1、 第 19 章全等三角形 全章考点复习指导一、 知识点解析1、判断正确或错误的句子叫做命题正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题2、命题是由题设、结论两部分组成的题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项常可写成“如果，那么”的形式用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论3、三角形全等的判定：方法 1：如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等简记为 S.A.S.（或边角边） 方法 2：如果两个三角形有两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等简记为 A.S.A.（或角边角）方法 3：如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这
2、两个三角形全等简记为 A.A.S.（或角角边） 方法 4：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等简记为 S.S.S（或边边边）.方法 5（只能用于直角三角形）：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等简记为 H.L.（或斜边、直角边） 课堂精讲一、边角边、角边角 1如果两个三角形有两边及其夹角分别对应_，那么这两个三角形_，简记为_2如果两个三角形的两个角及其_对应相等，那么这两个三角形_，简记_测试点 1 边角边（SAS）判定三角形全等1如图 1 所示，甲、乙、丙三个三角形中和ABC 全等的图形是_(1) (2)2已知在ABC 和A 1B1
3、C1中，AB=A 1B1，A=A 1，要使ABCA 1B1C1，还需添加一个条件，这个条件可以是_3如图 2 所示，已知1=2，AB=AC，求证：BD=CD （要求：写出证明过程中的重要依据）测试点 2 角边角（ASA）判定三角形全等4如图 3 所示，在AOB 和COD 中，AC 与 BD 交于点 O，ABCD，补充一个条件_，得出AOBCOD，理由分别是_(3) (4)5下列说法错误的是（ ）A两条直角边对应相等的两个直角三角形全等B有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等C腰和顶角对应相等的两个等腰三角形全等D等腰三角形的顶角平分线把这个等腰三角形分成的两个三角形全等6如图 4 所示，已知
4、 MB=DN，MBA=NDC，下列不能判定ABMCDN 的条件是（ ）AM=N BAB=CD CAM=CN DAMCN7下列各组条件中，不能判定ABCABC的是（ ）AAC=AC，BC=BC，C=CBA=A，BC=BC，AC=ACCAC=AC，AB=AB，A=ADAC=AC，A=A，C=C精典练习1如图 5 所示，D 在 AB 上，E 在 AC 上，且B=C，那么补充一个条件后，仍无法判断ABEACD 的是（ ）AAD=AE BAEB=ADC CBE=CD DAB=AC(5) (6) (7)2如图 6 所示，ABC 中，B=90，C=30，AB=1，将ABC 绕顶点 A 旋转 180后，点 C
5、 落在 C处，则 CC的长为（ ）A4 B4 C2 D2353如图 7 所示，已知1=2，AC=AD，增加下列条件：AB=AE；BC=ED；C=D；B=E，其中能使ABCAED 的条件有（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个(8) (9) (10)4.如图 8 所示，直线 L 过正方形 ABCD 的顶点 B，点 A、C到直线 L 的距离分别是 1 和2，则正方形的边长是_5如图 9 所示，将AOB 绕点 O 逆时针旋转 90，得到AOB，若点 A 的坐标为（a，b） ，则点 A的坐标为_6如图 10 所示，P 是正三角形 ABC 内的一点，且 PA=6，PB=8，PC=10，若将PAC
6、绕点A 逆时针旋转后得到PAB，则点 P与点 P之间的距离为_，APB=_7如图所示，AC 和 BD 相交于点 E，ABCD，BE=DE，求证：AB=CD8已知如图所示，点 E 为正方形 ABCD 的边 AD 上一点，连结 BE，过点 A 作 AHBE，垂足为 H，延长 AH 交 CD 于 F，求证：DE=CF课堂精讲二、 1如果两个三角形三条边对应_，那么这两个三角形_，简记_2如果两个直角三角形的一条直角边及斜边_，那么这两个三角形全等，简记为_测试点 1 边边边（SSS）判定三角形全等1如图 2 所示中，F、C 在线段 BE 上，若 BC=FE，AB=DE，要利用 SSS证明ABCDEF
7、，补充一条边相等的条件是_(1) (2) (3)2在下列条件中，能判定ABCABC的是（ ）AAB=AB，BC=BC，两个三角形周长相等;BC=A，C=C，AC=BC;CAB=AB，BC=BC，A=A;DA=A，B=B.3如图 2 所示，ABC 中，BC 边与线段 DE 相等，以 D、E为两个端点，作与ABC 全等的三角形，这样的三角形最多可以画出_个，并画出所有的图形测试点 2 斜边与直角边（HL）判定三角形全等4已知在 RtABC 和 RtABC中，C=C=90，下列四组条件：AB=AB，CB=CB；AC=AC，CB=CB；A=A，B=B；A=A，BC=AC，可以用来判定 RtABC 和
8、RtABC全等的有（ ）A1 组 B2 组 C3 组 D4 组5如图 3 所示，CDAB，BEAC，垂足分别为 D、E，BE 与 CD 相交于 O，且1=2，则下列结论正确个数为（ ）B=C；ADOAEO；BODCOE（ASA） ；图中有四组三角形全等A1 个 B2 个 C3 个 D4 个6如图 4 所示，要测量河两岸相对的两点 A、B 的距离，先在 AB 的垂线 BF上取两点C、D，使 CD=BC，再定出 BF 的垂线 DE，使 A、C、E 在一条直线上，可以证明EDCABC，得 ED=AB，因此测得 ED 的长就是 AB 的长，判定EDCABC 的理由是（ ）ASAS BASA CSSS
9、DHL(4) (5)7如图 5 所示，我们可以用三角板来平分一个任意的锐角，在已知AOB 的两边上分别取 OM=ON，再分别过点 M、N 作 OA、OB 的垂线，交点为 P，画射线 OP，OP 就是AOB 的平分线，说明其中的道理8如图 6 所示，将两根钢条 AA，BB的中点 O 连结在一起，使 AA，BB可以绕着 O自由转动，就做成一个测量工件，则 AB的长等于内槽宽 AB，那么判定OABOAB的理由是（ ）A边角边 B角边角 C边边边 D角角边(6) (7) (8)9如图 7 所示，EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O，且分别交 AB、CD 于 E、F，那么阴影部分的面积是矩形 ABC
10、D 的面积是（ ）A B C D15141331010如图 8 所示，RtABC 沿直角边 BC 所在的直线向右平移得到DEF，则下列结论错误的是（ ）AABCDEF BDEF=90 CAC=DF DEC=CF11如图 9 所示，DAC 和EBC 均是等边三角形，AE、BD 分别与 CD、CE 交于点 M、N，有如下结论：ACEDCB；CM=CN；AC=DN其中，正确结论的个数是（ ）A3 个 B2 个 C1 个 D0 个(9) (10) (11)12如图 10 所示，AB=CD，AD、BC 相交于点 O，要使ABODCO，应添加条件为_（添加一个即可） 13如图 11 所示，E=F=90，B
11、=C，AE=AF，给出下列结论：1=2；BE=CF；ACNABM；CD=DN，其中正确的结论是_ （填序号）14如图所示，AB=AD，BC=DC，AC、BD 相交于 E，由这些条件你能推出哪些结论？不添加辅助线和字母，不写推理过程，只写出四个你认为正确的结论15如图所示，在ABC 中，点 D 在 AB 上，点 E 在 BC 上，BD=BE（1）请你再添加一个条件，使得BEABDC，并给出证明.你添加的条件是:_;证明:（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形_创新题型一、探索开放题例 1如图 1，在中，点在上，点在上， （1）请你再添加一个条件，使得，并给出证明你添加的条件是：_证明
12、：（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形：_（只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程） 二、条件组合题例 2如图 2，在ABC 和DEF 中，D、E、C、F 在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选 3 个作为题设，余下的 1 个作为结论，写一个真命题，并加以证明ABDE，ACDF，ABCDEF，BECF已知：求证：证明：三、猜想验证题例 3 如图 3，已知 为等边三角形， 、 、 分别在边 、 、 上，ABCDEFBCA且 也是等边三角形DEF（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；（2）你所证明
13、相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程四、拼图证明题例 4一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下右图形式，使点 B、F、C、D 在同一条直线上（1）求证 ABED；（2）若 PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明FEDCBAFED CBA图 2二知识点解析1、一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题2、如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做
14、另一个定理的逆定理3、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 （简写成“等角对等边” ）4、如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.（勾股定理的逆定理）5、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上.6、线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。测试点 1 互逆命题1命题：“对顶角相等”的题设是_，结论是_，它的逆命题是_，这个命题是_（填“真、假” ）命题2下列命题的逆命题，是真命题的是（ ）A末位数是 5 的整数能被 5 整除;
15、B有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等;C矩形是既对称图形，又是中心对称图形;D两点确定一条线3如图所示，从下列条件：BC=BC；AC=AC；ACA=BCB；AB=AB中取三个为题设，余下一个为结论，请你写出一个正确的命题测试点 2 互逆定理4定理“两直线平行，同位角相等”的逆命题是_，它是_命题（填“真、假”） 5请写出下面定理的逆定理，并证明它的正确性菱形的对角线互相垂直平分6命题“等腰三角形的两腰上的高相等”的逆命题是_7有下列命题：两条直线被第三条直线所截，同位角相等；两点之间，线段最短；相等的角是对顶角；两个锐角的和是锐角；同角或等角的补角相等，其中正确命题的个数是（ ） A2
16、 个 B3 个 C4 个 D5 个拓展创新 如图所示，AB、CD 相交于 E，现给出如下三个论断：A=C；AD=CB；AE=CE 请你选择其中两个论断作条件，另外一个论断为结论，构造一个命题（1）在构成的所有命题中，真命题有_个（2）在构成中的真命题中，请选择一个加以证明测试点 1 角平分线的性质1如图 1 所示，BCAC于 C，BDAD于点 D，请你填写一个适当的条件：_，使 BC=BD.(1) (2) (3)2如图 2 所示，已知 AD 平分BAC，C=90，DEAB，BC=8cm，BD=5cm，则 DE 的长为（ ） A3cm B4cm C5cm D6cm3如图 3 所示，已知方格纸中的
17、每个小方格都是相同的正方形，将AOB 画在方格纸上，请在小方格的顶点上标出一个点 P，使点 P 落在AOB的平分线上测试点 2 线段垂直平分线的性质4如图 4 所示，ABC 中，AB=8，DE 垂直平分 BC，若AEC周长为 13，则AC=_(4) (5) (6)5如图 5 所示的图形中，AC=AD，BC=BD，那么（ ）ACD 垂直平分 AB BAB 垂直平分 CD CCD 平分ACB DACB=ADB=906如图 6 所示，在ABC 中，已知 AB=AC，DE垂直平分 AC，A=50，则DCB 的度数是（ ）A15 B30 C50 D657如图所示，已知：AOB，点 M、N求作：点 P，使
18、点 P 在AOB 的平分线上，且 PM=PN（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 课后测控1如图 7 所示，在 RtABC 中，C=90，BD 平分ABC 交 AC于D，AD=2.2cm，AC=3.7cm，则 D 点到 AB 边的距离是_cm(7) (8) (9)2如图 8 所示，ABC 中，AB=7，BC=10，AC 的垂直平分线交 BC 于 D，交 AC 于 E，则ABD 的周长为_3如图 9 所示，将一个等边三角形剪去一个后，1+2 等于（ ）A120 B240 C300 D3604如图 10 所示，ABC 的外角CBD，BCE 的平分线 BE，CF 相交于 F，则有（ ）AAF
19、 平分 BC BBFBC CAF 平分BAC D以上均不对(10) (11) (12)5如图 11 所示，直线 L1，L 2，L 3表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ）A一处 B二处 C三处 D四处6如图 12 所示，DE 是线段 AB 的垂直平分线，下列结论一定成立的是（ ）AED=CD BDAC=B CB+ADE=90 DC2B7如图所示，已知在ABC 中，AB 与 AC 的垂直平分线分别交 AB 于 D，交 AC 于E，它们相交于 F，求证：BF=FC8如图所示，已知：BD=CD，BFAC，CEAB，求证：点 D 在BAC 的平分线上9某同学探究画直角三角形中锐角的平分线，方法如下：如图所示，在斜边 AB 上取点E，使 BE=BC，作 DEAB，与 AC 交于点 D，则 BD 为ABC 的平分线，这种画法正确吗？请分析拓展创新如图所示，过线段 AB 的两个端点作射线 AM、BN，使 AMBN，按下列步骤画图并回答：（1）画MAB、NBA 的平分线交于 E，AEB 是什么角？为什么？（2）过点 E 作一直线交 AM 于 D，交 BN 于 C，观察线段 DE、CE，有何发现？（3）无论 DC 的两端点在 AM 上如何移动，只要 DC 经过点 E，AD+BC 的值是否有变化，并说明理由
