式得12 12212121lnl .n nnn naaaa 12121221212l l.ll.nnnnn na
