1、高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号
2、的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：中国人口增长预测摘要中国乃泱泱人口大国，人口规模是城市规划和土地利用总体规划中一项重要的控制性指标，预测人口模型的合理性，不仅影响到未来地区经济和社会发展，而且会影响到地区生
3、态环境可持续发展。 因此，建立合理的模型，准确地预测未来人口的发展趋势，制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和现实意义。对此，本文通过建立适当的模型，预测出了短期和中长期（到 2050 年）中国人口的变化趋势和走向，并给出了在这段时间内人口结构的具体预测数据和曲线走向，包括总人口数、年龄结构、出生率和死亡率等。在此模型中，为精确预测，我们用到了人口密度、生育率、死亡率、人口总数以及迁出率等影响人口的因数，并将我国人口整合为一个由城市男性、城市女性、城镇男性、城镇女性、乡村男性、乡村女性组成的 1x6 的矩阵。同时用人口密度、生育率、死亡率及迁出率作为参数并结合人口发展偏微分方程，
4、再通过完善和改进，建立了一个一阶偏微分方程的模型。最后以此模型作为基础，进行人口数据的相关预测。对于求解一阶偏微分方程模型中的相关参数，我们首先用 MATLAB 和 EXCEL等软件对题目所给的 2001 年到 2005 年的数据进行处理和适当筛选。在求解生育率时，通过用 MATLAB 的曲线拟合工具箱，经处理和比较，最后选取了高斯分布作为建立求解生育率的模型，合理而精确；在求解死亡率时，用 EXCEL 软件作出了各年各年龄段的折线图，为使模型更加精确和实际，通过观察我们把年龄分为三段，用分段函数概念，分别求解这三段的死亡率，其中在求解第三段（衰老期）时，使用了指数函数模型；在求解迁出率时，考
5、虑城镇化进程对我国人口分布的影响，我们对复杂因素适当简化，建立了理想化的迁出率子模型。在所有参数求到之后，剩下的就是求解模型中的一阶偏微分方程，对此，我们对数据进行离散化处理，化偏微分方程为差分方程，运用计算机模拟的方法预测出相关数据，在这个过程中我们用 MATLAB 编程实现。把通过该模型预测出的结果与国内外专家、学者预测的数据作对比，其在定性趋势与定量分析上的结果基本一致，模型可信度较高。最后，在模型改进中迁出率用阻滞增长模型优化。利用 MATLAB 中 Curve Fitting Tool 拟合出城市化率增长模型，进而用相邻城市化率相减即得迁移率矩阵。此方法求出的迁移率更为精确，使预测结
6、果更为准确。关键词： 人口发展偏微分方程 MATLAB 曲线拟合 阻滞增长模型方程离散化求解 高斯分布一、问题重述中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007 年初发布的国家人口发展战略研究报告(附录 1) 还做出了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录 2 就是从中国人口统计年鉴上收集到的部分数据。试从中国的实际情况和人
7、口增长的上述特点出发，参考附录 2 中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据） ，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。二、问题分析本题是一个人口发展预测的问题。人口发展与一般种群增长一样，是由自然增长率决定的。然而，人类个体是一种社会的个体，所以人口发展有自己的特点。想到人口的迁移，性别比例，城镇化等。同时，人口发展受政策的影响，例如计划生育；也要受到人们意识的影响，像生育意识等。但是从社会层面上看，生育意识在整个社会上体现为妇女的生育模式，进而可以特别地去考虑。首先，数据的处理。在经过 EXCEL 分析和验证
8、后，适当修正题中的个别有误数据后，利用有效数据进行建模求解，在此过程中，我们提取出死亡率、生育率等感念，且把人的一生按年龄分为青年期、衰老期等阶段。这是求解人口增长模型的必要过程和方法。其次，模型建立。和一般的预测模型一样，本模型也是个预测模型，所以考虑到用题目所给的五年的信息，来推测今后几十年的人口的总数和结构情况。对此，我们选用差分方程模型和数据参数拟合等方法。同时，将死亡率与出生率分开分别计算和拟合，通过五年的实际数据拟合出相应函数的参数，再利用此函数进行评估和预测。 最后，利用已有信息以及上述所求出的对应函数和方程，对中短期与长期进行估计和预测，进而得出人口结构、人口比例、人口数量等一
9、系列的相关数据。三、符号说明： 表示最大的年龄；mxi=1,2,3,4,5,6 其中 1 表示市男性， 2 表示市女性，3 表示镇男性，4 表示镇女性，5 表示乡男性，6 表示乡女性；A ：表示婴儿性别比例矩阵；* ：表示点乘；：表示 t 时刻年龄为 x 的人口数量；iP(x,t)：表示 t 时刻年龄为 x 的出生率；ibr：表示 t 时刻年龄为 x 的死亡率；,ideaxt：表示 t 时刻婴儿的死亡率；ik：表示 t 时刻年龄为 x 的人口迁出率；itra(,t)四、模型假设1. 假设国内社会环境稳定，无异常大量死亡或出生情况发生，人口比例，人口总数不会出现突变状况；2. 假设只存在乡向城镇
10、迁出，不存在其他迁移方式，且不同年龄段迁移率相同；3. 假设不考虑国家之间的迁入与迁出，把中国内部看为一个封闭的模型；4. 对于 90 岁以上的人都按照 90 岁处理；5. 假设只存在乡向城镇迁出，不存在其他迁移方式，且不同年龄段迁出率相同，按照 0.6%均匀增长。五、模型建立1.首先为了求解方便，建立了人口数量的向量，死亡率向量，出生率向量，迁移率向量和新生婴儿死亡率向量（以下的符号量见符号说明）：=( ， ， ， ， ， ）,Pxt1,t2,Pxt3,t4,Pxt5,t6,PxtT=( , , , , , ) ()dea()()dea()()dea()(dea=( , , , , , ,b
11、irxt1irt2bixt3irt4bixt5irt6bixtT=( , , , , , )(,)trax1()tr2()tax3()tr4()tax5()tr6(,traxT=( , , , , , ) k2k34k56kT2.由已有的人口模型可知：+ =tra(x,t)+dea(x,t)*P(x,t),PxtPxt,xtPxt使 0， 0，则可得：ttra(x,t)+dea(x,t)*P(x,t)tx又由 1994 到 2005 年的城镇乡点的男女出生比例求平均值可得婴儿出生比例的矩阵 A，即： 0.528047.415900.5 最后结合条件可得人口微分模型:（1）0(,)(,)*(,)
12、(0,)1*,(,)(mxmPtradetPxttxkAbittdPxt将其转化成差分方程可得：0,(,)(,)*,(0,)1*(,)*,(,)mxmPxtxtttraxtdetPxtPtkAbirtPtxt为了求解上述方程，则只需已知出生率，死亡率，迁移率的值，在模型求解中给出了其具体求解的方法。六、模型求解一、 死亡率的求解由不同阶段导致死亡的因素不同，我们将其分成了 3 个阶段婴儿期，青年期和老年期，然后对其分别求解。1衰老期死亡率求解我们通过 matlab 曲线拟合工具箱进行回归分析和数据拟合，经过试验，可以得到指数函数是最理想的，用 matlab 分别作出城男、城女，镇男、镇女、乡男
13、、乡女衰老期的死亡率散点图及拟合曲线如下：城男性人口死亡率拟合曲线图 城女性人口死亡率拟合曲图镇男性人口死亡率拟合曲线图 镇女性人口死亡率拟合曲图 乡男性人口死亡率拟合曲线图 乡女性人口死亡率拟合曲图 经过分析和处理可得最终的参数拟合值如下表：衰老期的死亡率拟合级别 市 镇 乡性别 男 女 男 女 男 女a 0.0828 0.0014 0.04646 0.080328 0.02744 0.02333b 0.1016 0.1487 0.098536 0.104224 0.09723 0.1020于是衰老期的死亡率可以表示为：（与 t 无关） 0.16x1 .4892 0.5x3 .1424 0.
14、973x5 .1260.3edea(x,t).ea(,t)0.6edea(x,t)dx.83ea(,t)0.2e.32. 青年期死亡率求解有其数据可以发现其死亡率与时间几乎没有相关性，故对其求平均值可得其死亡率如下表： 青年期死亡率平均数级别 市 镇 乡性别 男 女 男 女 男 女2001 年 1.1652 0.7419 1.1318 0.64 1.668 0.992002 年 0.8933 0.7696 1.0452 0.3227 1.803 1.182003 年 0.8840 0.6353 1.1439 0.7102 1.625 1.152004 年 0.7937 0.7992 0.815
15、9 0.6577 1.547 0.932005 年 0.8796 0.6511 1.1352 1.1977 1.814 0.93平均值 0.9232 0.7194 1.0544 0.70602 1.6914 1.0363. 婴儿期死亡率求解有附表的数据观察可知，不管男性还是女性，在婴儿期（即零岁）的死亡均比较高，远远高于青年期的死亡率，故不能将其纳入青年期的求解中，应单独对其进行求解。通过对 2001 年到 2005 年的数据进行分析，可以发现婴儿期死亡率没有明显的趋势变化，且每一年都相对比较稳定，因此对其求平均值，如下表：婴儿期死亡率平均数级别 市 镇 乡性别 男 女 男 女 男 女平均值
16、6.1552 6.344 6.4 10.99 19.31 23.936二、 生育率的求解：对于 2001 年到 2005 年的数据，我们通过 matlab 曲线拟合工具箱进行回归分析和数据拟合，经过试验比较，我们得到高斯函数是最理想的，由 MATLAB做出的城镇乡出生率的散点图和曲线拟合线图如下：市人口出生率拟合曲线图镇人口出生率拟合曲线图乡人口出生率拟合曲线图通过 MATLAB 对 2001 年到 2005 年的数据分别拟合，可得 2001 年到 2005 年的拟合参数值，如下表：生育率函数拟合级别 市 镇 乡参数 a1 b1 c1 a1 b1 c1 a1 b1 c12001 127.4 2
17、5.95 4.198 150.4 25.15 4.151 182.3 24.64 4.6212002 113.5 25.98 4.617 148.4 24.76 4.292 177.2 24.65 4.9242003 11.36 25.49 4.519 15.55 24.45 4.495 17.47 24.3 5.1432004 123.6 25.63 4.578 147.1 24.79 4.926 167.1 24.46 5.4632005 95.85 25.48 5.267 134.7 24.12 4.996 154.9 24.33 5.80平均值115.087 25.706 4.636 147.2 24.71 4.572 154.76 24.476 5.190
