力矩平衡.doc

1、1尖端学生计划培养班第 10 讲教师版10.1 力矩平衡量知识点睛1力矩力的三要素是大小、方向和作用点。由作用点和力的方向所确定的射线称为力的作用线。力作用于物体，常能使物体发生转动，这时外力的作用效果不仅取决于外力的大小和方向，而且取决于外力作用线与轴的距离力臂( )。d力与力臂的乘积称为力矩，记为 ，则 ，如图 1， 为垂直于纸面MFdO的固定轴，力 在纸面内。F力矩是改变物体转动状态的原因。力的作用线与轴平行时，此力对物体绕该轴转动没有作用。若力 不在与轴垂直的平面内，可先将力分解为垂直于轴的分量 和平行于轴的分量 ， 对转动不起作用，这时力 的力矩为 。通常规定 绕逆时方 F MFd向

2、转动的力矩为正。当物体受到多个力作用时，物体所受的总力矩等于各个力产生力矩的代数和。某个力的力矩定义为力臂与力的叉乘，即 rF力矩 是矢量，其方向通常按右手螺旋定则确定：力矩 同时垂直于力臂 与力 ，当右手螺M r旋从 的方向转到 的方向时大拇指的方向即为 的方向 .r M叉乘 = 称“矢量的叉积”，它是一个新的矢量。叉积的大小：abc=absin，其中 为 和 的夹角。意义： 的大小对应由 和 作成的平cbcab行四边形的面积。叉积的方向：垂直 和 确定的平面，并由右手螺旋定则ab确定方向，如图所示。显然， ，但有： = 【注意】转轴可以随意选取，力矩 计算的核心技巧是巧选转轴 ，总的原则是

3、未知力作用线不能通过转轴，其次是其他未知力作用 线尽量 过轴。通常不考虑形变的物体都称作刚体, 刚体平衡必须满足两个条件其一：力的矢量和等于零，即 这就保证了刚体没有平 动.0Fi其二：作用于刚体的力对于矩心 的合力矩也为零，即O0Mi第 10 讲 力矩平衡2 尖端学生计划培养班第 10 讲教师版例题精讲【例 1】 如图所示，将粗细均匀、直径相同的均匀棒 和 粘合在一起，并在粘AB合处用绳悬挂起来，恰好处于水平位置而平衡，如果 的密度是 的 2B倍，那么 的重力大小是 的_倍。AB【 设 长 ， 长 ，那么 所受的重力的力矩为 ， 所受的重力力矩lBlA2AaGl为 ，二者大小相等，符号相反由

4、 、 的密度关系不难推出 ，由此即可列方程2BGBABl解出 AB【例 2】 如图所示，一根重 8 N 的均质直棒 ，其 端用悬线悬挂在 点，ABO现用 的水平恒力作用于 端，当达到静止平衡后，试求：6F（1）悬绳与竖直方向的夹角 ；（2）直棒与水平方向的夹角 。【 受力分析如图：tan = 6 / 8 = 3 / 4，= 37 以 A 点为转动轴，由转动平衡可知: 2LGCosFSin解得：=arctan（2/3）。【例 3】 （03 年北京力学竞赛决赛）如图所示，一个半径为 R 的光滑半球面固定在水平面上，ABC 代表一刚性均匀细杆，它和 A、B 点接触均无摩擦，若图示杆所处的位置是平衡位

5、置，已测出 AC=L，那么图中的 ABC 和水平的角度 可以计算出来为 _。【 此题似乎所给的条件不多，乍看起来无从下手所求的角度应该是用 和 表示的 对杆做受力分析：杆的中点 处有重力， 处指向圆LR心的压力， 处垂直杆方向的 压力这是一个三力平衡问题细杆受B力如图例平衡方程： 12cosin0FisG以 为轴：B1coi2coss0LRR或以 为轴：A2s0LF【 1arcos16R3尖端学生计划培养班第 10 讲教师版【例 4】 （09 清华自主招生）如图所示，均匀直杆一端放在地上，一端斜靠在立方体上（ 入光滑）B作图画出对杆作用力的方向。如果杆长 ，重 ，立方体边长为 ，杆与水平面成

6、角，Lmga具体求出 处弹力 和摩擦力 。AANf【 地面对杆的作用力（弹力和摩擦力的合力，即 为全反力）必和 、 交于一点，如图所示BNmg以 点为轴，有A，cossin2BNaLmg，A，iBf得 ，2sncogLa2isAmN【例 5】 （04 上海交大自主招生）半径为 的匀质半球体置于水平面上，其重心在球心 正下方R O点处 ，半球质量为 。在半球的平面上放一质量为 的物体，它与半球平面C38ROm8m间的动摩擦系数为 ，如图所示，则物体刚要开始滑动时离球心的最大距离为 。0.2【 设临界情况下直径与水平面夹 角，如 图所示。对整体有，3sincos8Rmggx得 tax而对物体有 ，

7、sis8得 ，tn所以 。30.6xR4 尖端学生计划培养班第 10 讲教师版【例 6】 如图所示，一个质量为 、半径为 的球，用长为 的绳悬挂在 形mRRL的直角支架上，支架的重力不计， 长为 ， 长为 ，为AB2C23使支架不会在水平桌面上绕 点翻倒，应在 端至少加多大的力? 【 此题要看清楚相关条件和无关条件整个系 统对 点的力矩只有两个：球的重力力矩，和 端所求的力的力矩球重力力矩为 ，所以Amg点最小应加 的力。A2g【例 7】 如图所示，质量为 的运动员站在质量为 的均匀长板 的中点，mAB板位于水平地面上，可绕通过 点的水平轴无摩擦转动板的 端系A有轻绳，轻绳的另一端绕过两个定滑

8、轮后，握在运动员的手中。当运动员用力拉绳子时，滑轮两侧的绳子都保持在竖直方向，则要使板的端离开地面，运动员作用于绳的最小拉力是_。B【 此题重点在于选对受力分析的对象。我 们要求的是绳中的拉力，与绳相互作用的物体有人，长板，和滑轮。滑 轮作为改变拉力方向的装置，不是问题的关键。那么把人和长板一起作为整体进行受力分析，绕 点的力矩共有四个：两个重力力矩，大小均为 ，（设 为长板长度）；两A 2mgl个拉力力矩，一个在 点向上拉，一个在中点（即人手处）向上拉，力矩分别为 和 。列出方B 1T2程即为 ，可解出 。132Tmgl【 有的同学会选择长板作为受力分析对象。 这样也是可行的，不过千万不能忽

9、略人对长板的压力同学们会发现，计算人对长板的压力时，又要对人进行受力分析，这样就分析了两次，不如第一个方法方便。当我们把人和 长板看成一个整体的时 候，就不用考 虑这个整体内部的作用力了。【例 8】 底边长为 、高度为 的长方形匀质物块置于斜面上。斜面和ab物块之间的静摩擦因数为 ，斜面的倾角为 。当 足够小时，物块静止于斜面上如图，如逐渐将倾角增大，当 取某个临界值 时，物块或开始滑动，或翻倒。试分别求出发生滑动和翻0倒时的 ，并说明在什么条件下出现滑动？在什么条件下出现翻倒？【 分别求出开始出现滑动和出现翻倒倒计时的 。01出现滑动设重力 沿斜面与垂直于斜面的两个分力为 与 ，斜面对Gmg

10、 xGy物体的支承力为 ，摩擦力 ，如 时物体开始滑动 如图，必有NFf0，NxFy用 ， 代入，得0sinx0cosy0sincosmgta2出现翻倒如 时物体将要翻倒，则 物体必是绕通过下角处的 轴 翻0 A转如图.这时支承力 与摩擦力 都通过 轴，不 产生对 轴NFf5尖端学生计划培养班第 10 讲教师版的力矩.翻倒的临界条件是 2xybaG可得 00sincosmgtab因此，得出结论：如 ，则当 增大至 时物块开始滑动。如 ，则当 增大至 时abarctnaarctnb物块开始翻倒. 的情况，不要求 讨论。10.2 运动学、静力学复习例题精讲选择题（16 小题，每题 4 分，共 64

11、 分）【例 9】 下列各组物理量中，全部是矢量的是A位移、力、加速度、速度B重力、速度、路程、时间C弹力、速率、摩擦力、位移D速度、质量、加速度、压力【 A【例 10】 关于物体运动的速度和加速度的关系，下列说法中正确的是A物体的速度为零，加速度必为零B做匀变速直线运动的物体，当加速度为负值时，必然做减速运动C速度变化量越大，加速度越大D速度的方向可能与加速度的方向不在一条直线上 【 D【例 11】 下列“画阴影” 的物体受力分析正确的是A接触面光滑 B光滑斜面 C物体冲上粗糙斜面 D一起向右匀速【 BD6 尖端学生计划培养班第 10 讲教师版【例 12】 三个力大小分别为 、 、 ，则它们合

12、力的最小值为6N104A B C D042N8N【 A【例 13】 物理关系式不仅反映了物理量之间的关系，也确定了单位间的关系，则根据单位间的关系可以判断物理关系式是否可能正确。某组同学在探究“声速 与空气压强 和空气密度vP的关系” 时，推导出四个空气中声速的关系式，式中 为比例常数，无单位。则可能正确 k的关系式是A B C DPvk声 2Pvk声 Pv声 v声【 A【例 14】 物体做直线运动的速度图象如图所示，则A6s 内物体做匀变速直线运动B第二个 2 s 内物体做匀变速直线运动C3s 末物体的瞬时速度为 0，且改变运动方向D4s 末物体的瞬时速度大小为 4 m/sE物体 6s 内的

13、位移为 0F物体前 3s 内的位移为 6 mG物体前 4s 内的位移为 4 m【 BCDEFG【例 15】 一汽车以 的速度沿平直公路匀速行驶，突然发现前方有障碍物，立即刹车，汽车20/s以大小是 的加速度做匀减速直线运动，则刹车后 内与刹车后 内汽车通过的位移之5 2s5s比为A B C D1 34 31 43【 B【例 16】 一颗子弹沿水平方向射来，恰穿透固定在水平面上三块相同的木板，设子弹穿过木板时的加速度恒定，则子弹穿过三块木板所用的时间之比【 (32):(1):【例 17】 在下图所示的三种情况中，砝码的质量均为 ，不计一切摩擦和弹簧秤的重力，则三M个弹簧秤的示数 、 、 的关系是

14、1T237尖端学生计划培养班第 10 讲教师版A B123T132TC D【 A【例 18】 如图所示，重力为 的物体在水平面上向右运动，物体与水平面的运动摩擦系数为10N，与此同时物体受到一个水平向右的力 ，那么物体受到的合力是0.2 10NFA ，水平向左 B ，水平向右3N3C ，水平向右 D ，水平向左1【 D【例 19】 如图所示，一个大人单独提起一桶水和两个小孩共同提起一桶水，则下列说法中正确的是A大人的拉力可以看作两个小孩拉力的合力B大人的拉力一定等于两个小孩拉力的大小之和C两个小孩两手臂夹角 越大，则小孩的拉力越小D两个小孩两手臂夹角 越大，则小孩的拉力越大【 AD【例 20】

15、 如图所示，在粗糙水平面上有质量为 的物体，被一劲度系数为m的轻弹簧连接在左侧墙上，物体在 点静止时，弹簧恰为自然长度；k O物体只有在 、 之间才能处于静止状态，则下列说法中正确的是ABA物体静止在 之间时，离 越近，受到的摩擦力越小B物体静止在 之间时，离 越近，受到的摩擦力越大C物体在 之间运动时，受到的摩擦力方向一定向右OD用水平拉力将物体从 位置块速拉到 位置，在此过程中，物体受到地面的摩擦力保持B不变【 AD【例 21】 如图所示，重物 沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车 沿斜面升Mm高，当滑轮右侧绳与竖直方向的夹角为 ，且重物下滑的速度为 时，v小车的速度 是多少？v【 【 cosv

16、8 尖端学生计划培养班第 10 讲教师版【例 22】 （2011 江苏 3）如图所示，甲、乙两同学从河中 点出发，分O别沿直线游到 点和 点后，立即沿原路线返回到 点， 、ABA分别与水流方向平行和垂直，且 。若水流速度不变，OB=AB两人在靜水中游速相等，则他们所用时间 、 的大小关系为t甲 乙A B乙甲【 B二、计算题（共 3 大题，共 36 分。第 17 题 8 分，第 18 题 12 分，第 19 题 16 分，解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步 骤。只写出最后答案的不能得分。有数 值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位）【例 23】 如图所示，有一细绳的 点挂一重物 。

17、细绳的两端分别固定在墙面上，使绳的 段CPAC保持水平， 段与水平方向成 角，已知细绳最大能承受 的拉力，那么 点所挂重B30 20N物最重为多少?【 10N【例 24】 质量 的木块放在水平木板上，在 的水平拉力作用下恰好能沿水平面匀速2kgm14NF滑行，则木块与木板之间的滑动摩擦因数为多少？若将木板垫成倾角为 斜面，如图o 37所示。要使木块仍能沿斜面匀速向上滑行，则沿平行于斜面向上的拉力 应多大？（已知2F， ， ） cos37=0.8sin370.621m/s【 0.215.N【例 25】 （2012 北京 23）摩天大楼中一部直通高层的客运电梯，行程超过百米。电梯的简化模型如图 1 所示。考虑安全、舒适、省时等因素，电梯的加速度 随时间 变化的。已知电梯at在 时由静止开始上升， 图像如图 2 所示。电梯总质量 。忽略一切阻0tat 32.01kgm力，重力加速度 取 。g210m/s（1）求电梯在上升过程中受到的最大拉力 和最小拉力 ；1F2（2）类比是一种常用的研究方法。对于直线运动，教科书中讲解了由 图像求位移的方法。vt请你借鉴此方法，对比加速度和速度的定义，根据图 2 所示 图像，求电梯在第 1sa内的速度改变量 和第 2s 末的速率 ；1v2v9尖端学生计划培养班第 10 讲教师版【 略