1、一道竞赛题，在、锐角三角形 ABC 中，求得一点 P，使 PA+PB+PC 最短并证明设锐角ABC。 （1）分别以 AB,AC 为一边，向ABC 外作正ABC 和正ACB.连结BB,CC.线段 BB与 CC交于点 P.易知，点 P 即是费尔马点，且 BB=CC=PA+PB+PC.(这里，你讲明了不用证明)。下面的工作即是证明线段 BB(CC)最短。 （2） ，设点 Q 是ABC 内的任一点，连结 AQ,BQ,CQ.以线段 BQ 为一边，向外（点 C方向）作正BQR,连结 RC.易知，CBR+ RBA=CBA=60=RBQ=RBA+ABQ,=CBR=ABQ,又显然有CB=AB,RB=QB.=CB
2、RABQ(S.A.S)=CR=AQ.=折线CRQC=AQ+BQ+CQ.又折线 CRQC线段 CC.(连结两点的所有线中，直线段最短) 。=)AQ+BQ+CQAP+BP+CP. 这即证明了点 P 符合题设，最短。 （注：以上仅供你参考。 ）若点 P 为锐角三角形 ABC 的费马点，且角 ABC=60 度 ，PA=3，PC=4，则 PB 的值为23以 B 为顶点，往 BC 边外旋转 BPC 60 度得到 BDE，根据费马点的定义，以及旋转，有：1) APB=120 度2) BDE=BPC=120 度3) A、P、D、 E 四点共线4) BPD 是等边三角形5) CBE=60 度因为ABC=60 度，所以6) ABE=ABC + CBE=120 度根据 4)、6) 有：7) ABP + DBE=60 度因为ABP + BAP=60 度，所以8) DBE=BAP由 1)、2) 、8) 知道 APB 相似于BDE，于是 AP/BP=BD/DE=BP/CP从而 BP2=AP*CP，即 BP=23
