1、- 1 -平均变化率与导数定义一：问题提出问题 1 气球膨胀 率问题： 我们都吹过气 球回忆一下吹气球的过程 ,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢？气球的体积 V(单位: L)与半径 r(单位: dm)之间的函数关系是 34)(rV如果将半径 r表示为体积 V 的函数 ,那么_. 1 当 V 从 0 增加到 1 时,气球半径增加了_.气球的平均膨胀率为_.2 当 V 从 1 增加到 2 时,气球半径增加了_.气球的平均膨胀率为_.可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了思考：当空气容量从 V1增加到 V2时,气球的平均膨胀
2、率是多少? _. 问题 2 高台跳水问题：在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s ）存在函数关系 h(t)= -4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度 v粗略地描述其运动状态?在 5.0t这段时间里， =_在 21这段时间里， v=_探究：计算运动员在 4965t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数 h(t)= -4.9t2+6.5t+10 的图像，结合图形可知， )0(4965h，所以_.虽然运动员在 49650这段时
3、间里的平均速度为 /(0ms，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态结论：平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. 需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；hto- 2 -二平均变化率概念:1上述问题中的变化率可用式子 12)(xff表示, 称为函数 f(x)从 x1到 x2的平均变化率2若设 12x, )(12ff (这里x看作是对于 x1的一个“增量”可用 x1+代替 x2,同样 )(12xffyf)3 则平均变化率为 fy_.思考：观察函数 f(x)的图象(1)平均变化率 12)(xf表示什么? (2)计
4、算平均变化率的步骤：求自变量的增量 x=x 2-x1；求函数的增量 f=f(x 2)-f(x1)；求平均变化率 21()fxf.注意：x 是一个整体符号，而不是 与 x 相乘；x 2= x1+x； f=y=y 2-y1；三典例分析例 1已知函数 f(x)= 2的图象上的一点 ),(A及临近一点),(yB,则 解：例 2求 2xy在 0附近的平均变化率。解：四有效训练1质点运动规律为 32ts，则在时间 )3,(t中相应的平均速度为 - 3 -2.物体按照 s(t)=3t2+t+4 的规律作直线运动,求在 4s 附近的平均变化率.3.过曲线 y=f(x)=x3上两点 P（1，1）和 Q (1+
5、x,1+ y)作曲线的割线，求出当 x=0.1 时割线的斜率.1. 1.2 导数的概念一：问题提出问题 ： 我们把物体在某一时刻的速度称为_。一般地，若物体的运动规律为)(tfs，则物体在时刻 t 的瞬时速度 v 就是物体在 t 到 t这段时间内，当_时平均速度的极限，即 tsvx0lim=_15.69.42ttth二：导数的概念函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是: 0)(limlimxff我们称它为函数 yf在 0处的_，记作 0()fx或_，即_三：求导数的步骤：（即 _变化率）即“一差；二比；三极限” 。三典例分析求 2xy在点 x=1 处的导数.f(x1);)1( 00f
6、fy求 增 量 )(2xx算 比 值 时 ）（ 在求 .)3(0y- 4 -附注： 导数即为函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率；与上一节的平均变化率不同定义的变化形式： = xffyxx )()lim)(li 00；xf= 0li)(lim00 fyx； f= xffx)(li00；0，当 时， 0x，所以 00()()lixff四有效训练1、已知函数 )(xfy，下列说法错误的是（ ）A、 00叫函数增量B、 xffxy)(叫函数在 x0,上的平均变化率C、 )(f在点 0处的导数记为 yD、 x在点 处的导数记为 )(0xf2.若质点 A 按规律 2ts运动，则在 3t秒的瞬时
7、速度为（ ）A、6 B、18 C、54 D、813、设函数 )(xf可导，则 xffx)1(lim0=（ ）A、 1 B、 )13f C、不存在 D、以上都不对- 5 -平均变化率与导数的定义1、函数 2xf在区间 3,1上的平均变化率是（ ）A、4 B、2 C、 4 D、 432、经过函数 xy图象上两点 A、B 的直线的斜率（ 1,5.BAx）为_;函数xy在区间1，1.5上的平均变化率为_3、如果质点 M 按规律 23ts运动，则在时间2，2.1中相应的平均速度等于_4、函数 xy1在 处的导数是_5.已知函数 1)(2xf，分别计算 xf在下列区间上的平均变化率（1）1，1.01 (2
8、)0.9,1 6.已知一次函数 )(xfy在区间-2，6 上的平均变化率为 2，且函数图象过点（0，2） ，试求此一次函数的表达式。7.已知函数 12)(xfy的图象上一点（1，1） 及邻近一点（1+ x， 1(f） ） ，求 x8.将半径为 R 的球加热，若球的半径增加 R，则球 的体积增量_)(34)(32V- 6 -9. 求函数 2xy在 ,31附近的平均变化率，取 x都为 31，哪一点附近的平均变化率最大？ 10、已知自由下落物体的运动方程是 21gts，(s 的单位是 m,t 的单位是 s)，求：（1）物体在 0t到 t这段时间内的平均速度；（2）物体在 时的瞬时速度；（3）物体在 0t=2s 到 st1.2这段时间内的平均速度；（4）物体在 s时的瞬时速度。
