1、1关于卧式储油罐变位识别与罐容表标定模型的探究摘 要储油罐罐身变位引起的计量误差，是目前全国从事油品储存加工企业急需解决的一个问题。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化，从而导致罐容表发生改变。本文建立的数学模型，可以根据变位角度对罐容表进行重新标定。对于问题一的小椭圆油罐是两端平头的椭圆柱体， 依据题中给出的示意图，建立了空间直角坐标系，列出了无变位油罐储油量的二重积分公式，此即油位高度 与储油量 的关系式，利用 Matlab 软件进行数值积分以计算出各个油位0hV高度对应的储油量从而标定出了罐容表 。基于这种思想，我们在确定出纵向1w倾
2、斜变位后油罐的浮标尺高度 与真实油位高度 之间的关系式之后，再次列1HH出了积分公式，并利用数值积分对油面高度每隔 1 进行计算从而得到了相对cm应的罐容表 。通过对比 与 ，分析了罐体变位后对罐容表产生的影响。2w12对于问题二，首先建立了一个合理的直角坐标系，当罐体发生纵向倾斜角的情况以及横向偏转角度 之后，利用微积分思想，以积分的形式写出了罐内油量的体积与显示高度 、 、 之间的函数关系式 。该积分h(,)vfh式难于计算出解析解，但对于确定的一组确定的 值可以进行数值求解。(,)h考虑到实际应用中油罐的偏转角度不会很大，使得我们可以对 、 的值在一较小范围（0-10 度）内进行穷举搜索
3、。该搜索的依据是：对于附件 2 中给出的数据，我们计算出相邻两次测量高度对应油量，其差值即计算出的出油量应该等于实际出油量。对于充分多的数据，选择 使得计算出油量与实际出油(,)量的之差的平方和最小。本文给出了另外一种简捷计算 的数学模型（即模型三）。首先把油罐容积微分化，然后通过确定油罐罐身纵截面的变位前后面积的比例系数，从而得出了横向偏转角度 与油位高度 之间的函数关系。再利用油高的实验数据求1H出了 的值为 。并且与模型二计算出的 进行比较，发现精度能够满足工3.4程上的应用。关键词：罐容表标定 数值积分 微元处理 变位角度一 问题的重述加油站都会配置若干个储存燃油的地下储油罐，一般都采
4、取卧式安装。管理者为了得到油罐在不同液面高度时的储存油量，以便进行燃油储存量的管理。采用“油位计量管理系统” ，得出任意油位高度所对应的罐内储油量。该系统操作原理如下：利用流量计和油位计测量进/出油量与罐内油位高度数据，依据罐容表（即根据油位高度与储油量的对应关系计算出的预先标定表）得出油位高度和储油量的变化情况。但是现实情况是，油罐由于地基变形的原因产生纵向倾斜和横向偏转等变化，从而导致罐容表发生改变。为了得到精确的储油量数据，维护人员必须定期对罐容表进行重新标定。本题希望我们建立数学模型，从而解决储油罐的变位识别与罐容量标定问题。本文需要解决的问题有：（1） 为了掌握罐体变位后对罐容表的影
5、响，利用题中给出的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体）示意图，分别对罐体无变位和倾斜角为 的4.1o纵向变位两种情况做了实验，实验数据参照附件1。建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响；（2） 给出罐体变位后油位高度间隔为 的罐容表标定值；1cm（3） 参照题中给出的实际储油罐示意图，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度 和横向偏转角度 ）之间的一般关系；（4） 利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为 的罐10cm容表标定值；（5） 进一步利用附件2中的实际检测数
6、据来分析检验模型的正确性与方法的可靠性。二 问题的分析为了解决实际情况下储油罐的变位识别与罐容量标定问题，本题分为两类问题。问题一中研究的是两端平头的椭圆柱体，模型建立较为简单，但研究的方法思想适用于解决问题二中复杂罐体变位后的情况，即问题一为问题二的解决奠定了基础。问题一中，为了确定罐体变位后对罐容表的影响，首先可以建立数学模型研究无变位情况下的罐体的罐容表，再建立模型研究有变位情况下的罐体的罐容表，然后将以上两种情况下的罐容表绘制成表格进行比较，以确定出罐体变位后对罐容表的影响大小。问题二中，为了解决封头罐体在发生纵向倾斜 角和横向倾斜 角的情况下，罐内油量与油面高度及 、 的关系，首先可
7、以建立坐标系研究纵向倾斜的情况，然后通过研究横向倾斜的情况找到油面高度与横向倾斜角度之间的函数关系，再利用积分原理对封头罐体在纵向倾斜的情况的罐内油量的体积积分，从而建立可以罐内油量与油面高度及纵、横倾斜角的数学模型，然后根据附件中实验数据就能够得到 、 的值，并需要对参与纵向倾斜和横向倾斜两种情况下的罐体的罐容表重新进行了标定。最后再次利用实验数据来分析上述数学模型的正确性和方法的可靠性。三 模型的假设1. 为简化计算，减少标定误差，将储油罐内油位探针、油管等所占体积忽略不计；2. 设油位探针与储油罐壁无滑动，且经过横截面圆心；3. 在测量出的油罐长度和直径都不用考虑壁厚的影响；4. 假设储
8、油罐横向及纵向的倾斜角度均较小（小于 10 度） ；5. 油浮子体积可以忽略，且不考虑油浮子和油位探针之间的摩擦。四 符号说明纵向倾斜角，单位为 横向倾斜角，单位为D底面直径，即为 2RaH油罐液面的实际高度s油浮子显示的高度1油面高度，单位为 m2水平液面高，单位为l储油罐长度，单位为1R椭圆短半轴长，单位为s球冠体的半径，单位为 maS油罐纵截面的扇形面积，单位为 2s油罐依据油浮子高度测出扇形的面积，单位为 2m:储油罐纵截面的两个扇形面积之差，单位为hV球冠体两头的容积，单位为 3b罐身的容积，单位为 m:误报油量体积，单位为 3s显示的油量容积，单位为blx圆柱体罐身左底面在所建立的
9、坐标系上与 轴相交的 x轴的横坐标xr圆柱体罐身右底面在所建立的坐标系上与 轴相交的 轴的横坐标hl左球冠体在所建立的坐标系上与 轴相交的 轴的横坐标hrx右球冠体在所建立的坐标系上与 x轴相交的 x轴的横坐标cl左球冠体的圆心在所建立的坐标系上 轴的横坐标r右球冠体的圆心在所建立的坐标系上 轴的横坐标五 模型的建立与求解5.1 模型一的建立与求解储油罐罐底变形引起的计量误差，是目前能全国从事油品储存加工企业急需解决的一个问题。为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图 1 的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体）的简化模型，分别对罐体无变位和倾斜角为 的纵向4.1变位两种情况进行数学建模分析。
10、5.1.1 小椭圆无变位的情况（即纵向倾斜角为 ）0设小椭圆柱形储油罐的长 （即 ） ，侧截面椭圆的长半轴长为 ，l(0.425)m2R短半轴长为 ，以椭圆的中心为坐标原点，长、短半轴所在的直线为 轴、1R x轴，建立空间直角坐标系 1，如图 1 所示。y图 1 小椭圆油罐的立体示意图 图 2 小椭圆油罐截面示意图为了方便计算，设储油罐口到油的液面的距离为 ，罐中油的体积为 ，根据dV双重积分原理可得：（1）DVlxy对公式（1）进行整理，得， 2111 110212221112arcsinRdyR Rdldlyy 可得到：长半轴 2R短半轴 1yzx2221111arcsin4RldRdV
11、进一步整理可得：（2）1 1212arcsildR 又由于储油罐口到油面的距离 等于椭圆罐横截面长轴长与罐内油面高度之差。设罐内油面高度为 ，则：h（3）12dRh将（3）式代入（2）式得：（4）1 12112112112arcsinarcsin2RhRhVl hl R 对于问题一小椭圆油罐无变位情况下，求得筒内油的初始高度 。将 ，0h1.2R， ， 数据代入公式（4） ，得2.78R0.452.l0.6V0 00021. .21. . arcsin0.621.hhV 进一步化简得：（5）0 000.6.61.381.2arcsin0.2hh 显然，通过一般代数运算规则很难求解出 。为了解决
12、这个问题，本文采0取以下求解思路：将 微元化，取步长为 ，从 一直取到 （可依据实际情况0h0.1m.14m任意设定范围） 。这样通过计算机处理可得到 的一组数据，然后取最接近0h的数值，所对应的微元量的值作为 。.26V利用 Matlab 软件，通过编程计算可以得到（程序见附录，cx-1）：选出最满足题目要求的数据，可得出：当 时，0.13780.26V即初始筒内油面高度为 ，为了得到小椭圆油罐无变位时期的罐容137.8m表，需要将附件 1 中的实验数据（累加进油量与初始油量之和与油位高度）进行曲线拟合，编程得到拟合曲线（程序见附录，cx-2 ） ，依据拟合出的参数得出容量与油位高度的关系式
13、。公式如下：（6）6322.01.0417.63.9Vhh式中， 、 单位分别为 、 。hLm图 3 拟合后的曲线与原曲线的图像比较利用（6）式，将 从初值 ，步增 ，一直到 ，通过h17.8m10120m编程（程序详见附录，cx-3 ）即可得到无变位时的储容表，部分值如表 1 所示。表 1 小椭圆油罐无变位时的罐容表h(mm) 137.8 142.8 157.8 167.8 177.8 187.8 197.8V(L) 261.969 290.2079 319.2807 338.491 368.3522 398.7948 429.805通过表 1，只要读取油位高度便可以得出此刻储油量的容积。例
14、如，当油位高度显示读数为 时，我们可获知油罐现储油量为 。67.8hm 38.491L5.1.2 小椭圆油罐变位后（即纵向倾斜角不为 ）02.05m水平线0.4m xy图 4 小椭圆油罐纵向倾斜后的立体示意图对图 3 进行横截面分析，画出相关正面示意图。1.2mA WG2HOBCEFKH1P（:图 5 小椭圆油罐纵向倾斜后的正面示意图设 ， ， ， ， （具体位置图 4）WP=HQGF=D1OLC=则有：， ，1(-)cosFDcosP1-()coscosDWFPH整理可得：（7）21tanH采取将倾斜液高 变换为垂直罐底的液高 后，再将 转换为水平状态11下液高 的基本思想。利用变位前油罐横
15、截面的矩形面积等于变位后油罐横截2H面的梯形面积的方法，求出 与 的关系 22H即， （8）tanLN（9）1由图 5，利用三角几何关系可以得出：（10）1cosLFQ（11）112HR将公式（10） 、 （11）代入公式（8） 、 （9）中可得到变位前液高 与变位后液面2H与罐底的距离 之间的关系， 1H即： （12）1122tantancosHR根据椭圆方程21xyR设液面高度 ，有 ，亦即直线为 的直线方程。将 代入椭圆2H12yHB1y方程得：2112HRx对面积进行微分： dAyx又因为 2112yx再利用积分原理，可得出油的体积： 1 2120xRVlHxd整理得到公式（13） ，
16、即： （13）2121212121 sinHRLRL根据公式（13） ，可以先求出水平液面高度 ，再利用公式（12）可求出罐内2油面高度 。1H对于问题一提到的纵向倾斜角度 的具体状态，可将 ，4.10.215V， ， 具体数据代入公式（13） 。10.6R2.892.5L再编程计算（程序详见附录 cx1） ，得出： 。20.4Hm根据公式（12） ，可以算出初始油高 。13.5然后利用无变位小油罐罐容表的解题思路，将 从 递增到 ，h1.120m设定步长为 （程序详见附录 cx2） 。此时计算出的罐容表部分值如表 2 所10m示。表 2 发生纵向倾斜的小椭圆油罐的罐容表（倾斜角度 ）4.h(
17、mm) 411.454 421.454 431.454 441.454 451.454 461.454V(L) 966.1248 1002.6 1039.4 1076.7 1114.5 1152.6变位前后比较的情况见表 3表 3 变位前容积与变位后容积部分数据的对比h(mm) V(l) 411.454 421.454 431.454 441.454V1 1202.2 1242.3 1282.6 1323.2V2 966.1248 1002.6 1039.4 1076.7通过表 3 可知，在浮标尺所示高度一样的情况下，小椭圆油罐变位前比变位后对应的储油量要多。可见，油罐发生变位后，利用原来的罐
18、容表来读数会产生很大误差。因此，我们根据倾斜角度重新标定罐容表的调整是必不可少的。根据上述得出的三个表格的具体数据，我们能够定量的看出罐体变位后对罐容表的影响很大。5.2 模型二的建立与求解5.2.1 以储油罐的实际位置情况，建立直角坐标系 如图 1 所示，XZ, 圆形封头的半径 ，整个罐身与水平面的夹角为 。图中3AO6CF1.5R轴与左、右圆形封头中心的交点为 、 ，倾斜油罐内油的液面X3,0A7,D为 ，以 点为起点向 轴作垂线、与圆形封头的交点为 ，MNXB、 、 、 为圆形封头与罐身的结合点，且 、 与 轴的交点分GHMNGHX别为 、 。右封头中 与 轴的交点为点 。2,0C6,F
19、NXE图 6 封头罐体纵向直角坐标图以储油罐的实际位置情况，建立直角坐标系 如图 6 所示， , XZ3AO圆形封头的半径 ，整个罐身与水平面的夹角为 。图中 轴与左、6CF1.5RX右圆形封头中心的交点为 、 ，倾斜油罐内油的液面为 ，以3,0A7,DMN点为起点向 轴作垂线、与圆形封头的交点为 ， 、 、 、 为圆形MXBGH封头与罐身的结合点，且 、 与 轴的交点分别为 、 。MNGHX2,0C6,F右封头中 与 轴的交点为点 。NE根据以上的分析，建立封头的圆方程为：左封头： 22clszxR（14）右封头： 22crszx（15）建立油面 的方程为：MNtanzh（16）联立方程（1
20、4） 、 （16） ，解出 点横坐标为：22202tan2t4tan1anclcl sclhxRxx （17）联立方程（15） 、 （16） ，解出 点横坐标为：N22202tan2ta4tan1ncrcr crshxhhxx （18）将图 1 所示的整个罐体分首先为 、 、 、 、 、AMBBHGND五个部分，然后利用各个两之间的积分关系对于以上四个部分一一进行积分，以求GHD出各个部分的体积，继而求出整个罐体的油量体积 。V设 、 、 、 、 五个部分所对应的体积分别AMBHGND为: 、 、 、 、 、 ，整个封头的体积为 ，整VMBVGHheadV个罐身（去掉两端封头部分）的体积为 ，利用积分原理公式推到如下：body1 对于 部分，可由下图得到积分关系式。图 7 封头横向截面图 00222AMB=hl hlxxsclVzdRxd2、对于 部分，积分列式如下：先算微元面积积分： 22tan 2SclxhSclRdz dzzyo
