1、12014 年理学院第四届“数模杯“数学建模竞赛中国 GDP 是否超过美国摘要自2008 年全球经济危机以来，中国经济何时能超越美国逐渐成为一个热门话题，最近世界银行发布的一份报告声称基于 PPP 统计的 GDP 中国已经超越美国，这份报告更是在国内引起了轩然大波，中国 GDP 真的已经超越美国了么？我们通过数学模型来分析这个问题。对于经济指标经常采用的建模方法是回归分析模型和 ARIMA 模型。本文首先就2014 年中国 GDP 是否超过美国这一问题进行分析整理。取 1990 年至 2012 年的中国 GDP 数据和 1960 年至 2012 年的美国 GDP 数据为样本，通过整理分析数据绘
2、制出 GDP 关于时间的散点图，建立回归模型，计算出 2014 年中国 GDP 预测值为 103890 亿美元，而美国为 167320 亿美元。再比较两国基于平价购买力计算的 GDP 从而得出结论，中国GDP 不会在 2014 年超越美国。对问题二“预测多少年中国人均收入可以达到美国水平”进行分析。考虑到由于两国国民人均收入相差太大，回归分析模型在中长期的预测效果较差，我们使用更精确的ARIMA 模型进行中长期预测。取 1978 年起的中国人均 GNI 数据为样本，使用 ARIMA模型建模，首先确定对样本数据进行平稳性检验。采用 ADF单位根检验来精确判断该样本的平稳性，然后我们通过计算样本截
3、尾性和拖尾性对比表-0 初 步 识 别 ARM模 型阶 数 并 通 过 计 算 进行准确定阶，最终求解得到美国 2012 年人均 GNI 为()BICn46084.4129 美元，对比得到中国在 2037 年才能达到 2012 年的人均 GNI 水平。对问题三如何理解经济体 。考虑到经济体的本义概念范围过于广泛，通过讨论我们决定结合前两问，从 GDP 和人均 GNI 入手，定义资本产出系数 计算的国家通货购买力dQ指数 来衡量“经济体” 。通过对国家通货购买力指数 建立模型，求得相比于美国，eQe中国货币购买力增加较快，但其国民生产能力并未达到与购买力相同的增速，基于PPP 计算的中国 GDP
4、 虽然很高但不能说明中国是一个强大的“经济体” 。从而得出结论，2014 年中国不能超越美国的成为世界“头号经济体” 。最后我2们将计算结果简化叙述为新闻稿。关键词： 回归分析模型 ARIMA 模型 国家通货购买力指数 eQ3资本产出系数 dQ4一、 问题重述来自世界银行（WorldBank）的 201 国际银行 4 年 4 月 29 日的一份报告称“中国今年超越美国成为世界头号经济体”。国际银行的“国际比较计划”列出了各国基于购买力平价（PPP）的 GDP 数据。数据中指出，作为对真实生活成本的估计，购买力平价被认为是比较经济体规模的最佳方式，所以贫穷国家的货币购买力比预期要强。据此计算，中
5、国基于 PPP 的 GDP 于 2011 年已达到美国的 86.9%，加上 2011 至 2014 年 24%的经济增长，对比美国仅增长 7%，中国 GDP 超美今年有望实现。请建立模型从下面几个方面回答问题:1. 2014年中国GDP是5否超过美国?2. 预测多少年中国人均收入可以达到美国的水平?3. 你如何理6解“经济体”的概念? 2014年中国能否超越美国成世界头号“经济7体”?4. 能否写一篇新闻稿阐述你的计算。二、 问题分析在对经济指标进行量化的过程中，需要大量实时数据作为随机变量序列来进行分析拟合，本文数据如无特殊说明均出自世界银行年报。我们通过对数据的分析发现经济指标的特殊性，经
6、济指标往往是基于时间序列的自相关函数，所以我们初步考虑使用回归分析模型或 ARIMA 模型进行拟合。2.1 问题一的分析事实上，由于 GDP 的统计有多种算法，而本次问题设计到宏观 GDP 和基于平价购买力的GDP，在处理问题的时候我们分别对两种 GDP 进行拟合，从而进行比较中美两国GDP。初步考虑使用回归分析模型分析两国 GDP，用 MATLAB 统计工具箱的命令regress 求解从而得到拟合曲线，分别预测两国 2014 年 GDP，比较得到中国 GDP 是否超过美国。考8虑到中国建立起完整的市场经济体制是在 1985 年以后，所以我们取 1990 年至 2012 年的中国 GDP 数据
7、为样本，而美国早在 20 世纪初就已经建立完善的市场经济，我们取1960 年至 2012 年的美国 GDP 数据为样本。2.2 问题二的分析考察人均收入 GNI，但是由于两国国民人均收入相差太大，回归分析模型在中长期的预测效果较差，我们使用更精确的 ARIMA 模型进行中长期预测。取 1978 年起的中国人均GNI 数据为样本，使用 ARIMA 模型建模步骤如下：1) 根据时间序列的散点图、自相关函数和偏自相关函数图以 ADF 单位根检验其方差、趋势及其季节性变化规律，对序列的平稳性进行识别。一般来讲，经济运行的时间序列都不是平稳序列。2) 对非平稳序列进行平稳化处理。如果数据序列是非平稳的，
8、并存在一定的增长或下降趋势，则需要对数据进行差分处理，如果数据存在异方差，则需对数据进行技术处理，直到处理后的数据的自相关函数值和偏相关函数值无显著地异于零。3) 根据时间序列模型的识别规则，建立相应的模型。若平稳序列的偏相关函数是截尾的，而自相关函数是拖尾的，可断定序列适合 AR 模型；若平稳序列的偏相关函数是拖尾的，而自相关函数是截尾的，则可断定序列适合 MA 模型；若平稳序列的偏相关函数和自相关函数均是拖尾的，则序列适合 ARMA 模型。或使用 BIC 估计模型阶数然后建立 ARMA 模型进行预测。4) 进行参数估计，检验是否具有统计意义。5) 进行假设检验，诊断残差序列是否为白噪声。6
9、) 利用已通过检验的模型进行预测分析。2.3 问题三的分析为了更好地用数学方法分析“经济体”这个概念，我们需要确定从哪个方面比较“经济体”具有较高的可信度，结合问题一和问题二，并翻阅文献3 ，我们决定从国家购买力 这一指标来衡量“经济体” 。通过对国家购买力 建立相应的模型，围绕国家购eQeQ买力 对中美两大“经济体”进行比较，从而分析中国是否在 2014 年超越美国成为世界头号“经济体” 。2.3 问题四的分析结合以上三问得出的预测模型叙述即可。三、 问题假设假设：91) 假设样本数据来源准确，忽略数据的测量误差。2) 假设预期过程中没有战争，大型全球性经济危机之类极大影响样本数据的客观因素。3) 假设 GNI 与基于平价购买力计算的 GDP 相互独立。定义：1) 考虑到资本产出系数计算的复杂性，为简化计算并符合实际要求，我们假设资本产出系数定义如下：资本产出系数 ： ， （3-1）dQ1GDPNI转 换 因 子这里GNI为基于本币单位的国民总收入，GDP为基于本币单位的国民生产总10值，PPP为对GDP平价购买力转换因子，因此，上式含义为：用国民总收入减去基于平价购买力计算的国
