1、第8章 数论入门2,如果a|c，b|c，则称c是a、b的公倍数。 如果c是a、b的公倍数中最小者，则称c是a、b的最小公倍数，记为：c=lcma,b 例如：lcm15,20,30=60,最小公倍数,只能被1和其本身整除的自然数称为素数，非素数的正整数称为合数。 如2，3，5，7，11,素数,每一个比1大的整数，要么本身是一个素数，要么可以写成一系列不同素数的乘积： 所有ai均为正整数，不考虑乘积顺序时，表示法是惟一的,例如，999999 = 3337111337,设a2是正整数，则： （1）如果a是合数，那么必存在素因子 p (2)如果有素数分解式a= p1ps，则存 在素因子p 素数有无穷多
2、个。,素数,Fermat定理若p是素数，a为任意正整数，则 ( ) 若a与p互素，则该定理为 1 1 ( )例：计算243210 (mod 101)因为 2100 1(mod 101) (2100)432210 1432210 1024 14(mod 101),8.2 Fermat定理和Euler定理,Euler函数 ：小于m且与m互素的正整数的个数称为m的Euler函数，记为 (m), 习惯上(1)=1例：确定 (37)和 (35)的值。因为37是素数，所以从1到36的所有正整数均与37互素。故(37)=36列出所有小于35且与35互素的正整数如下：1，2，3，4，6，8，9，11，12，1
3、3，16，17，18，19，22，23，24，26，27，29，31，32，33，34 共有24个数，所以(35)=24,8.2 Euler定理和Fermat定理,Euler函数具有下面的重要性质：(1)若p素数，则： (p)=p-1 例如：p=13,小于13的数1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12都与13互素。 (13)=12.(2)若m,n互素，即gcd(m,n)=1，有(mn)= (m) (n)例如: (5*6)= (5) (6) = (5) (2) (3)=4*1*2=8进一步，若n1,n2,，nm两两互素，则(n1n2nm)= ( n1) ( n2)( nm),8.2
4、 Euler定理和Fermat定理,（3）设m=p11p22pkk是m的标准分解式，p1，p2，pk是互不相同的素数，则 (m)=m(1-1/p1)(1-1/p2)（1-1/pk） 例如：20=22*51， 这样， (20) =20(1-1/2)(1-1/5)=8课堂练习：计算(9),8.2 Euler定理和Fermat定理,2.Euler定理：若a和m互素,则a (m)1 (mod m).当m为素数时，即为Fermat定理形式例如：(1)a=3,m=10; (m)= (10)= (2) (5)=4; 34=811 (mod 10).(2)a=2;m=11; (m)=( 11)= 10; 21
5、0=10241 (mod 11)另一种形式：a (m)+1 a (mod m).,8.3 Euler定理和Fermat定理,X2 (mod 3)X3 (mod 5)X2 (mod 7),解： 问题归结为解,南北朝时期孙子算经中有“物不知数”问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？,8.4 中国剩余定理,三人同行七十稀五树梅花廿一枝七子团圆月正半除百零五便得知,270321215=233，2331052=23,1,2,，是两两互素的正整数，设=12Mi=M/mi，MiMi-11(mod mi)，则同余方程组：,Xb1 (mod m1)Xb2 (mod m2)Xb
6、k (mod mk),有模M的解x，,xM1M1-1b1 + M2M2-1b2 + MkMk-1bk (mod M),8.4 中国剩余定理,M = m1 m2 m3 =3*5*7=105M1= M / m1=105/3=35M2=M/m2=105/5=21M3=M/ m3=105/7=15M1M1-11 (mod m1)M2M2-11 (mod m2)M3M3-11 (mod m3),35M1-11 (mod 3) 得：M1-1221M2-11 (mod 5) M2-1115M3-11 (mod 7) M3-11,即：,8.4 中国剩余定理,xM1M1-1b1 + M2M2-1b2 + M3M
7、3-1b3 (mod 105) 70 b1 +21 b2+15 b3(mod 105) 70*2+21*3+15*2 (mod 105) 140+63+30 (mod 105) 35+63+30 (mod 105) 128 (mod 105) 23 (mod 105)所以，此物有23个,8.4 中国剩余定理,课堂练习：三位运动员跨台阶，台阶总数在100-150级之间，第一位运动员每次跨3级台阶，最后一步还剩2级台阶。第二位运动员每次跨4级台阶，最后一步还剩3级台阶。第三位运动员每次跨5级台阶，最后一步还剩4级台阶。问：这些台阶总共有多少级?A. 119 B. 121 C. 129 D. 131
8、,8.5 离散对数,由欧拉定理，对gcd(a,m)=1,有a (m)1 (mod m)，下面考虑更一般的形式，定义 指数： 设gcd(a,m)=1,使an1 (mod m)成立的最小正整数n称为a对模m的指数或阶、或a所产生的周期长，记为m(a)。定义 本原根： 如果m(a)= (m)，则称a是模m的本原根。,从上表中可以看出： （1）阶为2元素有(2)=1个；12模13的阶为2。 （2）阶为3元素有(3)=2个；3，9模13的阶为3。 （3）阶为4元素有(4)=2个；5，8模13的阶为4。（4）阶为6元素有(6)=2个；4，10模13的阶为6。 （5）阶为12元素有(12)= (3) (22
9、)=4个； 2，6，7，11模13的阶为12，等于(13)，所以2，6，7，11是模13的原根.,若a和p互素，且a为p的本原根，则其幂：a1，a2，a (p)模p两两不同余，且均与p互素。 特别的，如果p为素数，则对其本原根a，a的1到(p-1)的各次幂恰好可产生1到(p-1)每个整数一次且仅一次。即a mod p，a2 mod p，ap-1 mod p = 1，2，p-1= Zp*,对某素数p的本原根a，a的1到(p-1)的各次幂恰好能产生1到(p-1)的每个整数一次且一次，而我们知道任何整数b满足： ( )，其中0r(p-1)，只考虑非零元素，因此对任意非零整数b、素数p的本原根a,有唯
10、一的幂i，使得： ( ) ,其中1i(p-1)该指数i称为以a为底(模p)b的离散对数，记为,(),离散对数,离散对数,模19的离散对数表,离散对数的计算：考虑一般形式的方程表示方式： y=gx (mod p)对于给定的g、x、p，可直接计算出y。在最坏情况下需执行x次乘法。但是，对于给定的g、y、p，当p值很大时，计算x=dlogg,p(y)一般非常困难（即求离散对数）。,思考题：如果今天是星期一，问过22000天后是星期几？ 21 2(mod 7) 22 4(mod 7) 23 1(mod 7) 24 2(mod 7) 25 4 (mod 7) 26 1(mod 7)所以每到2的三次幂的倍数循环一次,且2000=3666+22200022(mod 7)4， 即过22000天后是星期五,
