1、1课 题 相似三角形的性质及判定授课日期及时段教学目的1. 掌握相似三角形的概念以及它的性质并能运用相似三角 形的概念判断两个三角形相似；2. 理解并掌握相似三角形的三个判定并能够利用这些条件判定两个三角形相似。教学内容一、 课堂检测1已知 3 ，则 ， )(4)2(yxx: xy2 ，则 ， 5zyxzzy5323. 若线段 AB=10cm，C 是 AB 的黄金分割点，则较短线段 CB= cm。4.如图，直线 ，已知 AG=1.2cm，BG=2.4cm，EF=4cm ，CD=3cm，则 321/lCH= ，KF= 。5.比例尺为 1：50000 的地图上，两城市间的图上距离为 20cm，则这
2、两城市的实际距离是 公里。6.梯形的两腰 AD，BC 延长后相交于点 M， (1) 如果 AD=3.3cm，BC=2cm，DM=2.1cm，则 MC= cm。(2) 如果 ，AD=16cm，则 DM= cm。95ABCD7. 若 ，那么 ba3ba8. 若 ，求 的值。:21:cc参考答案：1. 1:10 ； 2. 4 ； 3. 4. CH=1 ;KF= 5. 10 6. 101926538147. 8. -235二、知识梳理21. 相似三角形的性质（1）相似图形与相似变换相似图形的本质是形状相同，与图形的大小、位置没有关系。如果两个三角形相同并且大小相同时，它们是全等图形，也就是全等是相似的
3、一种特殊情况。两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形按照一定的比例放大或缩小得到的。（2）相似三角形定义：一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。相似用符号“”来表示，读作相似于。（3）有定义得到相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。（4）相似三角形对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比。注意：求两个相似三角 形的相似比，应注意这两个三角形的前后顺序.全等三角形是相似三角形的特殊情况，它的相似比是 1.2.相似三角形的引理及判定（1）相似三角形的引理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。（2）相似
4、三角形的判定 两角对应相等的两个三角形相似； 两边对应成比例，且夹角对应相等的两个三角形相似； 三边对应成比例的两个三角形相似； 若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。三、重难点讲解例 1、若ABC 与A B C 相似，A=55,B=100，那么C的度数是（ ）A.55 B.100C.25 D.不能确定变式 1：ABC 的三边之比为 346,A 1B1C1ABC,若A 1B1C1中最长的边为 18 厘米,则最短的边长为 。 分析：解：ABC 的三边之比为 3：4：6，且ABCABCABC的三边之比为 3：4：6ABC中最长边
5、长为 18其最短的边长最少边长为 9例 2、把ABC 的各边分别扩大为原来的 3 倍，得到A B C ，下列结论不能成立的是（ ）A.ABCA B CB.ABC 与A B C 的各对应角相等3C.ABC 与A B C 的相似比为 41D.ABC 与A B C 的相似比为 3解析：相似的意义就是图形的扩大或者缩小，相似的三角形，对应角相等，对应边成比例。据此可以判断答案。答案：C变式 2：ABC 的三边长分别为 2、 、 ，A 1B1C1 的两边长分别为 1 和 ，当A 1B1C1 的第三边长05为 时，ABCA 1B1C1。分析：根据三边对应成比例的两个三角形相似，易得相似比为 ：1，故要使A
6、BC 和A 1B1C 的三边成比5例，则第三边长为 = 53例 3、 如图，D 是 AB 上一点，ACDABC，且 ,:2:ADADC=65 0 , B=43 0 .(1)求ACB, ACD 的度数；(2)写出ACD 和ABC 的对应边成比例的比例式，求出相似比。答案：（1）ACB=65 0，ACD=43 0 （2） 23CDBA变式 3：如图，D、E 分别是ABC 的 AB,AC 边上的点，ABCADE.已知 ADDB12, BC9cm，AE=3cm，求 DE 和 AC 的长. 答案：DE=3cm，AC=9cm。例 4、如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中一 边的长是 20cm.在这个草坪的
7、示意图上，这条边长为 5cm,其他两边的长度都为 3.5cm.求该草坪其他两边的实际长度. 分析：只知道实际三角形的一边长是 20cm，对应示意图上那一边还不能确定，所以需要讨论：对应长边 5cm，得到相似比是 4:1，另外两边都是 3.54=14cm。对应腰 3.5cm，得到相似比是 40:7.另外两边分别是：20cm 和 5 = cm。74025cm3.ABCDE4思考几个问题问题一：两个直角三角形一 定相似吗？为什么？问题二：两个等腰三角形一定相似吗？为什么？问题三：两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？问题四：两个等边三角形一定相似吗？为什么 ？问题五：两个全等三角形一定相似吗？为什么
8、？例 5、如图,若ACDB,证明ACDABC；变式 1：已知：ABC 和 DEF 中， A=40，B=80，E=80，F=60.求证：ABCDEF 分析：本题目看似图中的角度不相等，但是根据三角形的内角和等于 1800，会发现几个角度是相等的。例 6、如图,若BAC90,ADBC,则ABCDBADAC.ABCDEF6088405分析：判断三角形相似，首先分析题中的条件，正确选用判定定理，题目条件中没有边之间的比例，那么就想到选用判定定理中第一个，有两个角相等的两个三角形相似。ABC 和DBA 相似，他们首先有一个直角，再找一个角，即发现他们有一个公共角 B，即可证明两三角形相似。DBA 和DA
9、C，有了一个直角相等，另外一个角似乎找不到啦。ABC 和DBA 相似，发现C=BAD。变式 2：如图，在 ABC 中，AD、BE 分别是 BC、AC 上的高，AD、BE 相交于点 F。（1）求证：AEFADC；（2）图中还有与 AEF 相似的三角形吗？请一一写出 。解析：（1）AEB=ADC=90 0，A=A. 所以 AEFADC（2）AEFBDF, ACDBCE , ACDBFD, AEFBCE例 7、 用数学眼光看世界 如图 467，长梯 AB 斜靠在墙壁上，梯脚 B 距墙 80 cm，梯上点 D 距墙 70 cm，量得 BD 长 55 cm，求梯子的长。.分析：实际问题就是将数学知识用到
10、实际中，理解点与线的距离，就是过这点做直线的垂线，那么就出现了直角。设 D 点到墙壁距离交点为 E，B 点到墙壁距离交点为 F，可知：ADE ABF,所以 ,FDAABCDEF6又因为 AD+BD=AB,所以 。BFDEA变式：如图，测量小玻璃管口径的量具 ABC 中，AB 的长是 10 毫米，AC 被分成 60 等份.如果小管口 DE 正好对着量具上 30 份处（DE AB ） ，那么小管口径 DE 的长是 _毫米.解析：相似三角形的问题在实际问题中的应用，能够把它转化到相似上。解：DEABCDECABCD：CA=DE：AB30：60=DE：10DE=5 毫米小管口径 DE 的长是 5 毫米
11、例 8 依据下列各组条件，判定ABC 与ABC是不是相似，并说明为什么：A=120，AB=7 厘米，AC=14 厘米，A=120，AB=3 厘米，AC=6 厘米；AB=4 厘米，BC=6 厘米，AC=8 厘米，AB=12 厘米，BC=18 厘米，AC=24 厘米分析：根据题目中的条件，判断用哪个判定定理判断三角形相似，题（1）是两个边和一个角，角必须是两边的夹角。可知两个三角形是相似的。题（2）是三条边，利用判定定理三，大边对应大边，小边对小边。判断两个三角形也是相似的。例 9 如图， ACBD ，垂足为 C，过 点作 DFAB ，垂足为 F，交 AC于 E点请找出图中所有的相似三角形，并说明
12、理由解析：相似的三角形有AEFDEC, AEFABC, AEFDBF ,ABCDBF, ABCDEC, BDFEDC.例 10 已知：如图，在正方形 ABCD 中，P 是 BC 上的点，且 BP=3PC， Q 是 CD 的中点.ADQ 与QCP 是否相似？为什么？ 7分析：正方形的四边相等，两个三角形的两组对应边成比例，夹角相等的的两个三角形互为相似三角形解答：解：ADQPCQBP=3PC，CP= 14BC= 14CD，Q 是 CD 的中点，CQ=DQ= 12AD CPQD= CQAD= 12，又C=DADQQCP例 11 证明若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直
13、角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似解析：在 RtABC 和 RtABC中，C=C=90， ABAB=ACAC解法一：设 ABAB=ACAC=k，则 AB=kAB，AC=kAC；在 RtABC 和 RtABC中， RtABCRtABC解法二：如图，假设 ABAB，在 AB 上截取 AB=AB，过 B作 BCAC，垂足为 CC=ACB，BCBC；RtABCRtABC， ACAC=ABABAB=AB， ACAC=ABAB又 ABAB=ACAC， ACAC=ACAC，8AC=ACAB=AB，C=ACB=90RtABCRtABC；RtABCRtABC例 12 如图，一艘军舰从点 A向位于正东方向的
14、 C岛航行，在点 A处测得 B岛在 其北偏东 75，航行 75 英里到达点 D处，测得 B岛在其北偏东 15，继续航行 5 英里到达 岛，此时接到通知，要求这艘军舰在半小时内赶到正北方向的 岛执行任务，则这艘军舰航行速度至少为多少时才能按时赶到 岛？解析：BAC=15 0，BDC=75 0，所以ABC=75 0，BC=15 0，所以三角形 ABC 和三角形 BDC 为相似三角形，BC/DC=AC/BC,所以 BC=20半小时内赶到 B 岛，那么速度=20 除以 0.5，得到速度至少大于 40 海里/小时三、课堂习题1. 已知ABC 的三条边长分别为 3 cm,4 cm,5 cm,ABC A B
15、 C ，那么 A B C 的形状是_，又知A B C 的最大边长为 20 cm，那么A B C 的面积为_.图 12. 如图 1，BAD=CAE，B=D，AB=2AD，若 BC=3 cm,则 DE=_cm.93. 下列说法：所有的等腰三角形都相似；所有的等边三角形都相似；所有等腰直角三角形都相似；所有的直角三角形都相似.其中正确的是 (把你认为正确的说法的序号都填上).4. 如图 465，ABCD，AD 与 BC 相交于点 O，那么在下列比例式中，正确的是（ ）A. B.ADOCB BCDAC. D.图 465 图 4665. 如图 466，D 为ABC 的边 AB 上一点，且ABC=ACD，
16、AD=3 cm,AB=4 cm，则 AC 的长为（ ）A.2 cm B. cm3C.12 cm D.2 cm6. 好好想一想如图 451：分别取等边三角形 ABC 各边的中点 D、 E、F，得DEF.,若ABC 的边长为 a.图 451（1）DEF 与ABC 相似吗？如果相似，相似比是多少？（2）分别求出这两个三角形的面积.（3）这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系吗？107. 如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知C 90，AB5cm，BC3cm，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边长。8. 如图所示，四边形 ABCD
17、 是平行四边形，点 F 在 BA 的延长线上，连结 CF 交 AD 于点 E。（1）求证：CDEFAE；（2）当 E 是 AD 的中点，且 BC2CD 时，求证：FBCF。 D C E F A B 答案：1.直角三角形， 96cm 2 2.4 对 3. 1.5 4. 5. C 6. D7. (1)相似，相似比为：1:2 （2）ABC 面积为 ，DEF 面积为 （3）面积比等于相似比的平方。243a216a8. 如图甲，设正方形 EFGH 边长为 x，则 AC4而 CDABAC BC ，得2SABCD125又CEHCAB，得 MEH于是 ，解得：125xx603711如图乙，设正方形 CFGH
18、的边长为 y cm由 GHAC，得： GHACB即 ，解得：y43127xyx6076035， ，即应如图乙那样裁剪，这时正方形面积达最大，它的边长为 127cm9. 相似三角形的识别、特征在解题中的应用。解析：由 ABDC 得：FDCE，EAF DCDEFAE，又 E 为 AD 中点CDADEAE，从而 CDFA，结合已知条件，易证BFBC，FBCF解：（1）四边形 ABCD 是平行四边形ABCDFDCE，EAFDCDEFAE（2）E 是 AD 中点，DEAE由（1）得： CAECDAF四边形 ABCD 是平行四边形ABCDABCDAFBF 2CD，又 BC2CDBCBFFBCF四、课堂小结
19、1.学习了相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。2.有定义得到相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。12PCBA相似三角形对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比。3. 相似三角形的引理及判定（1）相似三角形的引理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。（2）相似三角形的判定 两角对应相等的两个三角形相似； 两边对应成比例，且夹角对应相等的两个三角形相似； 三边对应成比例的两个三角形相似； 若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。五
20、、课后作业1. 选一选（1）下列命题错误的是（ ）A.两个全等的三角形一定相似B.两个直角三角形一定相似C.两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例D.相似的两个三角形不一定全等（2）若 ABC DEF,它们的周长分别为 6 cm 和 8 cm，那么下式中一定成立的是（ ）A.3AB=4DE B.4AC=3DEC.3 A=4 D D.4（ AB+BC+AC）=3（ DE+EF+DF）（3）如图：点 P 是ABC 边 AB 上一点（ABAC） ，下列条件不一定能使ACPABC 的是（ ）A.ACPB B.APCACB C. D.ACBABCP（4）如图，下列条件不能判定 ABC 与 ADE 相似
21、的是（ ）13A. B. B= ADEABCDEC. D. C= AED（5）在ABCD 中，E 在 BC 边上，AE 交 BD 于 F，若 BEEC=45，则 BFFD 等于（ ）A.45 B.54C.59 D.49（6）如图，在 Rt ABC 中， ACB=90， CD AB 于点 D， CD=2， BD=1，则 AD 的长是（ ）A.1 B. 2C.2 D.42. 填空（1）若ABC 的三条边长的比为 356,与其相似的另一个A B C 的最小边长为 12 cm，那么A B C 的最大边长是_.（2）ABC的三边长分别为2、 、 ，A 1B1C1的两边长分别为1和 ，当A 1B1C1的第
22、三边长为 205时，ABCA 1B1C1。（3）如图（3） ，在ABC 中，AC 是 BC、DC 的比例中项，则ABC_,理由是_.（4）如图（4） ，在 RtABC 中，ACB=90，作 CDAB 于点 D，则图中相似的三角形有_对，它们分别是_.图（3） 图（4）3. 如图，在 中， ，BD 平分 ，ABCC2ABC试说明：ABBC = ACCD144. 如图，点 C、D 在线段 AB 上，且 PCD 是等边三角形 .(1)当 AC，CD，DB 满足怎样的关系时，ACPPDB；(2)当 PDBACP 时，试求APB 的度数.5. 如图为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点为 A，
23、再在河的这一边选点 B 和 C，使ABBC，然而再选点 E，使 ECBC，确定 BC 与 AE 的交点为 D，测得 BD=120m，DC=60m ，EC=50m ，你能求出两岸之间 AB 的大致距离吗？6. 在梯形 ABCD 中，A90，ADBC ，点 P 在线段 AB 上从 A 向 B 运动，（1）是否存在一个时刻使ADPBCP ；（2）若 AD4，BC 6，AB10，使ADPBCP ，则 AP 的长度为多少？ A D B C 7. 一个钢筋三角架三边长分别为 20cm，50cm，60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为 30cm 和50cm 的两根钢筋，要求以其中的一根为一边
24、，从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边，写出所有不同的截法？15参考答案：1.（1）B (2) A (3) D (4) A (5) D (6)D 2. (1)24cm （2） （3）DAC ； (4) 3 对， ADC ACB, ADCCDB,BDCBCABC3. ADBABC 和 BD=CD,得到 得 ,ABBC = ACCDDA4. 解：（1）当 CD2=ACDB 时，ACP PDBPCD 是等边三角形PCD=PDC=60ACP=PDB=120若 CD2=ACDB，则根据相似三角形的判定定理得ACPPDB（2）当ACPPDB 时， APC=PBDPDB=120DPB+DBP=60APC
25、+BPD=60APB=CPD+APC+BPD=1205. 两岸间的大致距离为 100 米6. 解：（1）当DPC=90 时PADCBP.(2)当PADCBP 时PBAD=BCAP设 PB=xx4=6(10-x)x-10x24=0（x-4）（x-6）=0当 x-4=0 时 x=4当 x-6=0 时 x=610-4=610-6=4当 AP=4 或 AP=6 时，可以使得PADCBP7. 分析：把 30 厘米作为最长边，50 厘米的钢筋截成 10 与 25 即可，利用三组对应边的相似比相等即可得所求三角形；把 30 厘米作为中长边，50 厘米的钢筋截成 12 与 36 即可，利用三组对应边的相似比相等即可得所求三角形解答：解：两种截法，把 30 厘米的钢筋作为最长边，把 50 厘米的钢筋按 10 厘米与 25 厘米两部分截，则有 ；2160352130 厘米的钢筋作为中长边，把 50 厘米分截出 12 厘米和 36 厘米两部分，16则有 。356012
