1、齐 齐 哈 尔 大 学毕业设计（论文）题 目 一致收敛性及应用学 院 理学院专业班级 数学与应用数学专业 数学 092 班学生姓名 黄晓杰指导教师 郑大钊成 绩 2013 年 6 月 20 日摘要对函数列和函数项级数一致收敛性的研究，是为了解决函数列的极限函数和函数项级数的和函数的分析性质。本文利用定义来简单的介绍一致收敛性，利用柯西一致收敛准则，证明函数项级数一致收敛的判别法。通过研究定理当中，函数列的一致收敛性、函数项级数的一致收敛性以及含参变量广义积分的一致收敛性的一致收敛的充分必要条件、一般性质和判别方法，对比出三者之间的联系。通过例题，说明了一致收敛是和函数的充分分析性质，而不是必要
2、条件。由此我们可以看出，在数学分析教学中，合理恰当的例题会更好的展现出定理。关键词：函数列；函数项级数；含参变量广义积分；一致收敛AbstractStudy the sequence of function and series of functions , is in order to solve the analysis of the nature about limiting function of sequence of functions, and function of the series of functions. Using the definition of simple
3、introduction to the uniform convergence. Using the Cauchy criterion of uniform convergence, Prove discriminance of uniform convergence in series of functions. Through the study of theorem, the necessary and sufficient condition for uniform convergence, general character and discriminant method in un
4、iform convergence of function sequence, uniform convergence of function series and uniform convergence of generalized integral with parameters, contrast between the three contacts. Through examples, instruction the uniform convergence is a full analysis of the nature in function, rather than a neces
5、sary condition. From this we can see that, in the teaching of mathematics analysis, reasonable appropriate examples can show the theorem will be better.Keyword: sequence of function；series of functions；generalized integral with parameters； uniform convergence目 录摘要 .IAbstract.II绪论 .1第 1 章 函数列的一致收敛性 .
6、21.1 函数列的一致收敛性定义1.2 函数列的一致收敛性定理一致收敛的充分必要条件.2函数列一致收敛的性质1函数列一致收敛的判别法3.第 2 章 函数项级数的一致收敛性 .23函数项级数的一致收敛性定义 .25.函数项级数的一致收敛性定理 一致收敛的充分必要条件1.函数项级数一致收敛的性质2一致收敛判别法3.第 3 章 含参变量广义积分的一致收敛性含参变量广义积分的一致收敛性定义1.含参变量广义积分的一致收敛性定理2一致收敛的性质.一致收敛的判别法3结论 .32参考文献 .33致谢 .34绪论本文从函数列、函数项级数、含参变量广义积分三类的一致收敛性的定义出发，来研究一致收敛性的一系列定理及
7、应用。函数列的极限来表示函数是函数表达的一种很重要的手段，特别是表达非初等函数的重要的数学工具。所以，研究函数的解析性质可以利用函数列的解析性质，而函数列的一致收敛性是我们学习的高等数学中的一个比较精细的概念，对于初学者，本文给出了详细的解析。一致收敛是保证和函数连续的重要条件，它也是保证和函数可积和可微的重要条件。函数项级数又是研究函数性质的一个很重要的手段。因此，在自然科学、工程技术和数学本身，函数项级数都有很广泛的应用。同样的，我们讨论含参变量广义积分的分析性质，一致收敛也发挥着重要作用。在数学分析发展迅速的今天，越来越多的数学教育工作者开始研究一致收敛性，并且取得了丰硕的成果。2006
8、 年马雪雅、齐晓波的函数列的收敛与一致收敛中，用函数列的收敛与一致收敛关系讨论数学分析中的收敛问题；2010 年陈妙玲的函数项级数一致收敛判别法将数项级数收敛的一些判别法推广到判别函数项级数的一致收敛上来；2003 年王秀红的含参变量广义积分一致收敛 Heine 定理当中，从二元函数一致极限的角度出发，给出了含参变量广义积分的一致收敛的 Heine 定理的证明及应用。对这些性质的理解与归纳，主要通过与之相关的图书、电子期刊以及所学知识归纳总结得到，本文的重点是一致收敛性的判别方法，并运用这些方法解决常见的数学问题。第 1 章 函数列的一致收敛性函数列的一致收敛性，表现了函数列在整个点集上的整体
9、性质。1.1 函数列的一致收敛性定义定义 1设函数列 与函数 均定义在点集 X 上，若对 0，都存在自然数 Nxfnxf 和 x X，恒有xfn成立，则称函数列 在点集 X 上一致收敛于 。xfn f从定义中可以知道，如果函数列 在点集 X 上一致收敛于 ，那么在点集xfn xfX 上收敛于 。xf定义 12设函数序列 的每个函数 及函数 定义在 上，如果对fn,21xfnxfba,任给的 ，存在自然数 N ，使得 时，对一切 成立0,，xffn则称 在 上一致收敛于 。xfnba,函数序列 在 上一致收敛于 ，从几何上来讲：对任给的 ，存fn, xf 0在自然数 N，使得 nN 时，曲线 都
10、落在以曲线 与 为ynxfyxfy边（也就是以曲线 为“中心线” ，宽度为 ）的带形区域内。xfy2定义 13设函数列 在区间 收敛于极限函数 ，若 ， ， ，xfnIxf0Nn，有Ix。ffn则称函数列 在区间 一致收敛于极限函数 。xfnIx1.2 函数列的一致收敛性定理1.2.1 一致收敛的充分必要条件定理 1在点集 上一致收敛于 的充分必要条件是xfnXxf。0:suplimXxfnn证明：充分性， 自然数 ,当 时，恒有0Nxffn:s成立，故对于任何的 ，都有Xxffn成立，根据定义， 在 上一致收敛于 。fn xf必要性，由于 在 上一致收敛于 ，故存在自然数 ,当 时，0xfn
11、XfNn，都有Xxxffn2成立，因此有 supffnX:成立，依据定义。nlimxffn:0定理 12在点集 上一致收敛于 的充分必要条件是对任意数列xfnXf nx，都有,21:nXx。nlimxff0证明：必要性任取 ,则对任意自然数 ，都有Xxn21NnXxffxffnn :sup成立，又由已知定理 1，nlimxffn:0再依据数列极限的性质，可知 nliff充分性（反证法）假设 在 上不一致收敛于 ，即存在 ，对任意自然数 ,都存在xfnXxf0N和 ,使N0000ffn0成立，对于 ，存在 ，和 ，使11X101ffn成立，对于 存在 和 ，使1nN2202ffn成立，对于 ，存
12、在 和 ，使1k1kX0nffk成立，现在取 ，使得 。于是，,21nXx ,21xknk对任意自然数 k，均有 0kknnff成立。由此可以知道， 不收敛于 0，而它是 的子kknnxffnnxff列，根据数列与其子列的关系定理， 不收敛于 0，这与已知相矛盾。nnxff定理 23在点集 上一致收敛的充分必要条件是对任意 ，都存在自然数 ，xfnXN当 时，恒有Nm, xffnm成立。证明：先证必要性对任意 ，因为 在 上一致收敛，不妨设收敛于 ，于是，存在0xfnXxf自然数 ，当 时，恒有NNm,2xffn成立。因此，当 和 时，恒有n,Xxxffm2n成立，所以，恒有 xffnm成立。
13、再证充分性对于任意 ，由已知，存在自然数 ，当 时，恒有0NN,2xffnm成立。于是，对于任一 ，当 时，恒有Xx0,200xffnm成立，根据柯西收敛准则，数列 收敛，那么，函数列 在 上收敛，不妨0fn xfnX设收敛于 。因此，对任意自然数 和 ，都有xf Xx，xfxff nnmli根据数列极限的性质，存在自然数 ，当 ，和 时，对任意自然数 ，都有NXpffnpn成立。1.2.2 函数列一致收敛的性质定理 24设 与 在点集 上分别一致收敛于 与 ，则 在xfngnXxfgxgfnn上一致收敛于 。Xxf定理 35设 与 在点集上分别一致收敛于 与 ，且 与 均xfngn xfgxfngn在 上有界，则 在 上一致收敛于 ，且 在 上有界。XxfXX定理 16设 在点集 上一致收敛于 ，又 在 有界，则 在 上xfn xfgXxgfn一致收敛于 。g例如， 在 内一致收敛于 ，而 在 内有界，根据定理nx1l,0xlncos,05， 在 内一致收敛于 。并且，本定理当中的 在cosln, 1l xg上有界，也是不能缺少的。X定理 57设 在点集 上一致收敛于 0，又 在 上往后一致有界，则函数列xfnXxgnX在 上一致收敛于 0.gf定理 58设 与 在 上分别一致收敛于 与 ，且 在 上有界，又xfnnXxfgxfX存在 ，使对任意 ，都有0x
