1、储油罐的变位识别与罐容表标定2010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）：
2、我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2010 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定2008 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号储油罐的变位识别与罐容表标定1储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文是与储油罐的变位识
3、别与罐容表标定相关的数学问题。问题一中，我们运用高等数学中的微元的思想，分别建立了储油罐在变前位、变位后的数学模型，并对其求解，得出变位前与变位后，在相同油高下，间隔为 1cm 的罐容表标定值（详见 39 页）。油体高度 )(cm变位后的体积 )(L变位前的体积 )(L1 21.60 16.17182 22.20 24.4621 109 3658.10 3786.6620110 3687.70 3809.9516通过对变位前、变位后标定值的对比，在 时得出倾斜对罐容表的影响为：1.4倾斜之后的油罐，油体体积的标定值在任意高度下都要比倾斜之前标定体积要小。当储油罐内装油过多或过少时，倾斜对油体体
4、积的标定值影响较小；当储油罐内油面深度接近罐体中线时影响最大。问题二中，储油罐发生纵向变位的同时还发生横向变位。通过几何分析找出倾角、偏角与油体高度间的函数关系。按照问题一中的分析方式，利用微元法得到体积 与V深度 、纵向倾角 和横向偏角 的关系式 ，但方程比较复杂，不能够h),(hfV得到解析解。因此我们采用近似算法，找出相邻油层间的体积 ，利用最优化理论得iV到 、 的最优解， ，再将 代入上述关系式中求解，即得到483.1,056.2,罐体变位后油位高度间隔为 的罐容表标定值。 (详见 41 页)cm高度 )(c标定值 )(3高度 cm标定值 )(340 3.681836 260 58.
5、423950 5.415106 270 60.253360 7.358329 280 61.851我们用 和高度 算出体积，计算出理论出油体积，与实际出油体积作对比，算出,h相对误差均值在 0.1%左右，证明我们模型的准确性较高。最后，我们用蒙特卡洛法对模型中的高度 进行扰动时，发现对高度添加一个服h从正态分布 随机扰动值时产生的相对误差与 的值产生的相对误差在一),0(2N,个数量级。从而证明了我们所建立的模型具有较好稳定性。储油罐的变位识别与罐容表标定2一、问题重述（略）二、问题分析加油站的地下储油罐通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高和储
6、油量的变化情况。罐体发生变位后会发生纵向倾角 和横向偏角 ，影响油浮子的位置，致使读出的油位高度与实际高度不符，从而导致罐容表发生改变。通过对附表 1 数据的分析，可以看出进油曲线和出油曲线完全重合，即没有漏油存在，且流量计读数完全正确。我们不考虑温度、压力及不计浮盘上下浮动对罐内油量体积的影响，但要考虑到油罐内有注油管道和出油管道（未达油罐底部）以及油位探测管道（焊接至油罐底部），会占一部分体积。考虑到在实际情况中，压力及温度对油罐变形的影响，为确保安全储油罐不可能完全装满，也不可能在油量很少的情况下供油，且储油罐的变位不可能很大，纵向倾角 和横向偏角 都在小范围内。简化的储油罐如下图，我们
7、只考虑在油量在阴影部位的情况。简化的储油罐2.1 对问题一的分析：我们首先找出油罐倾斜前、倾斜后体积与倾角，高度间的函数关系， ， 罐 体 倾 斜未 倾 斜， 罐 体0,),(hfV然后通过互相对比得出倾角对罐容表的影响程度。未倾斜的油罐： Lhdl储油罐的变位识别与罐容表标定3如图：对于横截面为椭圆形的储油罐，封闭的罐体内油面为水平面，在统一的坐标系下，油罐内处处油体深度 相等，且处处横截面面积相等。只需计算出任一截面h面积 ，并对其长度方向积分即可求出体积 。通过得到的体积与高度间的S dlSVL关系式，即可得到任意高度时储油罐中的理论储油量。但实际中储油罐内含有输油、进油管道等其他影响油
8、体体积的因素。其标定值可能不等于理论值。我们通过修正得到它们之间的差值，从而找到正确的标定值。倾斜的油罐：罐体纵向倾斜时，油深不再是处处相等，各截面面积也此时倾角 、油体高度对体积 都有影响。我们打算通过微元法建立他们的函数关系，对其进行积分求解。hV同样找出修正值，从而得出油罐倾斜时的正确标定值。2.2 对问题二的分析：附件 2 中给出的数据是在倾角和偏角同时影响下的实际检测数据。同时考虑倾角和偏角对罐容表标定的影响，为了简化数学建模的求解，我们分为两步求解，为此我们首先考虑横向偏转的情况，找出偏转之后油体的实际高度 与读数高度 、偏转角thh之间的函数关系。将读数高度用偏转角和油体实际高度
9、的函数表达，即建立： ),(thf这样既可将偏转后实际油体高度转为读数高度，再考虑纵向变位时，就可将问题转化为问题一的情况。从而得到 的关系式。),(1fV但问题二中的储油罐的主体是圆柱体，两端为球冠体。这就使得建立积分方程比较复杂，无法得出解析解。我们采用两种方法来解决这个问题。1. 对积分方程进行数值解；2. 采用近似法求得两油层间体积的近似解，步骤如下：1）首先找出液面所在的截面面积与高度、变位角度之间的函数关系；2）取上下两层距离为 的两油层，相邻高度的体积可以用一个近似柱体来代替，h其计算公式为： hSV21储油罐的变位识别与罐容表标定4表示上层油面面积， 表示下层油面面积， 表示两
10、油层间的间距1S2Sh3）由题中所给数据，得到相邻高度间的采集出油量 ，用最小二乘法思想建V立优化模型，可得到 的估计值。把高度 h、 代入积分函数，便可以算出任意高, 和度体积。 ),(fV从而给出油位高度间隔为 的罐容表标定值。cm10相比之下，第二种方法比第一种方法更易编程实现，因此我们采用第二种方式进行建模。三、模型假设1、流量计所测数据准确；2、储油罐为刚体，即油罐不会变形3、忽略因温度变化而对油体容积的影响；4、不计油品的静压力作用而引起得油体的膨胀和收缩的容积；5、油浮子与标尺为点接触，不会因为油浮子影响油体体积；6、罐体发生变位时纵向倾角的取值范围为 ，横向偏角 的取值范围)5
11、,(为 ),0(四、符号说明-出油罐内油体的读数高度h-油体的实际高度t-椭圆的长半轴a-椭圆的短半轴b-储油罐的长度L-按照读数高度得出的油罐内油体体积V-纵向倾角-横向偏角-椭圆横截面面积A-两相邻为 的油层间的体积iV储油罐的变位识别与罐容表标定5-上层油面面积1S-下层油面面积2-两油层间的间距h-真实体积tV部分变量在使用时说明五、模型的建立与求解5.1 问题（一）微分方程模型5.1.1 油罐未变位时的模型根据对前面对问题一的分析，首先建立了未变位时，储油罐内油量与油位高度的数学程模型1。建立如图 5.1 的坐标系，设油罐内液面高度为 ，为恒定值；椭圆的长半轴为h,短半轴为 ，ma8
12、9.0mb6.0xyh简化小椭圆储油罐AAAA图 5.1椭圆轨迹方程为：(5.1)12byax对半弓横截面（阴影部分）进行积分得出面积：(5.2)dyxhSb|)(由（1）式得出 为：之 间 的 关 系与 y,abx(5.3)1(2byax将(3)式代入（2）式得：(5.4)dyhShb2)(储油罐的变位识别与罐容表标定6积分后可得： (5.5)abhbhhS arcsin)(12)( 2面积再乘以长度即为体积：(5.6)LbLV arcsi)()( 2其中， 半弓椭圆横截面面积， 表示油罐长度， 表示油罐内油体体积。)(hS V代入已知值 以及变值 ，用 求解得出结果部分见表 1，详见附录
13、1。ba,hMatlb累加进油量/L实际累加体积/L油位高度/mm 油高/m计算体积/m3实际体积/m3 差值50 312 159.02 0.15902 0.32288259 0.312 0.01088259100 362 176.14 0.17614 0.374633034 0.362 0.012633034 3657 3919 1152.36 1.15236 4.055613768 3.91891 0.1367037683707 3969 1193.49 1.19349 4.107362128 3.96891 0.138452128累加出油量/L实际累加体积/L油位高度/mm 油高/m计算
14、体积/ m3实际体积/ m3 差值52.72 3916 1150.72 1.15072 4.052797952 3.91619 0.136607952102.7 3866 1123.99 1.12399 4.001049221 3.86619 0.134859221 3653 316.2 160.48 0.16048 0.32720849 0.31619 0.011018493703 266.2 142.62 0.14262 0.275473334 0.26619 0.009283334表 1注：实际累加体积是在罐内油量初值 的基础上累次加上每次进油量得出，计L26算体积是按照上述函数式（5）
15、代值求解的。不考虑其他任何影响因素的情况下，油深应该与高度的关系为（6）式所得积分值。则计算体积应该与实际体积相等，没有差值产生。但由结果可见计算体积与实际体积之间有差值。对题中所给附件 1 中数据分析可知，储油罐在 13:20 以前一直不间断进油，储存油量到达最高值，之后一直出油，油量减到最低值。差值按照先增后减的趋势排列。我们考虑差值与油深间存在着对应关系，利用 拟合函数找出它们间的Matlb关系式：（5.7）0123.35.)(hf储油罐的变位识别与罐容表标定7并求出相关系数 ，相关系数越接近 1，说明线性关系很强。将计算值973.02R减去差值得出正确值，该值与真实值十分贴近。这也验证
16、了我们前面的分析，即不可忽视油罐内的注油管道和出油管道（未达油罐底部）以及油位探测管道（焊接至油罐底部）占去的体积。算出的油体体积与真实值不符，它们之间有一个差值即真实体积=计算体积-差值，联系（6） （7）式： )(Vhft根据此式可计算出未变位时，油位高度间隔为 的罐容表标定值（见表 2 详见cm1附录 4）：h（m） V/m3 v（L 升）0.01 0.016172 16.171750.02 0.024462 24.462110.03 0.035545 35.54459 1.07 3.737055 3737.0551.08 3.762343 3762.3431.09 3.786662 3
17、786.6621.1 3.809952 3809.952图 5.2 出油量和进油量误差排序后的拟合曲线储油罐的变位识别与罐容表标定8表 2 未倾斜时罐容表标定值5.1.2 油罐发生纵向变位时的模型：图 5.3建立如图 5.3 的三维坐标。设通过油位计读出的油深为 ；某一微小截面处油深h为 ， 值不恒定，随着油深改变；已知椭圆的长半轴为 ；短半轴为h ma89.0；油罐逆时针变位 纵向倾角 。mb6.0 1.4如图 5.3 在区间 内任意去某一处微小段，同时用与底面平行的平面与0,2.5Y液体面相截，得到图中阴影部分微元面积元的体积：(5.8)z)(ydhS由上述（5）中推出的弓形面积共识式可知：(5.9)abhbhS arcsin)(12)( 2, , , 之间的几何关系见下图, 为已知数据：hZ mdf05.,4.fdZhh(5.10)tan)(zh
