1、方程的根与函数的零点试讲稿赵跃环节一：明确目标教师活动：这节课我们来学习第三章函数的应用。通过第二章的学习，我们已经认识了指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数的图象和性质，而这一章我们就要运用函数思想，建立函数模型，去解决 现实生活中的一些简单问题。方程的根，我 们在初中已经学习过 了，而我 们在初中研究的“方程的根”只是侧重“ 数” 的一面来研究，那么，我 们这节课就主要从“形”的角度去研究方程与函数的关系。环节二：轻松渗透教师活动：请同学们思考这个问题。（板书）一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）与二次函数 y=ax2+bx+c（a 0）有什么联系？学生活动：思考作答。教师活
2、动：他们看起来是不是很相像，当二次函数的值为 0 时，二次函数y=ax2+bx+c（a 0）就变成了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0），那么，他们究竟存 在怎样的内在联系呢? 好的，这节课我们一起来探究方程的根与函数的零点教师活动：板书标题（方程的根与函数的零点）。教师活动：先观察几个具体的一元二次方程和对应的二次函数，板书（x 2-2x-3=0与 y=x2-2x-3）教师活动：容易知道 x2-2x-3=0 的根是 x1=-1，x2=3（板书）函数 y=x2-2x-3 的图像（画出图像）与 x 轴有两个交点（-1，0），（ 3，0）；观察图像，容易得出方程 x2-2x-3=0 的两个
3、 实 数根就是函数 y=x2-2x-3 的图像与 x 轴交点的横坐标。我们再来看第二组方程和对应的函数是不是也存在这样的关系，方程 x2-2x+1=0 的根x1=x2=1 对应 函数 y=x2-2x+1 的图像与 x 轴有一个交点（1，0），再看一下 x2-2x+3=0 与 y=x2-2x+3，我们发现 方程无实数根而对应的函数图像也与 x 轴无交点。板书效果：（1）x2-2x-3=0y=x2-2x-3（2）x2-2x+1=0y=x2-2x+1（3）x2-2x+3=0 y=x2-2x+3教师活动：那么这是几个具体的一元二次方程与相应的二次函数，实际上，上述关系对一般的一元二次方程 ax2+bx
4、+c =0（a 0）和对应的二次函数f（x）=ax2+bx+c（a 0）也是成立的。我们知道 2-4ac，我们有：（板b书）2-4acbf（x）=0 的根 y=f（x）的图像与 x 轴交点0x1 x2（x1，0），（x2，0）=0 x1=x2 （x1，0）无实数根 无交点那么我们可以看出方程 f（x）=0 的根 x 与函数 y=f（x）的图像与 x 轴交点的横坐标 x 是相同的，因此我们把方程 f（x）=0 的根 x 与函数 y=f（x）建立起了关系。对于这样的 x 我们给它取个名字函数的零点。教师活动：接下来，我请位同学给我们的零点下个定义。学生活动：思考作答。环节三：形成概念教师活动：引导
5、学生给出零点定义，（板书）一、函数的零点：对于函数 y=f(x),使方程 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点）。教师活动：我可不可以这样认为，零点就是使函数值为 0 的点？学生活动：对比定义，思考作答。教师活动：结合函数零点的定义和我们刚才的探究过程，你认为方程的根与函数的零点究竟是什么关系？学生活动：思考作答：方程的根与对应函数的零点是一样的。教师活动：这是我们本节课的第二个知识点。板书（方程的根与函数零点的等价关系）。教师活动：如果已知函数 y=f(x)有零点，你怎样理解它？学生活动：思考作答。教师活动：对于函数 y=f(x)有零点，从“ 数”的角度理解，就是方程 f(
6、x)=0 有实根，从“形”的角度理解，就是图象与 x 轴有交点。从我们刚才的探究过程中，我们知道，方程 f(x)=0 有实根和图象与 x 轴有交点也是等价的关系。所以函数零点实际上是方程 f(x)=0 有实根和图象与 x 轴有交点的一个统一体。（板书）二、方程 f(x)=0 有实数根 函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点 函数y=f(x)有零点教师活动：下面就检验一下大家的实际应用能力。例 1：已知函数 y=x+a 的零点是 2，求函数 y=x2+ax 的零点？学生活动：思考作答。教师活动：请同学们看看我们得出的等价关系这个题就迎刃而解了，y=x+a 的零点是 2 则方程 x+a=0 的根
7、是 2，从而 a=-2 代入 y=x2+ax 并令 y=0 解出 x1=0，x2=2则函数 y=x2+ax 的零点是 0 和 2。环节四：探究新知教师活动：我们已经学习了函数零点的定义，还学习了方程的根与函数零点的等价关系，在这些知识的探究 发现中，我 们也有了一些收 获，那我 们来看看能不能解决 的根的存在性问题？学生活动：可受到化归思想的启发应用数形结合进行求解教师活动：这种解法充分运用了我们前面的解题思想，现在最棘手的问题是 y=的图象不会画，那我们能不能不画图象就判断出零点的存在呢？教师活动：我们还是从简单的开始，观察函数 y=x2-2x-3 的图像；我们看到，当 函数图象穿过 x 轴
8、时， 图象就与 x 轴产生了交点， 图 象穿过 x 轴这是一种几何现象，那么如何用代数形式来描述呢？学生活动：通过观察图象，得出函数零点的左右两侧函数值异号的结论.教师活动：好！我们明确一下这个结论，函数 y=f(x)具备什么条件时，能在区间（a,b）上存在零点？学生活动：得出 f(a)f(b)0，则 f(x)在区间(a,b)内就一定没有零点么？3.在什么条件下，函数 yf(x)在区间(a,b)上可存在唯一零点？教师活动：那我们就来解决一下这些问题。学生活动：通过黑板上的图象举出反例，得出结论。1.若函数 y=f(x)在区间a,b上连续，且 f(a)f(b)0，则 f(x)在区间(a,b)内也
9、可能有零点。3.在零点存在性定理的条件下，如果函数再具有单调性,函数 yf(x)在区间(a,b)上可存在唯一零点。环节五：应用所学教师活动：现在我们不用画出图象也能判断函数零点是否存在，存在几个了。那解决 的根的存在性问题应该是游刃有余了，大家看一下 88 页的解决方法。学生活动：看 p88 例 1。教师活动：是不是代入数字来探究出函数值变号从而得有零点继而得出根的呀。那么我们再看一个选择题。例 2：方程 2x+x-2=0 根的存在区间，A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)先转化为函数 y=2x+x-2，将答案代入求函数值看区间端点函数值是否异号，即得，f（0）=-2，f（1
10、）=1，那么在区间（0，1）上有零点，即，方程 2x+x-2=0 根的存在区间A(0,1)。教师活动：本节课的知识点已经在黑板上呈现出来了，但最重要的，也是贯穿本节课始终，起到灵魂作用的却是三大数学思想，即化 归与转化的数学思想,数形结合的数学思想,函数与方程的数学思想.数学思想才是数学的灵魂所在，也是数学的魅力所在，对我们解决问题 起着绝对的指导作用。愿我们每个同学在今后的学 习中体味、感悟、应用、升华！环节六：作业布置P88 练习 2，巩固学生所学的新知识，将学生的思维向外延伸，激发学生的发散思维。思考题：函数 的零点在区间2,3内有零点，如何求出这个零点？设计意图：为下一节“二分法”的学习做准备
