1、本科毕业论文(设计)题 目 一个流感动力学模型的定性性质学生姓名 龚璋敬 _ 指导教师 周英告 学 院 数学与统计学院 专业班级 应数 1001 班 完成时间 2014 年 5 月 29 日 本科生院制摘要自从传染病出现以来，人类因其死亡的人数无以计数。流行病中的流感是一种很典型的传染病，研究流感模型对传染病有很大意义。本文建立了流感模型来讨论传染病的传播及相关问题。1.在第一章中，我们主要介绍流感的定义，分类和背景，并且详细的阐述了流感的传播原理和流感带来的危害，以及研究流感的现实意义。2.在第二章中，我们建立了一个简单的 SLIR 模型，并对模型做了简单的分析，引入了一些定义和引理作为预备
2、知识。3.第三章是详细的讨论第二章中建立的模型，对模型解的非负性和有界性进行证明。4.在第四章中我们详细的讨论了易感者人群和染病者人群，从心理，社会因素，家庭因素，等等方面来分析这两类人群，还补充了一些人体免疫能力方面的知识，如何增强自身免疫能力，在日常生活中怎样保持健康的身心。 。5.在第五章中讨论了染病者的最终去向问题，染病者走向灭亡或持续生存。关键词： 流感，易感者，染病者，潜入者，康复者，模型的解的非负性，解的讨论，染病者的去向。AbstractSince the emergence of infectious diseases , because of the number of h
3、uman deaths to count . The flu epidemic is a very typical infectious diseases, research on infectious diseases influenza model has great significance. Model established in this paper to discuss the flu spread of infectious diseases and related issues.1.In the first chapter, we introduce the flu defi
4、nition, classification and background , and a detailed exposition of the principles of the spread of influenza and influenza harm , as well as studies of influenza practical significance.Chapter 2. In the second chapter, we created a simple SLIR model, and the model did a simple analysis , introduce
5、s some definitions and lemmas as preliminaries 3.The third chapter is to discuss the model established in the second chapter details on model solutions of non-negative and bounded sexual conduct proof4.In chapter 4, we discussed in detail the susceptible populations and those infected populations 4
6、, from psychological and social factors , family factors, etc., to analyze these two groups , but also added some knowledge of the bodys immune capacity how to enhance their immunity, in everyday life how to maintain a healthy body and mind. 5. discusses the ultimate fate of the problem infected per
7、sons in the fifth chapter , the infected person demise or continued survival . Keywords: non- negative solutions of flu , susceptible, infected persons , infiltrators , ex- model and discuss the solution , the infected person s whereabouts .目录第一章 绪论 .21.1 流感的定义（流感和流行病的区别和联系） .21.2 流感的分类 .31.3 流感的背景
8、.31.3.1 流感的近现代史 .31.3.2 禽流感的传播机制 .31.3.3（实例） .51.4 研究流行病的意义 .6第二章 预备知识 .72.1 SLIR 模型的建立 .72.1 基本的定义，定理，公式 .9第三章 SLIR 模型的非负性和有界性 .123.1 解的非负性 .123.2 模型解的有界性。 .14章节总结： .15第四章 易感者与染病者的社会影响 .164.1 染病者人群 I.164.2 人体免疫能力的知识补充 .174.3 易感者人群 S.194.4 染病者的去向 .20本章小结 .22第六章 结束语 .23参考文献 .25第一章 绪论1.1 流感的定义（流感和流行病的
9、区别和联系）流行病是指可以通过特定途径感染到众多人口的传染病，它的特性是能够在短时间内广泛蔓延，例如霍乱，脑膜炎，流行性感冒（简称流感，后文将一直用简称） ，本文主要通过动力学模型探讨流感的传播规律及其性态。流行病可能只在某地区发生，也可能是全球性的大流行。欧洲语言中，辞源均来自希腊语。当某一疾病之观察值超过预期值时，就称之为流行1。 而流感是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病。其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播。典型的临床症状是：急起高热、全身疼痛、显著乏力和轻度呼吸道症状。一般秋冬季节是其高发期，所引起的并发症和死亡现象非常严重。
10、该病是由流感病毒引起流行性感冒，病毒属正粘病毒科，直径 80120nm，球形或丝状 2。我们可以看出流行病是包含流感的，也就是说流感是流行病中的一种，但流感绝不等于流行病。每当大家一谈到流行病的时候，脑子里的第一反应就是流感，这是因为大家对两者的定义没有弄明确。不过，我们经常把流感作为流行病的一种典型代表，所以研究流感也是对流行病的一种十分重要的探索。1.2 流感的分类根据流感病毒感染的对象，我们可将流感病毒分为：人类流感病毒、猪流感病毒、马流感病毒以及禽流感病毒等。其中人类流感病毒根据其核蛋白的抗原性可以分为 A、B、C 型，也分别称为甲、乙、丙型。现实中流感流行的主因主要是甲型。乙型一般在
11、小范围传播，是冬季流感的病原之一。丙型相对来说不重要，很少引起大流行3。本文中主要以人类流感病毒为研究对象来研究流感的动态，及其相关问题。1.3 流感的背景1.3.1 流感的近现代史当由墨西哥引发的猪流感席卷全球，引起各国的高度重视和警觉,随着感染人数的不 断增加，世界卫生组织最终将此次流感大流行警告级别提升到 6 级。通过研究发现，甲型 H1N1 流感病毒是此次流感的病原，甲型 H1N1 毒株含有人流感，禽流感和猪流感三种流感病毒的 DNA 片段。感染这种病毒后的主要症状和普通人流感症状类似，包括头痛，发烧，咳嗽，喉咙疼，疲乏无力等等。感染者，轻者腹泻呕吐，重者呼吸不畅，甚或死亡4。上个世纪
12、 50 年代末到本世纪初的这 50 年中，全球共出现了 37 例人感染猪流感的病例。第一次出现人感染猪流感是在捷克，共有 6 名病例，之后陆续在北美，东欧，以及亚洲的香港也出现了人感染病例。引起人感染猪流感病毒的“罪魁祸首”是亚型 H1N1 病毒，37 例中有 33 例都是由 H1N1 引起的，占比为 89.1%只有 4 例是由 H3N2 引起的。感染者中大部分都被发现在感染前与猪或猪肉制品有过接触， “猪流感”的名声由此得来。近年来，随着社会的不断进步和发展，科学技术日渐成熟，且越来越多的在众多领域中得到应用。例如，复杂系统理论的发展，衍生了很多其他的分支理论学科，如分形，混沌，协同论等等。
13、这些科学的复杂性，使得人们越来越习惯用新思想来思考和看待复杂问题。1.3.2 禽流感的传播机制H1N1 流感，还有禽流感也很引人关注。禽流感，全名鸟禽类流行性感冒，是由病毒引起的动物传染病，通常只感染鸟类，禽流感病毒高度针对特定物种，但在罕有情况下会跨越物种障碍感染人5。此外，禽流感分为非致病性，低致病性和高致病性三类。其中非致病性和低致病性的危害都不是很大，只有高致病性十分严重。家禽在感染高致病性的禽流感后 48 小时致死率达到 100%，由此可见一斑。自上世纪中期以来至今，人类共记载了 20 多种高致病性的禽流感。2003 年爆发的 H5N1 禽流感是记载以来最严重的一次禽流感，不仅最严重
14、而且规模最大，传播广泛，已经遍及亚非欧三个大洲。在高致病性禽流感的传播下，人类社会生活遭受了巨大的负面影响和经济损失。发生禽流感后，当地的家禽，禽蛋等等都会被销毁，给农业早成巨大的损失6。一般的，禽流感只会在禽类之间传播，很多家禽都易感染禽流感病毒， 其中鸡和火鸡是最易感染的禽类。在极少见的情况下禽流感会跨物种障碍感染给人或猪。禽流感的传播途径和方式比较明显。主要是通过呼吸道传染，当然染病禽类的排泄物，分泌物，也都是主要的病原扎堆区。直接接触禽流感病毒的毒株也会感染禽流感。目前的研究表明，禽流感病毒对热敏感，低温适合病毒繁殖，高温则会杀死病毒，所以我们可以通过加热的方式使禽流感病毒失去活性。在
15、 4的温度下，禽流感病毒能在粪便中存活一个月之久，但在高温下（37左右时）却只能存活一周左右。故禽流感的爆发很有季节性，冬季多发，夏季则很少发生7。禽流感可在家禽，野生的禽类，甚至人群中传播。一般的，主要的传染源都是野生禽类，它们携带有致病的禽流感病毒，但不表现出流感症状。由于气候的变化，候鸟迁徙，这时携带流感病毒的禽鸟就是一个“移动传染源” 。经过科学家们的研究，发现极少的禽流感可跨越物种在野禽与家禽，家禽与人类间传播。禽流感由野禽传给家禽，所以家禽是人感染禽流感的主要病源。所以研究禽流感不仅可以减少国家的经济损失，更对保护人类健康有非凡的意义。流感的流行也有“寿命”一说。一种可能是该种流感
16、一种持续传播下 去不会灭绝，而另一种则有可能传着传着就慢慢消失了，当然人们都希望所有的流感都能最终消失，不过这是不可能的，因为总有些传染病是永不断绝的。出现上述的可能性的原因是随着病毒的变异，它对人的感染也会变异，而且病毒一般在气温较高的秋夏季活性会减弱，对人的致病率也会大幅下降。极个别的也有在夏季达到流感高峰的，不过这些病毒都是喜热的或者说耐高温，这类致病病毒极少。1.3.3（实例）世界粮农组织 2011 年八月二十九指出，H5N1 是一种高致病性的禽流感病毒，且能传染给人类，在最近几年有扩散蔓延的趋势，各国应高度警示。在中国和越南还出现了 H5N1 的变种病毒，现有的疫苗对其无效，所以联合
17、国粮农组织的重要关于呼吁各国做好对变异病毒的监控，防止疫情蔓延。一旦高致病性的禽流感爆发后，首先要做的就是迅速扑杀所有感染了的禽类以及与他们接触过的禽类，妥善处理禽鸟的尸体，将发生疫情的农场和地区进行隔离封锁，限制国内外的活禽交易，这样做可以很有效的减少病毒的传播和疾病的蔓延。2013 年 4 月 24 日在台湾发现首例人感染 H7N9 病毒的病例。从 2013 年上半年开始“H7N9”便成为了网络热词，这种高致病性的流感病毒严重的威胁着我们的生命安全，它从发现首例病例开始迅速蔓延至全国多个地方，夺取了很多鲜活的生命。到 2014 年 1 月 28 日有 20 人染病身亡，让我们不得不对其有足
18、够的重视8。 在未感染流感之前，我们有必要做好充分的防治措施，接种疫苗就是一种很有效的途径。接种疫苗也是很有讲究的，比如，甲型 H1N1 接种疫苗就有以下几个特点。首先，因为接种率并非百分之百，所以会造成一种大部分易感者获得了免疫能力，而一部分接种后没有获得免疫能力，但疫情管理部门却不知道到底有哪些人没有有效接种疫苗，故此产生一个新的人群。其次，因为潜伏期者在感染病毒后没有立即表现出症状，所以他们再接种疫苗时基本不会有什么效果。最后一部分则是天然对该病毒有免疫能力，当然这种人是很少的，这种人接种疫苗后也完全是没必要的。在流感的整个发展过程中，随着医用科学的发展进步，所采用的预防措施并非一成不变
19、。在接种疫苗时，民众心理也是不断变化的。前期，由于资源有限，新研制出的疫苗较少，大家都争抢着去接种疫苗以防自己染病。而在后期，由于大部分人都已经接种了疫苗，所以大家对流感的抵抗能力都增强了，染病者人群大幅减少，人们见疾病不在像早期那么可怕就不再注射疫苗。除了注射疫苗外，隔离染病者也是一种重要的防治措施。有效的隔离时间段是在流感刚开始爆发的时候，将染病者及与其有密切接触者进行隔离，这样能够十分有效的控制病情的传播，且将流感的危害降低到最低。对整个社会的稳定和谐有很大的意义。1.4 研究流行病的意义流感动态学模型的研究能够帮我们更清楚明白流感或禽流感的传播机制，从而又针对性的做出预防措施，隔离，接
20、种疫苗等等。有效的控制流感的传播和蔓延是有十分重大意义的，不仅能帮我们更好的保护我们的身体健康也能维持社会稳定和谐有序。而禽流感的研究也有巨大的意义，能减少巨大的农业损失，使当地或国家的经济受禽流感的影响降到最低，有效的减少国家经济损失。因为传染病是人类发展史上对人类危害极大的疾病，所以流行病学的研究就极有意义。在亚洲和欧洲爆发的禽流感让人们加大了对流感的关注度。所以本文的研究对决策者们做出有效的预防措施有一定的借鉴意义。21 世纪以来，在我国有关部门的努力下，我国传染病的死亡率和发病率都大幅下降。只有极个别传染病这两项数据在上升，还面临着许多问题，这些都使得人们意识到传染病尤其是流感对社会稳
21、定团结、经济发展的严重危害。2004 年 1 月 1 日，国家开始启动传染病监测网络直报。但是监测-反应模式不能真正做到对传染病传播和流行做到预测和分析，故地理信息系统的引入对传染病的研究意义非凡。政府为了提高处理流感等流行病的能力，化被动防治为主动，最大限度的减少流行病造成的损失，保障人民的人身安全，维护国家和社会稳定，保证经济，社会全面可持续的发展，加强传染病动态模型的研究就显得十分有意义和必要。本文从动态模型来研究与分析流感的传播机制，遗憾的是由于种种原因未能实际调研收集有用的数据，若是有充足的数据，利用高仿真技术来模拟相信能够得出令人满意的结果和收获。第二章 预备知识2.1 SLIR
22、模型的建立H7N9 亚型禽流感病毒是甲型流感的一种。2013 年初，在我国上海市和安徽省发现 3 例人感染 H7N9 的病人。上海的两名患者医治无效死亡，安徽患者病情十分严重，正在接受抢救。在此之前，H7N9 只在禽类之中传播，未在人类中传播。专家们认为这种高致病性病毒有很强的人传人的能力，且目前国内外无这种病毒的疫苗。因此研究流感的动态模型是很有意义的。本文受刘彦麟论文的启发，刘建立的是 SIR 模型，主要是以 H1N1 流感为模型而建立的，他的论文中详细解决了 SIR 模型的非负性，以及染病者 I 的最终去向的问题，但我觉得在一个流感模型中应该还可以添加一个潜伏者这一类人群，因为这在现实中是存在的，所以我建立了下面的 SLIR 模型，在添加一个人群后再讨论模型的非负性等问题。在本文中我们将某个特定地区的人群以感染传染病否划分为四大类，即易感者 S（susceptible） ，染病后未即使表现染病症状的潜伏者 L(lurker)，染病者 I(infected)和染病后恢复者 R(rehabilitee).经过对这四类人群的关系转化的分析，我们可以建立如下的仓室模型结构图：
