1、中小学教育资源交流中心 http:/ 提供椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。2. 焦半径及焦半径公式：椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。对 于 椭 圆 ， 设 ， 为 椭 圆 上 一 点 ， 由 第 二 定 义 ：xaybPxy210()()左 焦 半 径 左 左rxcrecaex02020右 焦 半 径 右 右racxrex2003. 椭圆参数方程问题：如图以原点为圆心，分别以 a、b（ab0）为半径作两个圆，点 B 是大圆半径 OA与小圆的交点，过点 A 作 ANOx，垂足为 N，过点 B 作 BNA
2、N ，垂足为 M，求当半径 OA绕 O 旋转时点 M 的轨迹的参数方程。解： 设 点 的 坐 标 是 ， ， 是 以 为 始 边 ， 为 终 边 的 正 角 ， 取 为Mxy()OxA参数。中小学教育资源交流中心 http:/ 提供那 么 xONAyMBxayb|cosincosin()1这 就 是 椭 圆 参 数 方 程 ： 为 参 数 时 ， 称 为 “离 心 角 ”说明： 对上述方程（1）消参即xaybxybcosin21普 通 方 程由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。4. 补充 名 称 方 程 参 数 几 何 意 义 直 线 xty0cosin()为 参 数
3、Pxy00()， 定 点 ， 倾 斜 角 ,tP0，P（ x， y） 动 点 圆 arbsi()为 参 数 A（ a， b） 圆 心 ， r半 径 ， P（ x， y） 动 点 ， 旋 转 角 椭 圆 xycoin()为 参 数 a长 半 轴 长 ， b短 半 轴 长 离 心 角 不 是 与 的 夹 角()OMx 一 般 地 ， 、 取 ，02 5. 直线与椭圆位置关系：（1）相离xaybkxb21中小学教育资源交流中心 http:/ 提供 相 离 无 解xaybk21求椭圆上动点 P（x，y）到直线距离的最大值和最小值，（法一，参数方程法；法二，数形结合，求平行线间距离，作 ll 且 l与椭
4、圆相切）关于直线的对称椭圆。（2）相切 相 切 有 一 解xaybk21 过 椭 圆 上 一 点 ， 的 椭 圆 的 切 线 方 程 为Pxyxayb00 021() ()312相 交 有 两 解abykx弦长公式：|()()ABxy121241kx212|2ka|中小学教育资源交流中心 http:/ 提供【典型例题】例 1. 已 知 ， ， 是 椭 圆 的 右 焦 点 ， 点 在 椭 圆 上 移 动 ， 当AFxyM()23162|MA|2|MF|取最小值时，求点 M 的坐标。分析： 结 合 图 形 ， 用 椭 圆 的 第 二 定 义 可 得 |MAFPA2这里|MP| 、 |AP|分别表示
5、点 A 到准线的距离和点 M 到准线的距离。解：设 直 线 是 椭 圆 的 右 准 线 ， ， 垂 足 为 ， 则 ，l Pl eM|1| |MFabcePF， 由 已 知 方 程 得 ， ， ， ， 由 此 得423122|， 从 而 得|AMPAAA， 即 当 点 、 、 三 点 共 线 且 是 内 分 点时 ， 等 号 成 立 ， 此 时 取 得 最 小 值 ， 点 的 坐 标 为 ，| ()FM223例 2. 椭 圆 的 焦 点 为 、 ， 点 为 其 上 的 动 点 ， 当 为 钝 角xyPFP212 1294时，点 P 横坐标的取值范围是_。（2000 年全国高考题）分析：可先求F
6、 1PF290时，P 点的横坐标。解：法一 在 椭 圆 中 ， ， ， ， 依 焦 半 径 公 式 知 ，abcPFx325351| |PFxFP2 121221235， 由 余 弦 定 理 知 为 钝 角中小学教育资源交流中心 http:/ 提供()()()3535295352 2xxxx， 应 填法二 设 ， ， 则 当 时 ， 点 的 轨 迹 方 程 为 ，PyFPPy12 205由 此 可 得 点 的 横 坐 标 ， 点 在 轴 上 时 ， ； 点 在 轴 上xxFP35012时 ， 为 钝 角 ， 由 此 可 得 点 横 坐 标 的 取 值 范 围 是FPPx12 35小结：本题考查
7、椭圆的方程、焦半径公式，三角函数，解不等式知识及推理、计算能力。例 3. 过 椭 圆 内 一 点 ， 引 一 条 弦 ， 使 弦 被 点 平 分 ， 求 这 条xyMM216421()弦所在的直线方程。分析：本例的实质是求出直线的斜率，在所给已知条件下求直线的斜率方法较多，故本例解法较多，可作进一步的研究。解：法一 设 所 求 直 线 方 程 为 ， 代 入 椭 圆 方 程 并 整 理 ， 得ykx12()()()()41242602kxkx， 又 设 直 线 与 椭 圆 的 交 点 为AyBy xk()1212 122841， 、 ， ， 则 、 是 方 程 的 两 个 根 ， 于 是 ，又
8、 为 的 中 点 ， ， 解 之 得 ， 故 所 求 直 线 方Mxkk1224()程 为 xy240法二 设 直 线 与 椭 圆 的 交 点 为 ， 、 ， ， ， 为 的 中 点 ，AxyBxyMAB()()()121 ， ， 又 、 两 点 在 椭 圆 上 ， 则 ，xy xy1212 12246464012， 两 式 相 减 得 ()()xy yx1212()中小学教育资源交流中心 http:/ 提供即 ， 故 所 求 直 线 为kxyAB12240法三：设所求直线与椭圆的一个交点为 A（x，y），由于中点为 M（2，1），则 另 一 个 交 点 为 ，()4 、 两 点 在 椭 圆
9、上 ， 有 ， xy2 2241646()() 得 ：xy20由 于 过 、 的 直 线 只 有 一 条 ， 故 所 求 直 线 方 程 为ABxy20法四 直 线 方 程 为 xty1cosin代 入 椭 圆 得 ： ()(i)2416022tt 48tcosssn (in)(inco)822tt ， t1222040ssi 8sico ， 12nstan即 ， 故 所 求 直 线 为kxyAB1240例 4. 已 知 椭 圆 ， 在 椭 圆 上 求 一 点 ， 使 到 直 线 ：xyPlxy28 40的距离最小并求出距离的最小值（或最大值）？解：法一 设 ， 由 参 数 方 程 得P(co
10、sin)()则 d|i| |24342其 中 ， 当 时 ，tanmin12d中小学教育资源交流中心 http:/ 提供此 时 ，cosinsinco2313即 点 坐 标 为 ，P()81法二 因 与 椭 圆 相 离 ， 故 把 直 线 平 移 至 ， 使 与 椭 圆 相 切 ， 则 与 的 距 离 ，l ll l 即 为 所 求 的 最 小 值 ， 切 点 为 所 求 点 最 大()设 ： ， 则 由 消 得lxymxymx008292849802 2， 令 ()解 之 得 ， 为 最 大 ， 由 图 得33()此 时 ， ， 由 平 行 线 间 距 离 得Pl()min12例 5. 已
11、知 椭 圆 ： ， ， 是 椭 圆 上 一 点ExyPxy2516()()12求 的 最 大 值xy（2）若四边形 ABCD 内接于椭圆 E，点 A 的横坐标为 5，点 C 的纵坐标为 4，求四边形ABCD 的最大面积。分析：题（1）解题思路比较多。法一：可从椭圆方程中求出 y2 代入 x2+y2，转化为x x的 二 次 函 数 求 解 。 法 二 ： 用 椭 圆 的 参 数 方 程 ， 将 、 代 入 ， 转 化 为 三 角问 题 求 解 。 法 三 ： 令 ， 则 利 用 圆 与 椭 圆 有 公 共 点 这 一 条 件 求 的 最xyr r22 2值，解题时可结合图形思考。得最大值为 25
12、，最小值为 16。题（2）可将四边形 ABCD 的面积分为两个三角形的面积求解，由于 AC 是定线段，故长度中小学教育资源交流中心 http:/ 提供已定，则当点 B、点 D 到 AC 所在直线距离最大时，两个三角形的面积最大，此时四 边 形 的 面 积 最 大 。 求 得AC20解：() ()125161652法 一 由 得 ，xyx则 ，xy2229() 的 最 大 值 为 ， 最 小 值 为2516法 二 ： 令 ，xy4cosin则 ，22225169165icos法 三 令 ， 则 数 形 结 合 得 ，xyrr（2）由题意得 A（5，0 ），C（0，4），则直线 AC 方程为：4x
13、5y200， 又 设 ， ， 则 点 到 直 线 的 距 离BBAC(cosin)d12024142012041|i|sin()|同 理 点 到 直 线 的 距 离DACd204 四 边 形 的 最 大 面 积 S|()12例 6. 已 知 椭 圆 ， 是 椭 圆 上 两 点 ， 线 段 的 垂 直 平xaybABAB20()分线与 x 轴相交于点 P（x 0，0）。求 证 ： a22（1992 年全国高考题）分析： 本 题 证 明 的 总 体 思 路 是 ： 用 、 两 点 的 坐 标 、 及 、 来 表 示 ，ABxabx120中小学教育资源交流中心 http:/ 提供利 用 证 明221
14、axa证明：法一 设 ， 、 ， ， 由 题 意 知 且 ， ，AyBxyxPx()()()12120由 得 |PBx0112又 、 两 点 在 椭 圆 上 ， ，ybxaybxa12221()()代 入 整 理 得 ，210212()()x ， 有 xab120122又 ， ， 且 axx121 22xa由 此 得 bb02法二 令 ， 则 以 为 圆 心 ，|PArrxyr为 半 径 的 圆 的 方 程 为 ()022圆 与 椭 圆 交 于 、 两 点xaybAB21由 、 消 去 整 理 得 axxrb220220由 韦 达 定 理 得 ，xba1202() aba20法三 设 ， 、
15、， ， 的 中 点 为 、AxyBxyAMmn()()()12 ，mn12中小学教育资源交流中心 http:/ 提供又 、 两 点 在 椭 圆 上 ，ABxaybxayb1221则 两 式 相 减 得 ()()()12121220将 及 ， 代 入 整 理 得 ：yxmxnmyn1201212abab02122， 下 略这种解题方法通常叫做“端点参数法”或叫做“设而不求”。例 7. 设 椭 圆 的 中 心 是 坐 标 原 点 ， 长 轴 在 轴 ， 离 心 率 ， 已 知 点 ，xeP32032()到 这 个 椭 圆 上 的 点 的 最 远 距 离 是 ， 求 这 个 椭 圆 的 方 程 ，
16、并 求 椭 圆 上 到 点 的7距 离 等 于 的 点 的 坐 标7解法一：设椭圆的参数方程为xaybabcosin( )， 其 中 ，02由 ， 得e22134()设 椭 圆 上 的 点 ， 到 点 的 距 离 为xyPd则 d223()ab2cosin)中小学教育资源交流中心 http:/ 提供3124322bb(sin)如 果 即1那 么 当 时 ， 取 得 最 大 值si ()()73222db由 此 得 与 矛 盾bb731因 此 必 有 ， 此 时 当 时 ， 取 得 最 大 值21274322dbsin()解 得 ， a1所 求 椭 圆 的 参 数 方 程 是 xycosin由
17、， sincos1232求 得 椭 圆 上 到 点 的 距 离 等 于 的 点 是 ， 与 ，P7312312()()解法二：设 所 求 椭 圆 的 方 程 为 xayb20由 ， 解 得ecab2213412()设 椭 圆 上 的 点 ， 到 点 的 距 离 为xyPd则 d223()aby2223492213()y其 中 ， 如 果 ， 则 当 时bbyb2d27取 得 最 大 值 ()()中小学教育资源交流中心 http:/ 提供解 得 与 矛 盾bb7321故 必 有 当 时 ， 取 得 最 大 值ydb74322()解 得 ，ba1所 求 椭 圆 方 程 为 xy241由 可 求 得
18、 到 点 的 距 离 等 于 的 点 的 坐 标 为 ，yP 17312()小结：椭圆的参数方程是解决椭圆问题的一个工具，但不是所有与椭圆有关的问题必须用参数方程来解决。【模拟试题】1. 已知椭圆xayb210()的焦点坐标是 FcPxy1200()()()， 和 ， ， ， 是椭圆上的任一点，求证： | |PFaexPaex1020， ， 其 中 是 椭 圆 的 离 心 率。2. 在椭圆xy259上求一点 P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。3. 椭圆()()|xy1431022的长轴长是_。4. 椭圆yabFcc2 1200()()()的 两 焦 点 为 ， ， ，离心率e32，焦点到椭圆上点的最短距离为 23，求椭圆的方程。5. 已知椭圆的一个焦点是 F（1，1），与它相对应的准线是 xy40，离心率为2，求椭圆的方程。6. 已知点 P 在椭圆yaxb210()上， F12、 为椭圆的两个焦点，求中小学教育资源交流中心 http:/ 提供 |PF12
